Función trigamma

Este artículo trata sobre la función trigamma. Para la función gamma triple, véase función gamma de Barnes.

En matemática, la función trigamma, denotada mediante ψ₁(z), es la segunda de las funciones poligamma, y es definida mediante

Trigamma function ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ in the complex plane. The color of a point ${\displaystyle z}$ encodes the value of ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$. Strong colors denote values close to zero and hue encodes the value's argument.

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}$.

Se observa de esta definición que

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}$

donde ψ(z) es la función digamma. Se puede definir también como la suma de la serie

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$

haciéndola un caso especial de la función zeta de Hurwitz

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).{\frac {}{}}}$

Nótese que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1-z no es un número natural.

Representaciones

Una representación, en forma de integral doble, como una alternativa a una de las dadas arriba, puede ser derivada de la representación en forma de serie:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,dx\,dy}$ 

usando la fórmula de la suma de la serie geométrica. Integrando por partes se obtiente:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}$ 

Una expansión asintótica en términos de los números de Bernoulli es

${\displaystyle \psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}}$ .

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la siguiente relación de recurrencia:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}$ 

y la fórmula de reflexión:

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,}$ 

Valores especiales

La función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K}$ 

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}}$ 

${\displaystyle \psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 

donde K representa la constante de Catalan.

Véase también

• Función gamma
• Función digamma
• Función poligamma
• Constante de Catalan

Referencias

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4
• Weisstein, Eric W. «Trigamma». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1244426
•   Multimedia: Trigamma function / Q1244426