Función sobreyectiva

En matemáticas, una función:

Ejemplo de función sobreyectiva (no inyectiva).

${\displaystyle {\begin{aligned}f:X&\longrightarrow Y\\x&\longmapsto f(x)\end{aligned}}}$

es sobreyectiva,^[1]​ epiyectiva, suprayectiva,^[1]​ suryectiva, exhaustiva,^[1]​ onto o subyectiva si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de ${\displaystyle Y}$ es la imagen de como mínimo un elemento de ${\displaystyle \scriptstyle X}$.

Formalmente,

${\displaystyle \forall y\in Y\quad \exists x\in X:\quad f(x)=y}$

Para todo y de Y existe x de X, que cumple que la función: f de x es igual a y.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio. Equivalentemente, una función ${\displaystyle f}$  con dominio ${\displaystyle X}$  y codominio ${\displaystyle Y}$  es sobreyectiva si para cada ${\displaystyle y}$  en ${\displaystyle Y}$  existe al menos una ${\displaystyle x}$  en ${\displaystyle X}$  tal que ${\displaystyle f(x)=y}$ .

Simbólicamente

Si ${\displaystyle f:X\to Y}$  entonces se dice que ${\displaystyle f}$  es sobreyectiva si

${\displaystyle \forall \;y\in Y,\exists \;x\in X:f(x)=y}$ 

Notación

En ocasiones para denotar que una función ${\displaystyle f:X\to Y}$  es sobreyectiva se utiliza la notación:

${\displaystyle f:X\twoheadrightarrow Y}$ 

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos ${\displaystyle A}$  y ${\displaystyle B}$ , entre los cuales existe una función sobreyectiva ${\displaystyle f:A\to B}$ , se tiene que los cardinales cumplen:

${\displaystyle {\mbox{card}}(A)\geq {\mbox{card}}(B)}$ 

Si además existe otra aplicación sobreyectiva ${\displaystyle g:B\to A}$ , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre ${\displaystyle A}$  y ${\displaystyle B}$ , por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Véase también

• Función inyectiva
• Función biyectiva

Referencias

1. Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (2004) [1968]. Theory of Sets. Springer. ISBN 978-3-540-22525-6. 

•   Datos: Q229102
•   Multimedia: Surjectivity