En matemática, la función contador de números primos es una función que cuenta el número de números primos menores o iguales a cierto número realx. Se denota mediante (no debe confundirse con el número π) y analíticamente se define como:
Los 60 primeros valores de π(n).
donde # significa la cantidad de números que cumplen la condición. Algunos valores son:
Una de las consecuencias más importantes de la teoría de números es que el valor de π(x) se aproxima al de x/ln x cuando x tiende al infinito. Es decir:
Esto no significa que la diferencia entre π(x) y x/ln x se aproxime a cero, sino que su cociente se aproxima a 1. Este resultado, aventurado por primera vez por Carl Friedrich Gauss, se denomina teorema de los números primos. Tras muchos intentos fallidos de demostración, los matemáticos Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin consiguieron, de forma independiente, una demostración definitiva.
Si se expresa la relación anterior como
se puede interpretar como que la densidad media de números primos entre los números enteros se aproxima a 1/lnx a medida que x aumenta.
25 años después de que Gauss descubriera la aproximación, Legendre lo mejoró aún más:
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