Función Schur-convexa

En matemáticas, una función de Schur-convexa, también conocida como S-convex, función isotónica y función de preservación de orden es una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ para todo ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$ tal que ${\displaystyle x}$ está mayorizado por ${\displaystyle y}$, uno tiene eso ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$. El nombre proviene de Issai Schur, Schur-convex funciones se utilizan en el estudio de la especialización. Cada función que es convexa y simétrica también es Schur-convexa. La implicación opuesta no es verdadera, pero todas las funciones de Schur-convex son simétricas (bajo permutaciones de los argumentos).^[1]​ Asimismo, una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, - f , es Schur-convexa.

Criterio de Schur-Ostrowski

Si f es simétrica y todas las primeras derivadas parciales existen, entonces f es Schur-convexa si y solo si

${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0}$  for all ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ 

se mantiene para todo 1≤i≠j≤d.^[2]​

Ejemplos

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$  es Schur-cóncavo mientras ${\displaystyle f(x)=\max(x)}$  s Schur-convexo. Esto se puede ver directamente desde la definición.
• La función de entropía de Shannon ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$  es Schur-cóncavo.
• La función de entropía de Rényi también es Schur-cóncava.
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1}$  es schur-convexa.
• La función ${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$  es Schur-cóncava, cuando asumimos que todo ${\displaystyle x_{i}>0}$ . De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son Schur-cóncavas, cuando ${\displaystyle x_{i}>0}$ .
• Una interpretación natural de la mayorización es que si ${\displaystyle x\succ y}$  entonces ${\displaystyle x}$  es menos esparcido que ${\displaystyle y}$ . Por lo tanto, es natural preguntar si las medidas estadísticas de variabilidad son Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.

Referencias

1. Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Convex functions. New York: Academic Press. p. 258. ISBN 9780080873725. 
2. E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press. p. 333. ISBN 9780080925226. 

•   Datos: Q7433030