El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Característicaseditar
Para mayor claridad, sea:
donde: . Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función de la forma:
Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores lineales repetidoseditar
Donde los pares de factores son idénticos.
Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores cuadráticos distintoseditar
Donde ningún par de factores es igual.
Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores cuadráticos repetidoseditar
Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Cómputo de las constanteseditar
Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:
en donde
Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las , la resolución del sistema proporciona los valores de los .
Ejemplo 1editar
Sea Se puede descomponer en
Necesitamos encontrar los valores a y b
El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:
Simplificando
El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.
Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado
Para el caso de a observamos que nos facilita el proceso
Siendo el resultado, el siguiente
Ejemplo 2editar
Sea
Se puede descomponer de esta manera
multiplicando por , tenemos ejemplo:
Simplificando
Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones
Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente
descomposición, fracciones, simples, método, descomposición, fracciones, simples, consiste, descomponer, cociente, polinomios, suma, fracciones, polinomios, menor, grado, utiliza, principalmente, cálculo, integral, requisito, más, importante, grado, polinomio,. El metodo de descomposicion en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado Se utiliza principalmente en calculo integral El requisito mas importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador Indice 1 Caracteristicas 2 Casos 2 1 Factores lineales distintos 2 2 Factores lineales repetidos 2 3 Factores cuadraticos distintos 2 4 Factores cuadraticos repetidos 3 Computo de las constantes 3 1 Ejemplo 1 3 2 Ejemplo 2 3 3 Ejemplo 3 4 Enlaces externosCaracteristicas editarPara mayor claridad sea A x B x a m x m a m 1 x m 1 a 1 x a 0 b n x n b n 1 x n 1 b 1 x b 0 displaystyle frac A x B x frac a m x m a m 1 x m 1 a 1 x a 0 b n x n b n 1 x n 1 b 1 x b 0 nbsp donde m lt n displaystyle m lt n nbsp Para reducir la expresion a fracciones parciales se debe expresar la funcion B x displaystyle B x nbsp de la forma B x x a n x a n 1 x a 1 x a 0 displaystyle B x x a n x a n 1 x a 1 x a 0 nbsp o B x a n x 2 b n x c n a n 1 x 2 b n 1 x c n 1 a 1 x 2 b 1 x c 1 a 0 x 2 b 0 x c 0 displaystyle B x a n x 2 b n x c n a n 1 x 2 b n 1 x c n 1 a 1 x 2 b 1 x c 1 a 0 x 2 b 0 x c 0 nbsp es decir como el producto de factores lineales o cuadraticos Casos editarSe distinguen 4 casos Factores lineales distintos editar Donde ningun par de factores es identico A 1 x a 1 A 2 x a 2 A n x a n displaystyle frac A 1 x a 1 frac A 2 x a 2 frac A n x a n nbsp Donde A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 A n nbsp son constantes a determinar y ningun denominador se anula Factores lineales repetidos editar Donde los pares de factores son identicos A 1 x a 1 A 2 x a 1 2 A n x a 1 n displaystyle frac A 1 x a 1 frac A 2 x a 1 2 frac A n x a 1 n nbsp Donde A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 A n nbsp son constantes a determinar y ningun denominador se anula Factores cuadraticos distintos editar Donde ningun par de factores es igual A 1 x B 1 a 1 x 2 b 1 x c 1 A 2 x B 2 a 2 x 2 b 2 x c 2 A n x B n a n x 2 b n x c n displaystyle frac A 1 x B 1 a 1 x 2 b 1 x c 1 frac A 2 x B 2 a 2 x 2 b 2 x c 2 frac A n x B n a n x 2 b n x c n nbsp Donde A 1 B 1 A 2 B 2 A n B n displaystyle A 1 B 1 A 2 B 2 A n B n nbsp son constantes a determinar y ningun denominador se anula Factores cuadraticos repetidos editar A 1 x B 1 a 1 x 2 b 1 x c 1 A 2 x B 2 a 1 x 2 b 1 x c 1 2 A n x B n a 1 x 2 b 1 x c 1 n displaystyle frac A 1 x B 1 a 1 x 2 b 1 x c 1 frac A 2 x B 2 a 1 x 2 b 1 x c 1 2 frac A n x B n a 1 x 2 b 1 x c 1 n nbsp Donde A 1 B 1 A 2 B 2 A n B n displaystyle A 1 B 1 A 2 B 2 A n B n nbsp son constantes a determinar y ningun denominador se anula Computo de las constantes editarPara hallar las constantes en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente formula A k A x B x x a k x a k displaystyle A k left frac A x B x x a k right x a k nbsp en donde k 1 2 n displaystyle k 1 2 n nbsp Para los otros casos no existe una formulacion especifica Sin embargo estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las A k displaystyle A k nbsp la resolucion del sistema proporciona los valores de los A k displaystyle A k nbsp Ejemplo 1 editar Sea x 3 x 1 x 2 displaystyle frac x 3 x 1 x 2 nbsp Se puede descomponer en x 3 x 1 x 2 a x 1 b x 2 displaystyle frac x 3 x 1 x 2 frac a x 1 frac b x 2 nbsp Necesitamos encontrar los valores a y bEl primer paso es deshacernos del denominador lo que nos lleva a x 3 x 1 x 2 a x 2 b x 1 x 1 x 2 displaystyle frac x 3 x 1 x 2 frac a x 2 b x 1 x 1 x 2 nbsp Simplificando x 3 a x 2 b x 1 displaystyle x 3 a x 2 b x 1 nbsp El siguiente paso es asignar valores a x para obtener un sistema de ecuaciones y de este modo calcular los valores a y b Sin embargo podemos hacer algunas simplificaciones asignado x 2 lo que produce 2 3 a 2 2 b 2 1 c a l c u l a n d o 1 b es decir b 1 displaystyle begin array rlr x amp 2 amp mbox lo que produce 2 3 amp a 2 2 b 2 1 amp calculando 1 amp b amp mbox es decir b amp 1 end array nbsp Para el caso de a observamos que x 1 displaystyle x 1 nbsp nos facilita el proceso x 1 1 3 a 1 2 b 1 1 2 a a 2 displaystyle begin array rlr x amp 1 amp 1 3 amp a 1 2 b 1 1 amp 2 amp a amp a amp 2 amp end array nbsp Siendo el resultado el siguiente x 3 x 1 x 2 2 x 1 1 x 2 displaystyle frac x 3 x 1 x 2 frac 2 x 1 frac 1 x 2 nbsp Ejemplo 2 editar Sea x 2 3 x 1 x 1 3 displaystyle frac x 2 3x 1 x 1 3 nbsp Se puede descomponer de esta manera a x 1 b x 1 2 c x 1 3 displaystyle frac a x 1 frac b x 1 2 frac c x 1 3 nbsp multiplicando por x 1 3 displaystyle x 1 3 nbsp tenemos ejemplo x 2 3 x 1 x 1 3 x 1 3 a x 1 3 x 1 b x 1 3 x 1 2 c x 1 3 x 1 3 displaystyle frac x 2 3x 1 x 1 3 x 1 3 frac a x 1 3 x 1 frac b x 1 3 x 1 2 frac c x 1 3 x 1 3 nbsp Simplificando x 2 3 x 1 a x 1 2 b x 1 c displaystyle x 2 3x 1 a x 1 2 b x 1 c nbsp Procedemos a asignar valores a x para formar un sistema de ecuaciones Sea x 0 resulta en 1 a b c Sea x 1 5 4 a 2 b c Sea x 1 1 0 0 c displaystyle begin array lrclr text Sea amp x amp amp 0 amp mbox resulta en amp 1 amp amp a b c amp text Sea amp x amp amp 1 amp amp 5 amp amp 4a 2b c amp text Sea amp x amp amp 1 amp amp 1 amp amp 0 0 c amp end array nbsp Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos finalmente x 2 3 x 1 x 1 3 1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 3 displaystyle frac x 2 3x 1 x 1 3 frac 1 x 1 frac 1 x 1 2 frac 1 x 1 3 nbsp Ejemplo 3 editar Tenemos 1 x x 2 1 displaystyle frac 1 x x 2 1 nbsp que se puede convertir en a x b x c x 2 1 displaystyle frac a x frac bx c x 2 1 nbsp Multiplicamos por x x 2 1 displaystyle x x 2 1 nbsp Tenemos x x 2 1 x x 2 1 a x x 2 1 x b x c x x 2 1 x 2 1 displaystyle frac x x 2 1 x x 2 1 frac ax x 2 1 x frac bx c x x 2 1 x 2 1 nbsp Simplificando 1 a x 2 1 b x c x displaystyle 1 a x 2 1 bx c x nbsp Ahora podemos asignar valores a x Si x 0 1 a Si x 1 1 2 a b c 1 1 2 1 b c 1 b c Si x 1 1 2 a b c 1 1 b c displaystyle begin array lrcl text Si amp x amp amp 0 amp 1 amp amp a text Si amp x amp amp 1 amp 1 amp amp 2a b c cdot 1 amp 1 amp amp 2 cdot 1 b c amp 1 amp amp b c text Si amp x amp amp 1 amp 1 amp amp 2a b c cdot 1 amp 1 amp amp b c end array nbsp Resolviendo el sistema resulta a 1 b 1 c 0 displaystyle a 1 b 1 c 0 nbsp Y el problema se resuelve de esta manera 1 x x 2 1 1 x x x 2 1 displaystyle frac 1 x x 2 1 frac 1 x frac x x 2 1 nbsp Enlaces externos editarWeisstein Eric W Descomposicion de fraccion parcial En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research nbsp Datos Q431617 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Descomposicion en fracciones simples amp oldid 153141014, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,