Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C".
Una elipse (en azul) y su evoluta (verde). El círculo que se mueve es el círculo osculador a la elipse, cuyo centro es el centro de curvatura. También se puede observar que la recta tangente a la evoluta es normal a la elipse, es decir, la evoluta es la envolvente de las normales a la elipse. La evoluta de una elipse se llama astroide.
Ecuaciones
Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo. Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma
donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):
Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t). Los centros de curvatura serán entonces: y el radio
Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:
evoluta, llama, evoluta, curva, dada, lugar, geométrico, centros, curvatura, elipse, azul, evoluta, verde, círculo, mueve, círculo, osculador, elipse, cuyo, centro, centro, curvatura, también, puede, observar, recta, tangente, evoluta, normal, elipse, decir, e. Se llama evoluta de una curva C dada al lugar geometrico de los centros de curvatura de C Una elipse en azul y su evoluta verde El circulo que se mueve es el circulo osculador a la elipse cuyo centro es el centro de curvatura Tambien se puede observar que la recta tangente a la evoluta es normal a la elipse es decir la evoluta es la envolvente de las normales a la elipse La evoluta de una elipse se llama astroide Indice 1 Ecuaciones 2 Ejemplos de evolutas 2 1 Evoluta de la elipse astroide 2 2 Galeria de imagenes 3 Enlaces externosEcuaciones EditarSea la curva formada por el conjunto de puntos x y donde x e y son funciones dependientes de una variable normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma X Y x y x 2 y 2 x y x y y x x 2 y 2 x y x y displaystyle X Y left x y frac x 2 y 2 x y x y y x frac x 2 y 2 x y x y right donde a cada x y o lo que es lo mismo a un valor de t que determina un punto de la curva le corresponde un centro de curvatura X Y en funcion de ese t La relacion entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura y por tanto su inversa la curvatura R 1 k x 2 y 2 3 2 x y x y displaystyle R 1 k frac x 2 y 2 3 2 x y x y Si y f x es decir una variable depende de la otra se puede simplificar observando los resultados de tomar x t e y f t Los centros de curvatura seran entonces x C x y 1 y 2 y y C y 1 y 2 y displaystyle left begin matrix x C amp x displaystyle frac y 1 y 2 y y C amp y displaystyle frac 1 y 2 y end matrix right y el radio R 1 k 1 y 2 3 2 y displaystyle R 1 k frac 1 y 2 3 2 y Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuacion de la evoluta F x C y C 0 displaystyle F x C y C 0 Ejemplos de evolutas Editar Evoluta de la elipse con a 1 y b 2 Evoluta de la elipse astroide Editar Dada la elipse x a cos t y b s e n t displaystyle left begin matrix x amp a cos t y amp b mathrm sen t end matrix right Su evoluta viene dada por x a 2 b 2 a cos 3 t y b 2 a 2 b s e n 3 t displaystyle left begin matrix x amp displaystyle frac a 2 b 2 a cos 3 t y amp displaystyle frac b 2 a 2 b mathrm sen 3 t end matrix right que eliminando el parametro queda a x 2 3 b y 2 3 a 2 b 2 2 3 displaystyle ax frac 2 3 by frac 2 3 a 2 b 2 frac 2 3 Galeria de imagenes Editar La evoluta de una circunferencia es un punto La evoluta de una elipse es una astroide alargada La evoluta de una espiral logaritmica es otra espiral logaritmica con el mismo centro y angulo La evoluta de una parabola es una parabola semicubica La evoluta de f x x 3 displaystyle f x x 3 La evoluta de f x x 4 displaystyle f x x 4 Enlaces externos EditarWeisstein Eric W evolute En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q658654 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Evoluta amp oldid 137917228, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
