Estrofoide

En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada C y de dos puntos A (el punto fijo) y O (el polo).

Construcción de la Estrofoide derecha de polo X y de punto fijo O, tomando por curva base el eje Oy.

En el caso particular donde C es una recta, A pertenece a C, y O no pertenece a C, la curva se denomina una estrofoide oblicua. Si, de más OA es perpendicular a C, la curva es denominada una estrofoide derecha, o simplemente una estrofoide por ciertos autores. El estrofoide derecha a veces también se denomina curva logocíclica.

Construcción

 

Construcción de una estrofoide en el caso general

La curva Estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P1 y P2 los dos puntos de L tales que P1K = P2K = AK. El lugar geométrico de los puntos P ₁ y P2 se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A. Se observa que AP1 y AP2 son ortogonales.

Ecuaciones

Coordenadas polares

Sea la curva C dada por , donde el origen se toma a O. Sea Al punto de coordenadas cartesianas (a, b).${\displaystyle r=f(\theta )}$  Si es un punto de la curva, la distancia de K à A es${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$ 

.${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$ 

Los puntos de la recta OK tienen por ángulo polar , y los puntos a distancia d de K sobre esta recta son a una distancia del origen.${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle f(\theta )\pm d}$  Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por

.${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$ 

Coordenadas cartesianas

Sea C de ecuaciones paramétricas (x=x (t),y =y(t)). Sea Al punto (a, b) y O el punto (p, q). Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es:

,${\displaystyle x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))}$ 

dónde

.${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}}$ 

Otra fórmula polar

La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica. Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando C es una sectriu de Maclaurin de polvo O y A.

Sea O el origen y Al punto (a, 0). Sea K un punto de la curva, el ángulo entre OK y el eje OX, y el ángulo entre AK y el eje OX.${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \vartheta }$  Se supone que se dé en función de , bajo la forma .${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$  Sea el ángulo en K, dones .${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }$  Se puede determinar r en función de l usando la ley del sinus: cómo

.${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}}$ 

Sean P1 y P2 los puntos de la recta OK a distancia AK de K, numerados de forma que y .${\displaystyle \psi ={\widehat {P_{1}Ka}}}$ ${\displaystyle \pi -\psi ={\widehat {Akp_{2}}}}$  El triángulo es isósceles de ángulo al vértice , por lo tanto los ángulos de la base, y , valiendo.${\displaystyle P_{1}KA}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\widehat {AP_{1}K}}}$ ${\displaystyle {\widehat {KAP_{1}}}}$ ${\displaystyle (\pi -\psi )/2}$  El ángulo entre AP ₁ y el eje OX es entonces

.${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}$ 

Empleando el hecho que AP1 y AP2 son perpendiculares (puesto que lo triangleAP1P2 es inscrito en un semicírculo), el ángulo entre Ap2 y el eje OX vale

.${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}$ 

La ecuación polar de la estrofoide se deduce entonces de l ₁ y l2 según las fórmulas precedentes:

${\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}$ 

${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}$ 

C es una sectriu de Maclaurin de polvo O y A cuando l es de la forma ; en este caso l1 y l2 tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriu de Maclaurin, o bien una pareja de sectrius; se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en su punto simétrico de A respecto de O.${\displaystyle q\theta +\theta _{0}}$ 

Casos particulares

Estrofoides oblicuas

Sea C una recta que pasa para. Entonces, en las notaciones precedentes, , donde es una constante, y ; .${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$ ${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}$  Con el origen a O, las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente, denominada una estrofoide oblicua acontecen

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$ 

y

.${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}}$ 

Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.

Desplazando el origen en A (ver, el artículo sectriu de Maclaurin) y reemplazando −a para, se obtiene

;${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$ 

una rotación de transforma esta ecuación en${\displaystyle \alpha }$ 

.${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}}$ 

En coordenadas cartesianas (y cambiando las constantes), se obtiene

.${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}$ 

Es una cúbica, unicursal según la ecuación polar. Posee una sungularitat a (0, 0), y la recta y =b es asíntota.

La estrofoide recta

 

Estrofoide derecha.

Poniendo en${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ 

,${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$ 

se obtiene

.${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}$ 

Esta curva se denomina la estrofoide derecha, y corresponde al caso donde C es el eje Oy, O es el origen, y A es el punto (a,0).

La ecuación cartesiana es

;${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)}$ 

una representación paramétrica unicursal es:

${\displaystyle x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$ 

.${\displaystyle y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$ 

La curva se asemeja al folio de Descartas, y la recta x = −a es asíntota en las dos ramas infinitas. La curva posee dos asíntotas más "imaginarías" en el plan complejo , dadas por${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$ 

.${\displaystyle x\pm iy=-a}$ 

Estrofoides de circunferencias que pasen por los puntos fijos

Sea C una circunferencia que pasa por O y A. Tomando O por origen y A en (a, 0), se obtiene, con las notaciones precedentes, , donde es una constante.${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$ ${\displaystyle \alpha }$  Así, y .${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$ ${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}$  Entonces las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$ 

y

.${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}}$ 

Son las ecuaciones de dos circunferencias que pasan también por O y A, y forman ángulos de con C en estos puntos.${\displaystyle \pi /4}$ 

Véase también

• Cisoide de Diocles
• Concoide de Durero
• Curvas
• Trisectriz de Maclaurin

Referencias

• Al sitio web de Robert Ferreol, a su enciclopedia de las formas matemáticas destacables:
  • "Courbe Strophoïdale"
  • "estrofoide"
  • "estrofoide Droite", donde también se encuentran muchas propiedades geométricas de esta curva.

• Al sitio web de Mathworld
  • Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. , Eric W., Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  (Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. ).
  • Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. , Eric W., Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  (Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. ).

•   Datos: Q1050391
•   Multimedia: Strophoid