Espacio medible

No debe confundirse con Espacio de medida.

En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel^[1]​ es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.

Definición

Considere un conjunto ${\displaystyle X}$  y un σ-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  en ${\displaystyle X}$  . Entonces la tupla ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$  se llama espacio medible.^[2]​

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Ejemplo

Dado el conjunto

${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ 

Un posible ${\displaystyle \sigma }$  -álgebra sería

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.}$ 

Entonces ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})}$  es un espacio medible. Otro posible ${\displaystyle \sigma }$  -álgebra sería el conjunto potencia en ${\displaystyle X}$  :

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$ 

Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto ${\displaystyle X}$  es dado por ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})}$  .

Espacios comunes medibles

Si ${\displaystyle X}$  es finito o infinito contable, el ${\displaystyle \sigma }$  -el álgebra es la mayoría de las veces la energía puesta en ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$ . Esto conduce al espacio medible ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$  .

Si ${\displaystyle X}$  es un espacio topológico, el ${\displaystyle \sigma }$  -el álgebra es más comúnmente el Borel ${\displaystyle \sigma }$  -álgebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , entonces ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)}$  . Esto conduce al espacio medible ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$  que es común para todos los espacios topológicos, como los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Ambigüedad con espacios Borel

El término espacio Borel se usa para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

• cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de espacio medible como se define anteriormente^[1]​
• un espacio medible que es Borel isomorfo a un subconjunto medible de los números reales (nuevamente con el Borel ${\displaystyle \sigma }$  -álgebra)^[3]​

Referencias

1. Hazewinkel, Michiel. (©1988-©1994). Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Reidel. ISBN 1-55608-010-7. OCLC 16755499. 
2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
3. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling (en inglés) 77. Springer International Publishing. p. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. 

•   Datos: Q3058218