Epicicloide

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación

 

Considerando la figura podemos escribir:

(1)${\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma }$ 

(2)${\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma }$ 

con ${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta -\pi /2}$  y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: ${\displaystyle r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta }$ . De aquí se tiene que ${\displaystyle \beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha }$ 

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: ${\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}$ 

${\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}$ 

Casos particulares

Cuando ${\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}}$  es un número racional, i.e., ${\displaystyle k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}}$ , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, ${\displaystyle k=1}$  obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=2r₂, i.e, ${\displaystyle k=2}$  obtenemos una nefroide.

Ejemplos

• ejemplos de epicicloides
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  k=1

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  k=2

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  k=3

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  k=4

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  k=2,1=21/10

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  k=3,8=19/5

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  k=5,5=11/2

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  k=7,2=36/5

Véase también

• Ruleta
• Curva Cicloidal
• Cicloide
• Hipocicloide
• Caracol de Pascal

Referencias en la Web

• Epicicloides, en Descartes

•   Datos: Q214556
•   Multimedia: Epicycloid