Emparejamiento

El concepto de emparejamiento (o apareamiento) aquí tratado es referente al campo de las matemáticas, específicamente al álgebra lineal. Con aplicaciones prácticas en el área de la criptografía.

Definición

Sea R un anillo comutativo más la unidad, y sean M, N y L tres R-módulos.

Un emparejamiento es cualquier mapa bilinear R ${\displaystyle e:M\times N\to L}$ . Que satisfaga:${\displaystyle e(rm,n)=e(m,rn)=re(m,n)}$ 

para cualquier ${\displaystyle r\in R}$ . O equivalentemente, un emparejamiento es un mapa linear R: ${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$ 

donde ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$  denota el producto tensorial de M y N.

Un emparejamiento también puede ser considerado como un mapa linear R ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$ , que satisfaga la primera definición y establezca ${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$ .

Un emparejamiento es llamado no degenerativo si para el mismo mapa se tiene que ${\displaystyle e(m,n)=1}$  para todo valor de ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n=0}$ .

Ejemplos

Cualquier producto escalar en un espacio vectorial V real es un emparejamiento (sean M = N = V, R = R en las definiciones anteriores).

El mapa determinante (matriz 2 × 2 en k) ${\displaystyle \to }$  k se puede considerar como un emparejamiento ${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$ .

El mapa de Hopf ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$  definido como ${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$  es un ejemplo de un emparejamiento. En,^[1]​ Hardie et al. presentan una construcción explícita de este tipo de mapas utilizando conjuntos parcialmente ordenados.

Emparejamientos criptográficos

Artículo principal: Criptografía basada en emparejamientos

El cómputo de los emparejamientos criptográficos utiliza dos grupos, ${\displaystyle G_{1}}$  y ${\displaystyle G_{2}}$ . Estos dos grupos son finitos, cícilos y aditivamente formulados en donde al menos uno de estos grupos tiene orden primo, denotado como r. El emparejamiento toma un elemento de cada uno de los dos grupos y los mapa hacia un tercero ${\displaystyle G_{T}}$ , el cual es finito, cíclico, pero formulado multiplicativamente, también de order primo r. Un emparejamiento criptográfico útil satisface las siguientes propiedades:

• Bilineariedad:
  • ${\displaystyle \forall P,P\in G_{1}}$  y ${\displaystyle \forall Q,Q\in G_{2}}$ , se tiene que: ${\displaystyle e(P+P,Q)=e(P,Q)\times e(P,Q)}$  y ${\displaystyle e(P,Q+Q)=e(P,Q)\times e(P,Q)}$ 
• No degeneración:
  • ${\displaystyle \forall P\in G_{1}}$  con ${\displaystyle P\neq 0}$ , existe ${\displaystyle Q\in G_{2}}$  tal que ${\displaystyle e(P,Q)\neq 1}$ .
  • ${\displaystyle \forall Q\in G_{2}}$  con ${\displaystyle Q\neq 0}$ , existe ${\displaystyle P\in G_{1}}$  tal que ${\displaystyle e(P,Q)\neq 1}$ .
• Computable:
  • e puede ser fácilmente calculado.

Los mejores métodos para calcular los emparejamientos criptográficos están basados en el algoritmo de Miller. Este método está estandarizado de facto y su mejoramiento tanto en el bucle principal como en la llamada exponenciación final es tema actual de investigación. ^{[cita requerida]}

Referencias

1. A nontrivial pairing of finite T0 spaces Authors: Hardie K.A.1; Vermeulen J.J.C.; Witbooi P.J. Fuente: Topology and its Applications, Volumen 125, Número 3, 20 de noviembre de 2002 , pp. 533-542(10)

Enlaces externos

•   Datos: Q11681459