Eliminación de Gauss-Jordan

No debe confundirse con Método de Gauss-Seidel.

En álgebra lineal, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo que se usa para determinar la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.^[1]​ Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.^{[cita requerida]}

Antecedentes

El método de eliminación de Gauss-Jordan aparece en el capítulo ocho del importante texto matemático chino Jiuzhang suanshu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, de dos a cinco ecuaciones cada uno. La primera referencia al libro por este título data del 179 DC, pero algunas de sus partes fueron escritas tan pronto como alrededor del 150 a. C.,^[2]​^[3]​ en este año fue señalado por Liu Hui en el siglo III.

Análisis de su complejidad

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es O(n³). Esto es, el máximo número de operaciones requeridas es del orden de n³ si el tamaño de la matriz es n × n.^[4]​

Algoritmo de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan

1. Ir a la primera columna número cero de izquierda a derecha.
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida.

Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&+y&-z&=&8\\-3x&-y&+2z&=&-11\\-2x&+y&+2z&=&-3\\\end{array}}\right.}$ 

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&+y&-z&=&8\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&2y&+z&=&5\end{array}}\right.}$ 

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&-2z&=&6\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$ 

Entonces podemos resolver por Gauss al sustituir en el sistema de ecuaciones el valor de ${\displaystyle z}$  continuando con las incógnitas anteriores de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda obteniendo el valor de todas las incógnitas. Si continuamos con la variante de Gauss-Jordan eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&&=&4\\&{\frac {1}{2}}y&&=&{\frac {3}{2}}\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$ 

Despejando, podemos ver las soluciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}x&&&=&2\\&y&&=&3\\&&z&=&-1\end{array}}\right.}$ 

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$ 

Después,

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&0&0&4\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$ 

Por último.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$ 

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&a\\\end{array}}\right]}$ 

Que representa la ecuación: ${\displaystyle 0x+0y+0z=a}$ , donde a ≠ 0. Es decir, ${\displaystyle 0=a}$ , lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución. En el caso que a=0 el sistema tiene varias soluciones.

Forma escalonada y escalonada reducida

Artículo principal: Matriz escalonada

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:

1. Todas las filas 0 están en la parte inferior de la matriz.
2. El primer elemento diferente de cero de cada fila, este es llamado "pivote"; está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones que detallaremos a continuación, decimos que la matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas, o simplemente en forma escalonada reducida.

1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1
2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.

Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=5). Así la matriz

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrrr}1&4&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&-1\\\end{array}}\right]}$ 

también es una matriz escalonada.

Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):

1. Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).
2. En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).

Otras aplicaciones

Encontrar la inversa de una matriz

Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right]}$ 

se construiría

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}2&1&-1&1&0&0\\-3&-1&2&0&1&0\\-2&1&2&0&0&1\end{array}}\right]}$ 

y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}\,\,\,\,2&1&-1&1&0&0\\-1&0&\,\,\,\,1&1&1&0\\\,\,\,\,0&2&\,\,\,\,1&1&0&1\end{array}}\right]}$ 

multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&-1&-1&0\\2&1&-1&\,\,\,\,1&\,\,\,\,0&0\\0&2&\,\,\,\,1&\,\,\,\,1&\,\,\,\,0&1\end{array}}\right]}$ 

ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&-1&-1&0\\0&1&\,\,\,\,1&\,\,\,\,3&\,\,\,\,2&0\\0&2&\,\,\,\,1&\,\,\,\,1&\,\,\,\,0&1\end{array}}\right]}$ 

ahora usamos el pivote de la segunda fila

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&-1&-1&0\\0&1&\,\,\,\,1&\,\,\,\,3&\,\,\,\,2&0\\0&0&-1&-5&-4&1\end{array}}\right]}$ 

y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\,\,\,\,4&\,\,\,\,3&-1\\0&1&0&-2&-2&\,\,\,\,1\\0&0&1&\,\,\,\,5&\,\,\,\,4&-1\end{array}}\right]}$ 

El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de A y puesto que ésta es la matriz identidad, entonces A tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad. Cuando la forma escalonada reducida que aparece no es la identidad es que la matriz de partida no tiene inversa.

Véase también

• Álgebra elemental
• Álgebra lineal

Bibliografía

• Strang, Gilbert (2016). Introduction to linear algebra (en inglés) (5ª edición). Wellesley, USA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 31-91. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593. Consultado el 10 de noviembre de 2020. 

Referencias

1. Strang, 2016, «Chapter 2. Solving Linear Equations», pp. 31-91.
2. Calinger (1999), pp. 234–236
3. Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (8 de septiembre de 2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. p. 607. ISBN 978-0-691-11880-2.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
4. Strang, 2016, «Chapter 11. Numerical Linear Algebra», p. 511.

Enlaces externos

• Un programa que realiza la eliminación de Gauss similar a un trabajo humano sobre el papel(Al final de la página.)
• www.math-linux.com Gaussian elimination.
• Gauss–Jordan Elimination Calculator (en inglés)
• Resolución En línea por Gauss Jordan (en español)

•   Datos: Q2658