Elemento de un conjunto

En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto que forma parte de ese conjunto (o familia).

Teoría de conjuntos y elementos

 

Diferencia entre elemento y subconjunto. El conjunto C está formado por dos elementos. El conjunto A está formado por cinco elementos (cinco figuras geométricas), y C, señalado con línea discontinua, es un subconjunto de A, C ⊆ A. El conjunto B, por el contrario, está formado por cuatro elementos: tres figuras geométricas y un conjunto, a saber, C. Por tanto, C, señalado con línea continua, es un elemento de B, C ∈ B.

Al escribir ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$ , estamos diciendo que los elementos del conjunto ${\displaystyle A}$  son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de ${\displaystyle A}$  sería, por ejemplo, ${\displaystyle \{1,2\}}$ , el cual es un subconjunto de ${\displaystyle A}$ .

Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto ${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$ . Los elementos de ${\displaystyle B}$  no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, ${\displaystyle B}$  tiene solo tres elementos: 1, 2 y el conjunto ${\displaystyle \{3,4\}}$ .

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, ${\displaystyle C=\{{\mbox{rojo, verde, azul}}\}}$ , es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.

Relación de pertenencia

La relación «es un elemento de», también llamada miembro del conjunto, se denota mediante el símbolo ${\displaystyle \in }$ , y al escribir

${\displaystyle x\in A}$ 

estamos diciendo que ${\displaystyle x}$  es un elemento de ${\displaystyle A}$ . Equivalentemente, podemos decir o escribir «${\displaystyle x}$  es un miembro de ${\displaystyle A}$ », «${\displaystyle x}$  pertenece a ${\displaystyle A}$ », «${\displaystyle x}$  es en ${\displaystyle A}$ », «${\displaystyle x}$  reside en ${\displaystyle A}$ », «${\displaystyle A}$  incluye ${\displaystyle x}$ », o «${\displaystyle A}$  contiene ${\displaystyle x}$ ». La negación de este símbolo se denota ${\displaystyle \notin }$ .

No obstante lo anterior, los términos «${\displaystyle A}$  incluye ${\displaystyle x}$ » y «${\displaystyle A}$  contiene ${\displaystyle x}$ » son ambiguos, porque algunos autores también los usan para referirse a que «${\displaystyle x}$  es un subconjunto de ${\displaystyle A}$ ».^[1]​ El lógico George Boolos es enfático al aclarar que la palabra «contiene» debe usarse solo para pertenencia de elementos, e «incluye» solo para relaciones de subconjuntos.^[2]​

Sean ${\displaystyle x}$  un elemento y ${\displaystyle A,B}$  conjuntos:

Relación	Notación	Se lee
pertenencia	${\displaystyle x\in A}$	x pertenece a A
inclusión	${\displaystyle A\subset B}$	A está contenido en B
	${\displaystyle A\subseteq B}$	A está contenido en B o es igual que B
inclusión	${\displaystyle A\supset B}$	A contiene a B
	${\displaystyle A\supseteq B}$	A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo ${\displaystyle x\not \in A}$  es «x no pertenece a A».

Cardinalidad de conjuntos

El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmente se conoce como el tamaño de un conjunto. Para los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto ${\displaystyle A}$  es 4, mientras que la de ${\displaystyle B}$  y ${\displaystyle C}$  es 3. Un conjunto finito es aquel con un número finito de elementos, mientras que uno infinito, uno con una cantidad infinita de elementos. Los ejemplos de arriba son todos de conjuntos finitos. Un ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de los números naturales, ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4\ldots \}}$ .

Ejemplos

Usando los conjuntos definidos arriba:

${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}\,}$ 

podemos decir que:

• 2 ∈ B
• {3,4} ∈ B
• ∅ ⊂ B
• { } ⊂ B
• {2} ⊂ B
• {1,2} ⊂ B
• amarillo ∉ B
• 8 ∉ B
• card(B) = 3
• card({3,4}) = 2
• La cardinalidad de D = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } es finita e igual a 6.
• La cardinalidad de P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13... } (los números primos) es infinita.
• C={360}

No podemos decir respecto al conjunto B, que:

• 2 ⊂ B (cuando usamos la inclusión, debemos relacionar subconjuntos y no elementos, por lo tanto deben de tener llaves a excepción del conjunto vacío (∅) )

• 3 ∈ {3,4} (porque la relación debe ser respecto al conjunto B y no a sus elementos)

• B ∈ B (porque B ⊂ B, no es un elemento de sí mismo)

Referencias

1. Eric Schechter (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. p. 12. ISBN 0-12-622760-8. 
2. 24.243 Classical Set Theory (lecture). Instituto de Tecnología de Massachusetts, Cambridge, MA. 4 de febrero de 1992. 

Bibliografía

• Paul R. Halmos, 1960, Naive Set Theory, Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-90092-6.
• Patrick Suppes, 1960, 1972, Axiomatic Set Theory, Dover Publications, Inc., Nueva York, ISBN 0-486-61630-4.

•   Datos: Q379825