Distribución de Rayleigh

En la teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Rayleigh es una función de distribución continua. Se suele presentar cuando un vector bidimensional (por ejemplo, el que representa la velocidad del viento) tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribución normal. Su valor absoluto seguirá entonces una distribución de Rayleigh. Esta distribución también se puede presentar en el caso de números complejos con componentes real e imaginaria independientes y siguiendo una distribución normal. Su valor absoluto sigue una distribución de Rayleigh.

Función de densidad de probabilidad Rayleigh.

Distribución Rayleigh cumulativa.

Definición

Función de Densidad

Se dice que una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  tiene una distribución de Rayleigh con parámetro de escala ${\displaystyle \sigma >0}$  y escribimos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$  si su función de densidad es

${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ 

para ${\displaystyle x>0}$ .

Función de Distribución

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$  es

${\displaystyle F(x)=1-e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ 

para ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ .

Propiedades

El ${\displaystyle n}$ -ésimo momento de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\begin{cases}\sigma ^{n}2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!&n{\text{ es par}}\\\sigma ^{n}{\sqrt {\pi }}\;{\frac {n!}{2^{n/2}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}&n{\text{ es impar}}\end{cases}}}$ 

La función generadora de momentos de la distribución de Rayleigh con parámetro ${\displaystyle \sigma }$  está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=1+\sigma te^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$ 

donde ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$  es la función error.

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$  entonces

• La esperanza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,}$ 

• La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\left({\frac {4-\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}}$ 

Estimación del parámetro

Dada una muestra de ${\displaystyle n}$  variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución de Rayleigh con parámetro ${\displaystyle \sigma }$ 

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$ 

es el estimador por máxima verosimilitud del parámetro ${\displaystyle \sigma }$ .

Distribuciones relacionadas

• Una variable aleatoria ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma ^{2})}$  si ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$  donde ${\displaystyle X}$  y ${\displaystyle Y}$  son variables aleatorias independientes tales que ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$  y ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$ .
• Si una variable aleatoria ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$  entonces ${\displaystyle R^{2}}$  sigue una distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad, es decir, ${\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}$ .
• Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exponencial} (\lambda )}$  entonces ${\displaystyle Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ .
• La distribución chi es una generalización de la distribución de Rayleigh.
• La distribución de Rice es una generalización de la distribución de Rayleigh.
• La distribución de Weibull es una generalización de la distribución de Rayleigh.

Véase también

• Multitrayecto

Enlaces externos

• Calculadora Distribución de Rayleigh

•   Datos: Q637150
•   Multimedia: Rayleigh distribution