Distribución de Breit-Wigner relativista

La distribución relativista de Breit-Wigner es una distribución de probabilidad continua usual en la física de partículas. Fue usada por primera vez en 1936 por Gregory Breit y Eugene Wigner para describir una resonancia.^[1]​ La función de densidad de probabilidad es^[2]​

Gráfica de una sección eficaz que sigue la distribución de Breit-Wigner relativista.

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}$

donde k es una constante de proporcionalidad igual a

${\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}~~~~}$   con   ${\displaystyle ~~~~\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}~.}$

(Estas ecuaciones emplean unidades naturales en las que ħ = c = 1). La versión no relativista de la distribución de Breit-Wigner es la distribución de Cauchy.

Significado físico

El principal uso de la distribución de Breit-Wigner es modelar resonancias (partículas inestables) en física de altas energías. En este caso, E es la energía en el sistema de referencia del centro de masas que produce la resonancia, M es la masa de la resonancia, y Γ es la anchura de la resonancia (o anchura de desintegración), relacionada con su vida media según τ = 1/Γ. La probabilidad de producir una resonancia a una energía E es proporcional a f (E), de modo que un gráfico de la tasa de producción de la partícula inestable como función de la energía describe una distribución de Breit-Wigner relativista. Para valores de E que distan del máximo en M de modo que |E²−M²| = MΓ, (y por tanto |E−M| = Γ/2 para M≫Γ), la distribución f se atenúa hasta la mitad de su valor máximo, por lo que Γ es la anchura a media altura.

En el límite de anchura nula Γ→0, la partícula se vuelve estable y la distribución f tiende a 2M δ(E²−M²).

En general, Γ puede ser también una función de E; esta dependencia normalmente solo es importante si Γ no es pequeña en comparación con M y la dependencia en el espacio de fases de la anchura debe ser considerada (por ejemplo, en la desintegración de un mesón rho en un par de piones). El factor M ² que multiplica a Γ² se debe sustituir por E ² (o E ⁴/M², etc.) cuando la resonancia es ancha.^[3]​

La forma de la distribución de Breit-Wigner relativista proviene del propagador de una partícula inestable,^[4]​ que tiene en el denominador la forma p² − M² + iMΓ. (donde p² es el cuadrado del cuadrimomento que lleva la partícula en el diagrama de Feynman de nivel árbol correspondiente). El propagador en el sistema de referencia en reposo es proporcional a la amplitud de probabilidad para la desintegración utilizada para reconstruir la resonancia,

${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}~.}$ 

La distribución de probabilidad resultante es proporcional al valor absoluto al cuadrado de la amplitud, y por lo tanto resulta en la distribución de Breit-Wigner relativista.

La forma de la distribución es similar a la solución de la ecuación de movimiento clásica para el movimiento de un oscilador armónico forzado. Tiene la forma de una curva de resonancia o de distribución de Cauchy, pero incluye la variable de Mandelstam relativista ${\displaystyle s=p^{2}}$ , aquí ${\displaystyle s=E^{2}}$ .

La distribución es la solución a una ecuación diferencial análoga a la de la potencia media de un oscilador clásico forzado,

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0\\[10pt]f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}\end{array}}\right\}}$ .

Referencias

1. Breit, G.; Wigner, E. (1936). «Capture of Slow Neutrons». Physical Review 49 (7): 519. Bibcode:1936PhRv...49..519B. doi:10.1103/PhysRev.49.519. 
2. See Pythia 6.4 Physics and Manual (page 98 onwards) for a discussion of the widths of particles in the PYTHIA manual. Note that this distribution is usually represented as a function of the squared energy.
3. Bohm, A.; Sato, Y. (2005). «Relativistic resonances: Their masses, widths, lifetimes, superposition, and causal evolution». Physical Review D 71 (8). Bibcode:2005PhRvD..71h5018B. arXiv:hep-ph/0412106. doi:10.1103/PhysRevD.71.085018. 
4. Brown, L S (1994). Quantum Field Theory, Cambridge University press, ISBN 978-0521469463 , Chapter 6.3.

•   Datos: Q3204440