desigualdad, márkov, teoría, probabilidad, desigualdad, márkov, proporciona, cota, superior, para, probabilidad, función, negativa, variable, aleatoria, mayor, igual, constante, positiva, nombre, viene, matemático, ruso, andréi, márkov, desigualdad, márkov, re. En teoria de la probabilidad la desigualdad de Markov proporciona una cota superior para la probabilidad de que una funcion no negativa de una variable aleatoria sea mayor o igual que una constante positiva Su nombre le viene del matematico ruso Andrei Markov La desigualdad de Markov relaciona las probabilidades con la esperanza matematica y proporciona cotas utiles aunque habitualmente poco ajustadas para la funcion de distribucion de una variable aleatoria Desigualdad de Markov editarDesigualdad de Markov Si X displaystyle X nbsp es una variable aleatoria no negativa tal que E X displaystyle exists operatorname E X nbsp y a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp entonces P X a E X a displaystyle operatorname P X geq a leq frac operatorname E X a nbsp donde E displaystyle operatorname E cdot nbsp denota la esperanza matematica DemostracionCaso discreto Si X displaystyle X nbsp es una variable aleatoria discreta con valores en E X displaystyle E X nbsp aplicando la definicion de la esperanza E X x E X x P X x x lt a x P X x d x x a x P X x 0 x a x P X x x a a P X x a x a P X x a P X a displaystyle begin aligned operatorname E X amp sum x in E X x cdot operatorname P X x amp sum x lt a x cdot operatorname P X x dx sum x geq a x cdot operatorname P X x amp geq 0 sum x geq a x cdot operatorname P X x amp geq sum x geq a a cdot operatorname P X x amp geq a cdot sum x geq a operatorname P X x amp a cdot operatorname P X geq a end aligned nbsp P X a E X a displaystyle Rightarrow operatorname P X geq a leq frac operatorname E X a nbsp Caso continuo Si X displaystyle X nbsp es una variable aleatoria continua con funcion de densidad f X displaystyle f X nbsp aplicando la definicion de la esperanza E X 0 x f X x d x 0 a x f X x d x a x f X x d x 0 a x f X x d x a a f X x d x a a f X x d x a P X a displaystyle begin aligned operatorname E X amp int 0 infty x cdot f X x dx amp int 0 a x cdot f X x dx int a infty x cdot f X x dx amp geq 0 int a infty x cdot f X x dx amp geq int a infty a cdot f X x dx amp geq a cdot int a infty f X x dx amp a cdot operatorname P X geq a end aligned nbsp P X a E X a displaystyle Rightarrow operatorname P X geq a leq frac operatorname E X a nbsp Demostracion editarPara cualquier suceso A sea IA la variable aleatoria indicatriz de A esto es IA 1 si ocurre A y es 0 en el caso contrario Entonces a I X a X displaystyle aI X geq a leq X nbsp Por lo tanto E a I X a E X displaystyle mathbb E aI X geq a leq mathbb E X nbsp Ahora notese que el lado izquierdo de esta desigualdad coincide con a E I X a a Pr X a displaystyle a mathbb E I X geq a a Pr X geq a nbsp Por lo tanto tenemos a Pr X a E X displaystyle a Pr X geq a leq mathbb E X nbsp y como a gt 0 se pueden dividir ambos lados entre a Demostracion alternativa editarUna prueba mas formal relacionada con la teoria de la medida es la siguiente Pr X a a f x d x a x a f x d x 1 a x f x d x E X a displaystyle Pr X geq a int a infty f x dx leq int a infty frac x a f x dx leq frac 1 a int infty infty x f x dx frac mathbb E X a nbsp En la introduccion de x a displaystyle frac x a nbsp notese que ya que estamos considerando la variable aleatoria solo en sus valores iguales o mayores a a displaystyle a nbsp X a displaystyle X geq a nbsp y por tanto X a 1 displaystyle frac X a geq 1 nbsp con lo que al multiplicar f x d x displaystyle f x dx nbsp por algo mayor a uno sera igual o mayor La segunda desigualdad viene de anadir la suma a x f x d x displaystyle int infty a x f x dx nbsp que siempre sera positiva ya que se integra algo positivo como es el valor absoluto porque f x displaystyle scriptstyle f x nbsp es positiva La desigualdad de Markov se emplea para probar la desigualdad de Chebyshov nbsp Datos Q842436 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Desigualdad de Markov amp oldid 150562396, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,