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Decimoquinto problema de Hilbert

Abril 24, 2022

El decimoquinto problema de Hilbert (uno de los conocidos como veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert), consiste en establecer el cálculo enumerativo de Schubert sobre una base rigurosa.

Introducción

El cálculo de Schubert es la teoría de la intersección del siglo XIX, junto con sus aplicaciones a la geometría enumerativa. Justificar este cálculo fue el contenido del problema número 15 de Hilbert, y también fue el tema principal de la geometría algebraica del siglo XX.[1]​[2]​ En el curso de asegurar los fundamentos de la teoría de la intersección, Van der Waerden y Andre Weil[3]​[4]​ relacionaron el problema con la determinación del anillo de cohomología H*(G/P) de una variedad bandera G/P, donde G es un grupo de Lie y P un subgrupo parabólico de G.

La estructura aditiva del anillo H*(G/P) viene dada por el teorema de base del cálculo de Schubert[5]​[6]​[7]​ debido a Ehresmann, Chevalley y Bernstein-Gel'fand-Gel'fand, indicando que las clases clásicas de Schubert sobre G/P forman una base libre del anillo de cohomología H*(G/P). El problema restante de expandir los productos de las clases de Schubert como combinación lineal de los elementos básicos fue denominado el problema característico,[8]​[9]​[3]​ por Schubert y considerado por él mismo como el principal problema teórico de la geometría enumerativa.[10]​

Si bien la geometría enumerativa no tuvo conexión con la física durante el primer siglo de su desarrollo, desde entonces ha surgido como un elemento central de teoría de cuerdas.[11]​

Declaración del problema

La totalidad del enunciado del problema original es la siguiente:

El problema consiste en esto: Establecer rigurosamente y con una determinación exacta de los límites de su validez aquellos números geométricos que Schubert ha determinado especialmente sobre la base del llamado principio de posición especial, o conservación del número, mediante el cálculo enumerativo desarrollado por él.

Aunque el álgebra de hoy garantiza, en principio, la posibilidad de realizar los procesos de eliminación, sin embargo, para la demostración de los teoremas de la geometría enumerativa se requiere decididamente más, a saber, la realización efectiva del proceso de eliminación en el caso de ecuaciones de forma especial, de tal manera que se pueda prever el grado de las ecuaciones finales y la multiplicidad de sus soluciones.[1]​

Cálculo de Schubert

Artículo principal: Cálculo de Schubert

El cálculo de Schubert es una rama de la geometría algebraica introducida en el siglo XIX por Hermann Schubert, con el fin de resolver varios problemas de conteo de la geometría proyectiva (parte de la geometría enumerativa). Fue un precursor de varias teorías más modernas, como por ejemplo las clases características, y en particular sus aspectos algorítmicos, que siguen siendo de interés.

Los objetos introducidos por Schubert son las celdas de Schubert, que son conjuntos localmente cerrados en un grasmaniano definido por las condiciones de incidencia de un subespacio lineal en un espacio proyectivo con una bandera dada. Para obtener más información, consúltese variedad de Schubert.

Según Van der Waerden[3]​ y Andre Weil,[4]​ el problema decimoquinto de Hilbert está resuelto. En particular,

a) El problema característico de Schubert ha sido resuelto por Haibao Duan y Xuezhi Zhao;[12]​

b) Borel, Marlin, Billey-Haiman y Duan-Zhao, et al.;[12]​ han elaborado presentaciones especiales de los anillos de Chow de las variedades bandera.

c) Los principales ejemplos enumerativos de Schubert[8]​ han sido verificados por Aluffi, Harris, Kleiman, Xambó, et al.[13]​[12]​

Referencias

  1. ↑ Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [1] [2] doi 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
  2. F. Scottile, Schubert calculus, Springer Encyclopedia of Mathematics
  3. ↑ Waerden, B. L. van der (1930). «Topologische Begru ̈ndung des Kalku ̈ls der abz ̈ahlenden Geometrie». Math. Ann. 102 (1): 337-362. MR 1512581. doi:10.1007/BF01782350. 
  4. ↑ Weil, A. (1962), Foundations of algebraic geometry, Student Mathematical Library 32, American Mathematical Society, MR 0144898 .
  5. Ehresmann, C. (1934). «Sur la topologie de certains espaces homogenes». Ann. of Math. 35 (2): 396-443. 
  6. Chevalley, C. (1994). «Sur les D ́ecompositions Celluaires des Espaces G/B». Proc. Symp. in Pure Math. 56 (1): 1-26. doi:10.1090/pspum/056.1. 
  7. I.N. Bernstein; I.M. Gel’fand; S.I. Gel’fand (1973). «Schubert cells and cohomology of the spaces G/P». Russian Math. Surveys 28 (3): 1-26. 
  8. ↑ H. Schubert, Kalku ̈l der abz ̈ahlenden Geometrie, Reprint of the 1879 original. With an introduction by Steven L. Kleiman, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, (1979)
  9. H. Schubert, a L ̈osung des Characteristiken-Problems fu ̈r lineare R ̈aume be- liebiger Dimension, Mitteilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 1 (1886), 134-155.
  10. S. Kleiman, Book review on “Intersection Theory by W. Fulton”, Bull. AMS, Vol.12, no.1(1985), 137-143. url = https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552346
  11. Katz, Sheldon (2006), Enumerative Geometry and String Theory, Student Mathematical Library 32, American Mathematical Society .
  12. ↑ H. Duan; X. Zhao (2020). «On Schubert’s Problem of Characteristics, in Schubert Calculus and Its Applications in Combinatorics and Representation Theory (J. Hu et al. eds.)». Springer Proceedings in Mathemauics & Statistics 332: 43-71. arXiv:1912.10745. doi:10.1007/978-981-15-7451-1_4. 
  13. S. Kleiman, Intersection theory and enumerative geometry: A decade in review, Proc. Symp. Pure Math., 46:2, Amer. Math. Soc. (1987), 321-370. url = https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ doi= https://doi.org/10.1090/pspum/046.2

Bibliografía

  • Kleiman, Steven L. (1976), «Problem 15: rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus», Mathematical developments arising from Hilbert problems (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1974), Proc. Sympos. Pure Math. XXVIII, Providence, R. I.: American Mathematical Society, pp. 445-482, MR 0429938 ..
  • Manin, Ju. I. (1969), «On Hilbert's fifteenth problem», Hilbert's problems (Russian), Izdat. “Nauka”, Moscow, pp. 175-181, MR 0254047 ..
  • Pragacz, Piotr (1997), «The status of Hilbert's Fifteenth Problem in 1993», Hilbert's Problems (Polish) (Międzyzdroje, 1993), Warsaw: Polsk. Akad. Nauk, pp. 175-184, MR 1632447 ..
  •   Datos: Q5761149

Abril 24, 2022
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El decimoquinto problema de Hilbert uno de los conocidos como veintitres Problemas de Hilbert publicados en 1900 por el matematico aleman David Hilbert consiste en establecer el calculo enumerativo de Schubert sobre una base rigurosa Indice 1 Introduccion 2 Declaracion del problema 3 Calculo de Schubert 4 Referencias 5 BibliografiaIntroduccion EditarEl calculo de Schubert es la teoria de la interseccion del siglo XIX junto con sus aplicaciones a la geometria enumerativa Justificar este calculo fue el contenido del problema numero 15 de Hilbert y tambien fue el tema principal de la geometria algebraica del siglo XX 1 2 En el curso de asegurar los fundamentos de la teoria de la interseccion Van der Waerden y Andre Weil 3 4 relacionaron el problema con la determinacion del anillo de cohomologia H G P de una variedad bandera G P donde G es un grupo de Lie y P un subgrupo parabolico de G La estructura aditiva del anillo H G P viene dada por el teorema de base del calculo de Schubert 5 6 7 debido a Ehresmann Chevalley y Bernstein Gel fand Gel fand indicando que las clases clasicas de Schubert sobre G P forman una base libre del anillo de cohomologia H G P El problema restante de expandir los productos de las clases de Schubert como combinacion lineal de los elementos basicos fue denominado el problema caracteristico 8 9 3 por Schubert y considerado por el mismo como el principal problema teorico de la geometria enumerativa 10 Si bien la geometria enumerativa no tuvo conexion con la fisica durante el primer siglo de su desarrollo desde entonces ha surgido como un elemento central de teoria de cuerdas 11 Declaracion del problema EditarLa totalidad del enunciado del problema original es la siguiente El problema consiste en esto Establecer rigurosamente y con una determinacion exacta de los limites de su validez aquellos numeros geometricos que Schubert ha determinado especialmente sobre la base del llamado principio de posicion especial o conservacion del numero mediante el calculo enumerativo desarrollado por el Aunque el algebra de hoy garantiza en principio la posibilidad de realizar los procesos de eliminacion sin embargo para la demostracion de los teoremas de la geometria enumerativa se requiere decididamente mas a saber la realizacion efectiva del proceso de eliminacion en el caso de ecuaciones de forma especial de tal manera que se pueda prever el grado de las ecuaciones finales y la multiplicidad de sus soluciones 1 Calculo de Schubert EditarArticulo principal Calculo de Schubert El calculo de Schubert es una rama de la geometria algebraica introducida en el siglo XIX por Hermann Schubert con el fin de resolver varios problemas de conteo de la geometria proyectiva parte de la geometria enumerativa Fue un precursor de varias teorias mas modernas como por ejemplo las clases caracteristicas y en particular sus aspectos algoritmicos que siguen siendo de interes Los objetos introducidos por Schubert son las celdas de Schubert que son conjuntos localmente cerrados en un grasmaniano definido por las condiciones de incidencia de un subespacio lineal en un espacio proyectivo con una bandera dada Para obtener mas informacion consultese variedad de Schubert Segun Van der Waerden 3 y Andre Weil 4 el problema decimoquinto de Hilbert esta resuelto En particular a El problema caracteristico de Schubert ha sido resuelto por Haibao Duan y Xuezhi Zhao 12 b Borel Marlin Billey Haiman y Duan Zhao et al 12 han elaborado presentaciones especiales de los anillos de Chow de las variedades bandera c Los principales ejemplos enumerativos de Schubert 8 han sido verificados por Aluffi Harris Kleiman Xambo et al 13 12 Referencias Editar a b Hilbert David Mathematische Probleme Gottinger Nachrichten 1900 pp 253 297 and in Archiv der Mathematik und Physik 3 1 1901 44 63 and 213 237 Published in English translation by Dr Maby Winton Newson Bulletin of the American Mathematical Society 8 1902 437 479 1 2 doi 10 1090 S0002 9904 1902 00923 3 A fuller 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arising from Hilbert problems Proc Sympos Pure Math Northern Illinois Univ De Kalb Ill 1974 Proc Sympos Pure Math XXVIII Providence R I American Mathematical Society pp 445 482 MR 0429938 Manin Ju I 1969 On Hilbert s fifteenth problem Hilbert s problems Russian Izdat Nauka Moscow pp 175 181 MR 0254047 Pragacz Piotr 1997 The status of Hilbert s Fifteenth Problem in 1993 Hilbert s Problems Polish Miedzyzdroje 1993 Warsaw Polsk Akad Nauk pp 175 184 MR 1632447 Datos Q5761149 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Decimoquinto problema de Hilbert amp oldid 138866444, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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