Curva del dragón

La curva del dragón es un fractal que se construye siguiendo los siguientes pasos:

• A partir de un segmento, se construye el triángulo rectángulo e isósceles, como lo muestra las dos primeras figuras. Luego se borra el segmento inicial.
• Se repite un sinfín de veces el proceso de reemplazar un segmento por otros dos para cada línea de la curva, alternando siempre la orientación de los triángulos.

Proceso de formación de este fractal.

Construcción

La siguiente figura muestra los trece primeros pasos:

 

Agrandando la imagen y después de una veintena de iteraciones, se obtiene la curva del dragón:

 

Se suele citar a Martin Gardner como su autor. ^[1]​

Propiedades

Esta curva llega a rellenar completamente una parte del plano, por lo que su dimensión fractal debe ser 2. El cálculo de su dimensión se hace como en el copo de nieve de Koch, pues las construcciones de ambas curvas son similares.

En el primer paso de la construcción, se observa que a partir del segmento inicial se obtienen los otros catetos del primer triángulo mediante dos semejanzas (una es indirecta) de razón ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}$ , de centros los extremos del segmento, y de ángulos ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$  y ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{4}}}$  radianes (o sea, 45°). Llamemos ${\displaystyle s_{1}}$  y ${\displaystyle s_{2}}$  estas dos similitudes. Por construcción misma, la ${\displaystyle n}$ -ésima figura obtenida en el proceso, ${\displaystyle D_{n}}$ , es la reunión de las imágenes por ${\displaystyle s_{1}}$  y ${\displaystyle s_{2}}$  de la figura anterior ${\displaystyle D_{n-1}}$ :

${\displaystyle D_{n}=s_{1}(D_{n-1})\cup s_{2}(D_{n-1})}$ 

Tomando el límite de esta relación (n tiende hacia +∞), y llamando ${\displaystyle D=D_{\infty }}$  la curva del dragón, obtenemos:

${\displaystyle D_{n}=s_{1}(D)\cup s_{2}(D)}$ 

Es decir, ${\displaystyle D}$  es la reunión de dos copias de sí misma, a escala ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ , como se puede ver en la figura siguiente:

 

Por tanto, si agrandamos D con una homotecia de razón ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , obtenemos dos veces D, a la misma escala.

Si D es de dimensión d, su "volumen" es multiplicado por ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\ d}}$  por esta homotecia. Aquí tenemos, pues, ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\ d}=2}$ , y, por tanto, d = 2.

La curva del dragón tiene además la propiedad de que se puede pavimentar el plano con ella, es decir rellenarlo sin dejar huecos y sin que se sobrepongan dos o más piezas:

 

Referencias

1. González Padilla, Andrés (2 de abril de 2014). . Paradigmas. Archivado desde el original el 10 de noviembre de 2014. Consultado el 8 de enero de 2015. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Curva del dragón.

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•   Datos: Q643749
•   Multimedia: Dragon curves