Cuerpo de descomposición

En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo ${\displaystyle K}$ , y un polinomio no constante ${\displaystyle p(X)\in K[X]}$  (con coeficientes en ${\displaystyle K}$ ) de grado ${\displaystyle n>0}$ , se define el cuerpo de descomposición de ${\displaystyle p}$  como un cuerpo ${\displaystyle E_{p}}$  que cumple:

• Que el polinomio ${\displaystyle p(X)}$  descompone completamente en ${\displaystyle E_{p}}$ , es decir, que se puede expresar ${\displaystyle p(X)}$  como

${\displaystyle p(X)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})}$ , con ${\displaystyle \alpha \in K,\alpha _{i}\in E_{p}.}$ 

• Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a ${\displaystyle K}$  todas las raíces del polinomio ${\displaystyle p(X)}$ :

${\displaystyle E_{p}=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$ .

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios ${\displaystyle T\subseteq K[X]}$  es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios ${\displaystyle p(X)\in T\subseteq K[X]}$ .

Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo ${\displaystyle K}$ , el cuerpo de descomposición de ${\displaystyle K}$  es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios ${\displaystyle K[X];}$  es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en ${\displaystyle K.}$ 

En este caso se le llama clausura algebraica de ${\displaystyle K}$  y se le denota por ${\displaystyle {\bar {K}}}$ .

Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a ${\displaystyle K}$ , también contiene a ${\displaystyle {\bar {K}}}$ :

${\displaystyle \forall \,\Omega {\mbox{ algebr. cerrado, }}K\subseteq \Omega \Rightarrow K\subseteq {\bar {K}}\subseteq \Omega }$ 

Véase también

• Cuerpo de ruptura

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Splitting field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Splitting Field en PlanetMath.

•   Datos: Q1996100