Criterio de la segunda derivada

El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función ${\displaystyle f}$ es convexa en un intervalo abierto que contiene a ${\displaystyle c}$, y ${\displaystyle f'(c)=0,\;f(c)}$ debe ser un mínimo relativo a ${\displaystyle f}$. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle f'(c)=0,\;f(c)}$ debe ser un máximo relativo de ${\displaystyle f}$.

Extremos relativos

Sea ${\displaystyle f}$  una función derivable dos veces en un entorno abierto que contiene a ${\displaystyle x}$  tal que ${\displaystyle f'(x)=0}$  (${\displaystyle x}$  es, consecuentemente, un punto crítico de ${\displaystyle f(x)}$ ) con la siguiente segunda derivada:^[1]​

1. Si ${\displaystyle f''(x)<0}$ , entonces ${\displaystyle f}$  tiene un máximo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$ .
2. Si ${\displaystyle f''(x)>0}$ , entonces ${\displaystyle f}$  tiene un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$ .
3. Si ${\displaystyle f''(x)=0}$ , entonces el criterio no decide. Esto es, ${\displaystyle f}$  quizás tenga un máximo relativo en ${\displaystyle x}$ , un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$  o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Ejemplo

Los puntos críticos de la función ${\displaystyle f(x)=3x^{3}-8x^{2}+7x-2}$  son ${\displaystyle x=1}$  y ${\displaystyle x=7/9}$ . La función es dos veces derivable en entornos de estos puntos y su segunda derivada es ${\displaystyle f''(x)=18x-16}$ . Como ${\displaystyle f''(1)=2>0}$  y ${\displaystyle f''(7/9)=-2<0}$ , por el criterio de la segunda derivada, ${\displaystyle f}$  tiene un mínimo local en ${\displaystyle x=1}$  y un máximo local en ${\displaystyle x=7/9}$ .^[2]​

Véase también

• Criterio de la primera derivada
• Criterio de la tercera derivada
• Extremos de una función
• Punto de inflexión
• Punto crítico
• Punto estacionario

Referencias

1. Llopis, José L. «Demostración del criterio de la segunda derivada». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de agosto de 2019. 
2. Llopis, José L. «Extremos y monotonía de funciones». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de agosto de 2019. 

Enlaces externos

•   Datos: Q3520081