Conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es el más estudiado de los fractales. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.

Representación matemática del conjunto de Mandelbrot como subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se muestran en negro. Obsérvese cómo –1 pertenece al conjunto, mientras que 1 no.

Representación del conjunto de Mandelbrot mediante el algoritmo de tiempo de escape

Este conjunto se define en el plano complejo fijando un número complejo c cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0\in \mathbb {C} &{\text{(término inicial)}}\qquad \\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c&{\text{(sucesión recursiva)}}\end{cases}}}$

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.

Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26, …, que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.

En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1, …, que sí es acotada y, por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.

A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos que el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.

Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}>4}$ no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique ${\displaystyle |z_{n}|>2}$ para estar seguro de que c no está en el conjunto.

Invariabilidad en diversas escalas

 

Una propiedad fundamental de los fractales es la invariabilidad total o parcial de ciertas características con relación a diversas escalas, en particular, al ampliar ciertas partes de la imagen de un fractal, reaparece una imagen similar a la inicial y así sucesivamente. A continuación se muestran las ampliaciones de la imagen principal:

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  Recuadro verde

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  Minirecuadro gris

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  Recuadro blanco

Al agrandar el recuadro verde, se aprecia:

• Se observa una bola negra con un contorno muy similar a la imagen inicial.

• La siguiente bola negra ampliable del recuadro verde es más similar a la mayor que a la imagen inicial.

Al agrandar el recuadro gris situado en el extremo izquierdo de la imagen inicial, se tiene que su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces eligiendo bien la imagen a ampliar.

Al agrandar el recuadro violeta de la imagen principal, se tiene que la imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene aparentemente la misma forma que la imagen inicial.

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  Recuadro violeta

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  Detalle del recuadro violeta

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  Detalle

 

Otra representación del conjunto de Mandelbrot

Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano (imagen de la derecha):

Acerquémonos al cuadro blanco de la última imagen (a la izquierda): Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.

Otra representación

En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero las líneas de nivel (que separan los colores, fuera del conjunto) no son idénticas. Esto se debe a que no se ha empleado el mismo criterio de divergencia, en esta imagen es realmente ${\displaystyle |z_{n}|>2}$ , mientras que en las anteriores era ${\displaystyle |z_{n}|>10}$ , por razones estéticas, ya que así se obtiene una imagen inicial menos oscura.

Historia

La teoría básica sobre la iteración de funciones complejas fue desarrollada por Gaston Julia y Pierre Fatou en los años 1910. La forma extraordinariamente intrincada de conjuntos relacionados con estas iteraciones se reveló en el momento en que los gráficos por ordenador fueron lo suficientemente avanzados. Las primeras imágenes del conjunto, algo burdas, de Robert Brooks y Peter Matelski, datan de 1978.^[1]​

Benoit Mandelbrot estudió el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos en un artículo aparecido en 1980 y despertó el interés global por el mismo.^[2]​

El estudio matemático riguroso de este conjunto realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard,^[3]​^[4]​ quienes demostraron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron el conjunto en honor de Mandelbrot. Entre otras propiedades, probaron que es un conjunto conexo y formularon la conjetura MLC, que formula la creencia de que el conjunto de Mandelbrot es localmente conexo.

Relación con los conjuntos de Gaston Julia

Existe otra manera de definir este conjunto: es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia asociado a ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$  es conexo.

Imágenes calculadas con ordenador digital

Hasta que no aparecieron los primeros ordenadores digitales no se pudo visualizar este fractal con toda su complejidad.

En la serie que se detalla debajo podemos ver cómo va mejorando la definición del fractal, a medida que incrementamos el número de iteraciones. Los puntos que convergen a un valor determinado aparecen de color amarillo pálido, y pertenecen propiamente al conjunto de Mandelbrot. Los puntos que presentan divergencia al infinito se han coloreado con una gama cromática que va desde el gris al negro, en función del número de iteraciones necesarias (algoritmo de la velocidad de escape). Cuantas menos iteraciones son necesarias para divergir al infinito, se aplica un color más oscuro.

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  10 iteraciones por píxel
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  12 iteraciones por píxel
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  15 iteraciones por píxel
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  20 iteraciones por píxel
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  50 iteraciones por píxel
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  500 iteraciones por píxel

Propiedades

Propiedades topológicas

El conjunto de Mandelbrot es compacto, conexo y su complemento también es conexo. Su interior, al igual que cualquier interior de un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {C} }$  no vacío, resulta ser de la cardinalidad de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , esto es una consecuencia directa de que la topología usual en ${\displaystyle \mathbb {C} }$  tiene una base de abiertos de cardinalidad no numerable = ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ .

Su frontera tiene dimensión topológica 1 pero dimensión de Hausdorff 2, la máxima posible al ser subconjunto del plano.

Véase también

• Benoît Mandelbrot (1924-2010).
• Fractal
• Conjunto de Julia
• Semejanza (geometría)

Referencias

1. Brooks, Robert; y Matelski, Peter: «The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C)», en Kra, Irwin; y Maskit, Bernard (eds.): Riemann surfaces and related topics: proceedings of the 1978 Stony Brook conference. Princeton (New Jersey): Princeton University Press, 1981.
2. Mandelbrot, Benoît: «Fractal aspects of the iteration of ${\displaystyle z\mapsto \lambda z(1-z)\,}$  for complex ${\displaystyle \lambda ,z\,}$ », artículo en la revista Annals of the New York Academy of Sciences, 357, págs. 249-259.
3. Douady, Adrien; y Hubbard, John H. (1985): «Etude dynamique des polynômes complexes», artículo en la revista Prépublications mathémathiques d'Orsay, 2/4; 1984-1985.
4. John H. Hubbard, biografía del matemático John H. Hubbard en la Wikipedia en inglés.

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Conjunto de Mandelbrot.

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

•   Datos: Q257
•   Multimedia: Mandelbrot sets