Condición de frontera de Robin

En matemáticas, la condición de frontera de Robin (o de tercer tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor a Victor Gustave Robin (1855-1897),^[1]​ cuando en una ecuación diferencial ordinaria o en una derivadas parciales, se le específica una combinación lineal de los valores de una función y y los valores de su derivada sobre la frontera del dominio.

Definición

Las condiciones de frontera de Robin son una combinación ponderada de las condiciones de Dirichlet y Neumann. Es el contraste de la condiciones de frontera mixtas, las cuales son condiciones de frontera de diferentes tipos especificadas en diferentes subconjuntos de la frontera. Las condiciones de frontera de Robin también se denominan condiciones de frontera de impedancia, por su aplicación en problemas electromagnéticos.

Si Ω es el dominio sobre el cual se resuelve la ecuación dada y ∂Ω es su frontera, la condición de Robin es:^[2]​

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{sobre }}\partial \Omega \,}$ 

para algunas constantes distintas de cero a y b y una función dada g definida sobre ∂Ω. Aquí, u es la solución desconocida definida sobre Ω y ∂u/∂n es la derivada normal en la frontera. En general a y b pueden ser funciones dadas en lugar de constantes.

En una dimensión, si, por ejemplo, Ω = [0, 1], la condición de frontera de Robin es:

${\displaystyle {\begin{cases}au(0)-bu'(0)=g(0)\,\\au(1)+bu'(1)=g(1).\,\end{cases}}}$ 

donde se puede observar el cambio de signo en el frente que involucra la derivada: esto esporque la normal a [0, 1] en 0 apunta en la dirección negativa, mientras que en 1 apunta en dirección positiva.

Aplicaciones

Las condiciones de frontera de Robin se utilizan frecuentemente para resolver problemas de Sturm-Liouville que aparece en muchos contextos en la ciencia y la ingeniería.

Además, la condición de frontera de Robin es una forma general de condiciones de frontera aisladas para las ecuaciones de convección-difusión. En estas ecuaciones, la suma de los flujos convectivos y difusivos en la frontera son cero:

${\displaystyle -D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}+u_{x}(0)\,c(0)=0\,}$ 

donde D es la constante de difusión, u la velocidad de convección en la frontera y c es la concentración. El primer término es el resultado de la ley de difusión de Fick.

Véase también

• Condición de frontera de Dirichlet
• Condición de frontera de Neumann
• Condición de frontera mixta
• Condición de frontera de Cauchy

Referencias

1. Gustafson, K., (1998). Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition, Contemporary Mathematics, 218. 432-437.
2. J. E. Akin (2005). Finite Element Analysis with Error Estimators: An Introduction to the FEM and Adaptive Error Analysis for Engineering Students (en inglés). Butterworth-Heinemann. p. 69. ISBN 9780080472751. 

Bibliografía

• Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, 47-53.
• Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). The third boundary condition - was it Robin's?, The Mathematical Intelligencer, 20, 63-71.
• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Applied mathematics, body and soul (en inglés). Berlin; New York: Springer. ISBN 3540008896. 
• Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework (en inglés). New York: Springer. ISBN 0387951423. 
• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Computational differential equations (en inglés). Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0521567386. 
• Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations (en inglés). Berlin; New York: Springer. ISBN 3540672966. 

•   Datos: Q748993