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Circunferencia de Apolonio

Septiembre 12, 2022

La circunferencia de Apolonio es un famoso problema acerca de lugares geométricos: dados dos puntos A y B, se trata de determinar el lugar geométrico de los puntos del plano P que cumplen: PA/PB = r, siendo r una constante.

Figura 1: definición de un círculo por Apolonio
Figura 2: un set de círculos de Apolonio. Cada círculo celeste se interseca con cada círculo rojo en un ángulo recto, y viceversa. Cada círculo rojo pasa a través de dos focos, que se corresponden con los puntos A y B de la Figura 1.

En el caso r = 1 es fácil comprobar que el lugar geométrico descrito por el punto P es la recta mediatriz del segmento determinado por A y B.

En el caso general (r distinto de 1) el lugar geométrico es una circunferencia de radio "k" cuyo centro está sobre el segmento AB. Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de Apolonio de los puntos A y B para la razón r.

Además, se cumple que , siendo r el radio de la circunferencia de Apolonio de centro O; lo que significa que los puntos A y B son inversos respecto de la circunferencia de Apolonio. Por ello los puntos A, B y los dos puntos M y N que se obtienen como intersección de la circunferencia de Apolonio con la recta determinada por A y B constituyen una cuaterna armónica.

Demostración 1

a) Consideremos un punto P, no alineado con A y B, que cumpla la propiedad. Si consideramos el triángulo APB, sabemos por el teorema de las bisectrices que si M y N son los puntos en los que las bisectrices, interna y externa, del ángulo P cortan a la recta AB, se cumple que r = AP/PB = AM/MB = AN/BN. Resulta así que para cualquier punto P los puntos M y N son fijos y, además, por ser MP y PN bisectrices, el ángulo <MPN es recto. Por ello P está sobre la circunferencia de diámetro MN.

b) Veamos que todo punto P perteneciente a la circunferencia de diámetro MN, donde AM/MB = AN/BN = r, cumple: AP/PB = r. La recta simétrica de PA respecto a PM corta a la recta AB en B', siendo PM y PN las bisectrices de <APB' (PM por la construcción realizada, y PN por ser perpendicular a PM). Por el teorema de la bisectriz sabemos que AP/PB' = AM/MB' = AN/B'N. De la última igualdad, teniendo en cuenta que AM/MB = AN/BN = r, se deduce que B' = B. De aquí resulta que AP/PB = r

Demostración 2

 
El problema de Apolonio puede tener hasta ocho soluciones. Los tres círculos se muestran en negro, y la solución en colores

La demostración consta de dos partes: a) si P cumple la propiedad está sobre la circunferencia mencionada, b) si P es un punto de dicha circunferencia cumple la propiedad PA/PB = r.

a) Considermos un punto P que cumpla la propiedad del lugar geométrico y que no esté alineado con A y B (PA/PB = r). Dibujamos la circunferencia que contiene a A, B y P. Por P trazamos la recta tangente a dicha circunferencia obteniendo el punto O como intersección de la tangente con la recta determinada por A y B. Podemos observar que el ángulo <PAB, inscrito en la circunferencia, y el ángulo semiinscrito <BPO son iguales (abarcan el mismo arco de circunferencia). De aquí deducimos que los triángulos APO y BPO son semejantes ya que tienen un ángulo común (<O), los ángulos <PAB y <BPO coinciden y tienen un lado común: PO. Por ello : OA/OP = OP/OB = AP/PB = r. Multiplicando los dos primeros miembros de las igualdades anteriores obtenemos: (OA/OP)(OP/OB) = r2, es decir: OA/OB = r2. Como O es exterior al segmento AB resulta que O es un punto fijo de la recta AB, independiente de P. También tenemos que OA · OB es constante. Si designamos OA · OB por k2 (OA · OB = k2), tenemos: OP2= k2, por lo que P está sobre la circunferencia de centro O y radio k. (Observación: el caso de P alineado con A y B tiene dos posibilidades que se estudian directamente respecto al punto O obtenido, y se comprueba que también están sobre la circunferencia de Apolonio)

b) Supongamos ahora que un punto P se encuentra situado sobre la circunferencia de centro O y cumple OP2 = OA · OB. De aquí obtenemos OP/OB = OA/OP. De la proporcionalidad anterior y de la igualdad del ángulo en O deducimos que los triángulos OAP y OBP son semejantes. Por ello: OP/OB = OA/OP = PA/PB = r. Veamos que r es un valor constante que no depende del punto P de la circunferencia. Multiplicando los primeros miembros de las igualdades resulta (OP/OB)(OA/OP) = r2, OA/OB = r2. Como O, A y B son fijos también lo es r2 y por tanto también "r".

Véase también

Bibliografía

  • "Geometría Métrica" de Puig Adam
  • "Geometry, a comprehensive course", de Dan Pedoe. Ed. Dover

Enlaces externos

  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Circunferencia de Apolonio.
  •   Datos: Q773862
  •   Multimedia: Circles of Apollonius / Q773862

Septiembre 12, 2022
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La circunferencia de Apolonio es un famoso problema acerca de lugares geometricos dados dos puntos A y B se trata de determinar el lugar geometrico de los puntos del plano P que cumplen PA PB r siendo r una constante Figura 1 definicion de un circulo por Apolonio Figura 2 un set de circulos de Apolonio Cada circulo celeste se interseca con cada circulo rojo en un angulo recto y viceversa Cada circulo rojo pasa a traves de dos focos que se corresponden con los puntos A y B de la Figura 1 En el caso r 1 es facil comprobar que el lugar geometrico descrito por el punto P es la recta mediatriz del segmento determinado por A y B En el caso general r distinto de 1 el lugar geometrico es una circunferencia de radio k cuyo centro esta sobre el segmento AB Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de Apolonio de los puntos A y B para la razon r Ademas se cumple que r 2 O A O B displaystyle r 2 OA cdot OB siendo r el radio de la circunferencia de Apolonio de centro O lo que significa que los puntos A y B son inversos respecto de la circunferencia de Apolonio Por ello los puntos A B y los dos puntos M y N que se obtienen como interseccion de la circunferencia de Apolonio con la recta determinada por A y B constituyen una cuaterna armonica Indice 1 Demostracion 1 2 Demostracion 2 3 Vease tambien 4 Bibliografia 5 Enlaces externosDemostracion 1 Editara Consideremos un punto P no alineado con A y B que cumpla la propiedad Si consideramos el triangulo APB sabemos por el teorema de las bisectrices que si M y N son los puntos en los que las bisectrices interna y externa del angulo P cortan a la recta AB se cumple que r AP PB AM MB AN BN Resulta asi que para cualquier punto P los puntos M y N son fijos y ademas por ser MP y PN bisectrices el angulo lt MPN es recto Por ello P esta sobre la circunferencia de diametro MN b Veamos que todo punto P perteneciente a la circunferencia de diametro MN donde AM MB AN BN r cumple AP PB r La recta simetrica de PA respecto a PM corta a la recta AB en B siendo PM y PN las bisectrices de lt APB PM por la construccion realizada y PN por ser perpendicular a PM Por el teorema de la bisectriz sabemos que AP PB AM MB AN B N De la ultima igualdad teniendo en cuenta que AM MB AN BN r se deduce que B B De aqui resulta que AP PB rDemostracion 2 Editar El problema de Apolonio puede tener hasta ocho soluciones Los tres circulos se muestran en negro y la solucion en colores La demostracion consta de dos partes a si P cumple la propiedad esta sobre la circunferencia mencionada b si P es un punto de dicha circunferencia cumple la propiedad PA PB r a Considermos un punto P que cumpla la propiedad del lugar geometrico y que no este alineado con A y B PA PB r Dibujamos la circunferencia que contiene a A B y P Por P trazamos la recta tangente a dicha circunferencia obteniendo el punto O como interseccion de la tangente con la recta determinada por A y B Podemos observar que el angulo lt PAB inscrito en la circunferencia y el angulo semiinscrito lt BPO son iguales abarcan el mismo arco de circunferencia De aqui deducimos que los triangulos APO y BPO son semejantes ya que tienen un angulo comun lt O los angulos lt PAB y lt BPO coinciden y tienen un lado comun PO Por ello OA OP OP OB AP PB r Multiplicando los dos primeros miembros de las igualdades anteriores obtenemos OA OP OP OB r2 es decir OA OB r2 Como O es exterior al segmento AB resulta que O es un punto fijo de la recta AB independiente de P Tambien tenemos que OA OB es constante Si designamos OA OB por k2 OA OB k2 tenemos OP2 k2 por lo que P esta sobre la circunferencia de centro O y radio k Observacion el caso de P alineado con A y B tiene dos posibilidades que se estudian directamente respecto al punto O obtenido y se comprueba que tambien estan sobre la circunferencia de Apolonio b Supongamos ahora que un punto P se encuentra situado sobre la circunferencia de centro O y cumple OP2 OA OB De aqui obtenemos OP OB OA OP De la proporcionalidad anterior y de la igualdad del angulo en O deducimos que los triangulos OAP y OBP son semejantes Por ello OP OB OA OP PA PB r Veamos que r es un valor constante que no depende del punto P de la circunferencia Multiplicando los primeros miembros de las igualdades resulta OP OB OA OP r2 OA OB r2 Como O A y B son fijos tambien lo es r2 y por tanto tambien r Vease tambien EditarProblema de Apolonio Anexo Fractales por dimension de HausdorffBibliografia Editar Geometria Metrica de Puig Adam Geometry a comprehensive course de Dan Pedoe Ed DoverEnlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Circunferencia de Apolonio Datos Q773862 Multimedia Circles of Apollonius Q773862 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Circunferencia de Apolonio amp oldid 145637847, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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