Cadena de Ehrenfest

La cadena de Ehrenfest, llamada así en honor al físico y matemático austriaco Paul Ehrenfest, es una cadena de Márkov en tiempo discreto usada para modelar el intercambio de moléculas de gas entre dos urnas.

Simulación de una Cadena de Ehrenfest con 20 bolas, distribución inicial 10-10 y 50 pasos.

Supongamos que tenemos dos urnas, ${\displaystyle C_{1}}$ y ${\displaystyle C_{2}}$. En ellas están distribuidas d bolas numeradas; en cada paso, se elige un número al azar entre {1,2,...,d}. A continuación se observa en qué urna está la bola con el número elegido y se cambia de urna.

Modelo

Sea ${\displaystyle X_{n}}$  la variable aleatoria que denota el número de bolas contenidas en la urna ${\displaystyle C_{1}}$  al tiempo n. El espacio de estados será entonces E={0,1,2,...,d} y la matriz de transición estará dada por:

${\displaystyle P_{x,y}={\begin{cases}x/d&{\mbox{si }}x>0,y=x-1\\(d-x)/d&{\mbox{si }}x<d,y=x+1\\0&{\mbox{en otro caso }}\end{cases}}}$ 

Propiedades

Para la cadena de Ehrenfest:

• La cadena es irreducible.
• Todos sus estados son recurrentes.
• La cadena es positivo-recurrente (pues todos sus estados lo son).

Como consecuencia de las anteriores propiedades, resulta que la cadena tiene un único vector de probabilidad invariante para su matriz de transición y está dado por:

${\displaystyle \nu ={1 \over {2^{d}}}\left({\binom {d}{0}},{\binom {d}{1}},...,{\binom {d}{d}}\right)}$ 

Referencias

Bibliografía

• M.E. Caballero et ál, Cadenas de markov: un enfoque elemental, 2ª edición, aportaciones matemáticas, pp. 164.

•   Datos: Q5738909