CW-complejo

En Topología y Geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en Topología (especialmente en Topología Algebraica) y en Geometría Diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

Definición

Célula

En Topología se denomina célula a un espacio topológico ${\displaystyle e}$  que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún entero no negativo ${\displaystyle n\geq 0}$  de manera que ${\displaystyle e\sim \mathbb {R} ^{n}}$  (donde ${\displaystyle \sim }$  representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que ${\displaystyle e}$  es una ${\displaystyle n}$ -célula, y que la dimensión de ${\displaystyle e}$  es ${\displaystyle n}$  (denotado por ${\displaystyle |e|:=dim(e)=n}$ ).

Descomposición celular

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio topológico. Se dice que el par ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$  es una descomposición celular de ${\displaystyle X}$  si ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  es una partición de ${\displaystyle X}$  en células, es decir, cada elemento de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  es una célula, ${\displaystyle X}$  es la unión de todos los elementos de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  y dos elementos distintos de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  son disjuntos (si ${\displaystyle e_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}}$  y ${\displaystyle e_{1}\neq e_{2}}$ , entonces ${\displaystyle e_{1}\cap e_{2}=\varnothing }$ ).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo ${\displaystyle n}$  una descomposición celular ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$  de ${\displaystyle X}$ , se denomina conjunto de ${\displaystyle n}$ -células a la unión de todas las células de dimensión ${\displaystyle n}$  (es decir, a ${\displaystyle \bigcup _{e\in {\mathcal {E}}:|e|=n}e}$ ). Se denomina así mismo ${\displaystyle n}$ -esqueleto al conjunto ${\displaystyle X^{n}:=\bigcup _{e\in {\mathcal {E}}:|e|\leq n}e}$ , es decir, a la unión de los conjuntos de ${\displaystyle m}$ -células, cuando ${\displaystyle m\leq n}$ .

Si existiese algún ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$  de forma que ${\displaystyle X=X^{n}}$ , diremos que ${\displaystyle X}$  tiene dimensión finita. En ese caso, al menor ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$  de forma que ${\displaystyle X=X^{n}}$  se le denomina dimensión de ${\displaystyle X}$  (${\displaystyle n=dim(X)}$ ). En caso contrario (es decir, si ${\displaystyle X}$  no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de ${\displaystyle X}$  es infinita (${\displaystyle dim(X)=\infty }$ ). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si ${\displaystyle X}$  es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Complejos celulares

Sea ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$  una descomposición celular. Se dice que ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$  es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$  es una CW-descomposición de ${\displaystyle X}$ , o que ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$  es una descomposición de tipo CW de ${\displaystyle X}$ ) si se cumple las siguientes condiciones:

• Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$  existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula ${\displaystyle e}$ ) ${\displaystyle \Phi _{e}:{\overline {B}}^{n}\longrightarrow X}$  de tal forma que ${\displaystyle \Phi _{e}|{B^{n}}}$  es un homeomorfismo entre ${\displaystyle B^{n}}$  y ${\displaystyle e}$ , y ${\displaystyle \Phi _{e}(S^{n-1})\subseteq X^{n-1}}$  (donde aquí ${\displaystyle n=dim(e)}$ , ${\displaystyle {\overline {B}}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||\leq 1\}}$ , es decir, ${\displaystyle {\overline {B}}^{n}}$  representa a la bola cerrada de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  centrada en le origen y de radio 1, ${\displaystyle B^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||<1\}}$ , es decir, ${\displaystyle B^{n}}$  representa a la bola abierta de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  centrada en el origen y de radio 1 y ${\displaystyle S^{n-1}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||=1\}}$  es la esfera de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de ${\displaystyle \Phi _{e}}$  a ${\displaystyle S^{n-1}}$  (esto es a ${\displaystyle \phi _{e}:=\Phi _{e}|_{S^{n-1}}}$ ) se la denomina aplicación sujeción para la célula ${\displaystyle e}$ .
• Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$ , su clausura ${\displaystyle {\overline {e}}}$  está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, ${\displaystyle {\overline {e}}}$  tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
• Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto ${\displaystyle F\subset X}$  es cerrado cuando y sólo cuando ${\displaystyle F\cap {\overline {e}}}$  lo es (cerrado) en ${\displaystyle {\overline {e}}}$ , cualquiera que sea la célula ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$ .

•   Datos: Q189061