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Cálculo proposicional de Frege

Agosto 11, 2021

Cálculo proposicional de Frege, en la Lógica matemática, el cálculo proposicional de Frege fue la primera axiomatización del cálculo proposicional. Fue inventado por Gottlob Frege, quien también inventó el cálculo de predicados, en 1879, como parte de su cálculo de predicados de segundo orden (a pesar de que Charles Peirce fue el primero en utilizar el término "segundo orden" y desarrolló su propia versión de forma independiente del cálculo de predicados de Frege).

Hace uso de sólo dos operadores lógicos: Implicación y la negación, y está constituida por seis axiomas y una regla de inferencia: modus ponens.

Axiomas

THEN-1: A → (B → A)
THEN-2: (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
THEN-3: (A → (B → C)) → (B → (A → C))
FRG-1: (A → B) → (¬B → ¬A)
FRG-2: ¬¬A → A
FRG-3: A → ¬¬A

Regla de Inferencia

MP: P, P→Q ⊢ Q

El Cálculo proposicional de Frege es equivalente a cualquier otro cálculo proposicional clásico, como el "Cálculo proposicional" (CP) normal con 11 axiomas. El CP de Frege y CP estándar comparten dos axiomas en común: THEN-1 y THEN-2. Teniendo en cuenta que los axiomas THEN-1 al THEN-3 sólo hacen uso (y lo definen) del operador de implicación, mientras que los axiomas FRG-1 al FRG-3 definen al operador de negación.

Los teoremas siguientes tendrán como objetivo encontrar los otros nueve axiomas del CP estándar en el teorema del CP de Frege, mostrando que la teoría-espacio del CP estándar está contenido dentro de la teoría del CP de Frege.

(Una teoría, también nombrada aquí, con fines de figuración, un "teorema-espacio, es un conjunto de teoremas que son un subconjunto de un conjunto universo de Fórmulas bien formadas. Los teoremas están vinculados entre sí en una forma indicada por las Reglas de inferencia, formando una especie de red ramificada. En las raíces del teorema-espacio se encuentran los axiomas, que "generan" el teorema-espacio muy similar a un generador generando un grupo.)

Reglas y Teoremas

FBF → Fórmula bien formada

Reglas THEN

Regla THEN-1

  • A ⊢ B→A
# FBF Razón
1. A premisa
2. A→(B→A) THEN-1
3. B→A MP 1,2.

Regla THEN-2

  • A→(B→C) ⊢ (A→B)→(A→C)
# FBF Razón
1. A→(B→C) premisa
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) THEN-2
3. (A→B)→(A→C) MP 1,2.

Regla THEN-3

  • A→(B→C) ⊢ B→(A→C)
# FBF Razón
1. A→(B→C) premisa
2. (A → (B → C)) → (B → (A → C)) THEN-3
3. B→(A→C) MP 1,2.

Regla FRG-1

  • A→B ⊢ ¬B→¬A
# FBF Razón
1. (A→B)→(¬B→¬A) FRG-1
2. A→B premisa
3. ¬B→¬A MP 2,1.

Regla TH1

  • A→B, B→C ⊢ A→C
# FBF Razón
1. B→C premisa
2. (B→C)→(A→(B→C)) THEN-1
3. A→(B→C) MP 1,2
4. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) THEN-2
5. (A→B)→(A→C) MP 3,4
6. A→B premisa
7. A→C MP 6,5.

Teoremas TH

Teorema TH1

  • (A→B)→((B→C)→(A→C))
# FBF Razón
1. (B→C)→(A→(B→C)) THEN-1
2. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) THEN-2
3. (B→C)→((A→B)→(A→C)) TH1* 1,2
4. ((B→C)→((A→B)→(A→C)))→((A→B)→((B→C)→(A→C))) THEN-3
5. (A→B)→((B→C)→(A→C)) MP 3,4.

Teorema TH2

  • A→(¬A→¬B)
# FBF Razón
1. A→(B→A) THEN-1
2. (B→A)→(¬A→¬B) FRG-1
3. A→(¬A→¬B) TH1* 1,2.

Teorema TH3

  • ¬A→(A→¬B)
# FBF Razón
1. A→(¬A→¬B) TH 2
2. (A→(¬A→¬B))→(¬A→(A→¬B)) THEN-3
3. ¬A→(A→¬B) MP 1,2.

Teorema TH4

  • ¬(A→¬B)→A
# FBF Razón
1. ¬A→(A→¬B) TH3
2. (¬A→(A→¬B))→(¬(A→¬B)→¬¬A) FRG-1
3. ¬(A→¬B)→¬¬A MP 1,2
4. ¬¬A→A FRG-2
5. ¬(A→¬B)→A TH1* 3,4.

Teorema TH5

  • (A→¬B)→(B→¬A)
# FBF Razón
1. (A→¬B)→(¬¬B→¬A) FRG-1
2. ((A→¬B)→(¬¬B→¬A))→(¬¬B→((A→¬B)→¬A)) THEN-3
3. ¬¬B→((A→¬B)→¬A) MP 1,2
4. B→¬¬B FRG-3, with A := B
5. B→((A→¬B)→¬A) TH1* 4,3
6. (B→((A→¬B)→¬A))→((A→¬B)→(B→¬A)) FRG-1
7. (A→¬B)→(B→¬A) MP 5,6.

Teorema TH6

  • ¬(A→¬B)→B
# FBF Razón
1. ¬(B→¬A)→B TH4, with A := B, B := A
2. (B→¬A)→(A→¬B) TH5, with A := B, B := A
3. ((B→¬A)→(A→¬B))→(¬(A→¬B)→¬(B→¬A)) FRG-1
4. ¬(A→¬B)→¬(B→¬A) MP 2,3
5. ¬(A→¬B)→B TH1* 4,1.

Teorema TH7

  • A→A
# FBF Razón
1. A→¬¬A FRG-3
2. ¬¬A→A FRG-2
3. A→A TH1* 1,2.

Teorema TH8

  • A→((A→B)→B)
# FBF Razón
1. (A→B)→(A→B) TH7, with A := A→B
2. ((A→B)→(A→B))→(A→((A→B)→B)) THEN-3
3. A→((A→B)→B) MP 1,2.

Teorema TH9

  • B→((A→B)→B)
# FBF Razón
1. B→((A→B)→B) THEN-1, with A := B, B := A→B.

Teorema TH10

  • A→(B→¬(A→¬B))
# FBF Razón
1. (A→¬B)→(A→¬B) TH7
2. ((A→¬B)→(A→¬B))→(A→((A→¬B)→¬B) THEN-3
3. A→((A→¬B)→¬B) MP 1,2
4. ((A→¬B)→¬B)→(B→¬(A→¬B)) TH5
5. A→(B→¬(A→¬B)) TH1* 3,4.

Nota: ¬(A→¬B)→A (TH4), ¬(A→¬B)→B (TH6), y A→(B→¬(A→¬B)) (TH10), entonces ¬(A→¬B) se comporta como A∧B. (Compara con los axiomas AND-1, AND-2, y AND-3).

Teorema TH11

  • (A→B)→((A→¬B)→¬A)
# FBF Razón
1. A→(B→¬(A→¬B)) TH10
2. (A→(B→¬(A→¬B)))→((A→B)→(A→¬(A→¬B))) THEN-2
3. (A→B)→(A→¬(A→¬B)) MP 1,2
4. (A→¬(A→¬B))→((A→¬B)→¬A) TH5
5. (A→B)→((A→¬B)→¬A) TH1* 3,4.

TH11 es un axioma NOT-1 de cálculo proposicional estándar, llamado "reductio ad absurdum".

Teorema TH12

  • ((A→B)→C)→(A→(B→C))
# FBF Razón
1. B→(A→B) THEN-1
2. (B→(A→B))→(((A→B)→C)→(B→C)) TH1
3. ((A→B)→C)→(B→C) MP 1,2
4. (B→C)→(A→(B→C)) THEN-1
5. ((A→B)→C)→(A→(B→C)) TH1* 3,4.

Teorema TH13

  • (B→(B→C))→(B→C)
# FBF Razón
1. (B→(B→C)) → ((B→B)→(B→C)) THEN-2
2. (B→B)→ ( (B→(B→C)) → (B→C)) THEN-3* 1
3. B→B TH7
4. (B→(B→C)) → (B→C) MP 3,2.

Teorema TH14

  • A→(B→P), P→Q ⊢ A→(B→Q)
# FBF Razón
1. P→Q premisa
2. (P→Q)→(B→(P→Q)) THEN-1
3. B→(P→Q) MP 1,2
4. (B→(P→Q))→((B→P)→(B→Q)) THEN-2
5. (B→P)→(B→Q) MP 3,4
6. ((B→P)→(B→Q))→ (A→((B→P)→(B→Q))) THEN-1
7. A→((B→P)→(B→Q)) MP 5,6
8. (A→(B→P))→(A→(B→Q)) THEN-2* 7
9. A→(B→P) premisa
10. A→(B→Q) MP 9,8.

Teorema TH15

  • ((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))
# FBF Razón
1. ((A→B)→(A→C))→(((A→B)→A)→((A→B)→C)) THEN-2
2. ((A→B)→C)→(A→(B→C)) TH12
3. ((A→B)→(A→C))→(((A→B)→A)→(A→(B→C))) TH14* 1,2
4. ((A→B)→A)→ ( ((A→B) →(A→C))→(A→(B→C))) THEN-3* 3
5. A→((A→B)→A) THEN-1
6. A→ ( ((A→B) →(A→C))→(A→(B→C)) ) TH1* 5,4
7. ((A→B)→(A→C))→(A→(A→(B→C))) THEN-3* 6
8. (A→(A→(B→C)))→(A→(B→C)) TH13
9. ((A→B)→(A→C))→(A→(B→C)) TH1* 7,8.

El teorema TH15 es la Conversión lógica del axioma THEN-2.

Teorema TH16

  • (¬A→¬B)→(B→A)
# FBF Razón
1. (¬A→¬B)→(¬¬B→¬¬A) FRG-1
2. ¬¬B→((¬A→¬B)→¬¬A) THEN-3* 1
3. B→¬¬B FRG-3
4. B→((¬A→¬B)→¬¬A) TH1* 3,2
5. (¬A→¬B)→(B→¬¬A) THEN-3* 4
6. ¬¬A→A FRG-2
7. (¬¬A→A)→(B→(¬¬A→A)) THEN-1
8. B→(¬¬A→A) MP 6,7
9. (B→(¬¬A→A))→((B→¬¬A)→(B→A)) THEN-2
10. (B→¬¬A)→(B→A) MP 8,9
11. (¬A→¬B)→(B→A) TH1* 5,10.

Teorema TH17

  • (¬A→B)→(¬B→A)
# FBF Razón
1. (¬A→¬¬B)→(¬B→A) TH16, con B := ¬B
2. B→¬¬B FRG-3
3. (B→¬¬B)→(¬A→(B→¬¬B)) THEN-1
4. ¬A→(B→¬¬B) MP 2,3
5. (¬A→(B→¬¬B))→((¬A→B)→(¬A→¬¬B)) THEN-2
6. (¬A→B)→(¬A→¬¬B) MP 4,5
7. (¬A→B)→(¬B→A) TH1* 6,1.

Compara TH17 con el teorema TH5.

Teorema TH18

  • ((A→B)→B)→(¬A→B)
# FBF Razón
1. (A→B)→(¬B→(A→B)) THEN-1
2. (¬B→¬A)→(A→B) TH16
3. (¬B→¬A)→(¬B→(A→B)) TH1* 2,1
4. ((¬B→¬A)→(¬B→(A→B)))→(¬B→(¬A→(A→B))) TH15
5. ¬B→(¬A→(A→B)) MP 3,4
6. (¬A→(A→B))→(¬(A→B)→A) TH17
7. ¬B→(¬(A→B)→A) TH1* 5,6
8. (¬B→(¬(A→B)→A))→ ((¬B→¬(A→B))→(¬B→A)) THEN-2
9. (¬B→¬(A→B))→(¬B→A) MP 7,8
10. ((A→B)→B) → (¬B→¬(A→B)) FRG-1
11. ((A→B)→B)→(¬B→A) TH1* 10,9
12. (¬B→A)→(¬A→B) TH17
13. ((A→B)→B)→(¬A→B) TH1* 11,12.

Teorema TH19

  • (A→C)→ ((B→C)→(((A→B)→B)→C))
# FBF Razón
1. ¬A→(¬B→¬(¬A→¬¬B)) TH10
2. B→¬¬B FRG-3
3. (B→¬¬B)→(¬A→(B→¬¬B)) THEN-1
4. ¬A→(B→¬¬B) MP 2,3
5. (¬A→(B→¬¬B))→((¬A→B)→(¬A→¬¬B)) THEN-2
6. (¬A→B)→(¬A→¬¬B) MP 4,5
7. ¬(¬A→¬¬B)→¬(¬A→B) FRG-1* 6
8. ¬A→(¬B→¬(¬A→B)) TH14* 1,7
9. ((A→B)→B)→(¬A→B) TH18
10. ¬(¬A→B)→¬((A→B)→B) FRG-1* 9
11. ¬A→(¬B→¬((A→B)→B)) TH14* 8,10
12. ¬C→(¬A→(¬B→¬((A→B)→B))) THEN-1* 11
13. (¬C→¬A)→(¬C→(¬B→¬((A→B)→B))) THEN-2* 12
14. (¬C→(¬B→¬((A→B)→B))) → ((¬C→¬B)→(¬C→¬((A→B)→B))) THEN-2
15. (¬C→¬A)→ ((¬C→¬B)→(¬C→¬((A→B)→B))) TH1* 13,14
16. (A→C)→(¬C→¬A) FRG-1
17. (A→C)→((→C→¬B)→(¬C→¬((A→B)→B))) TH1* 16,15
18. (¬C→¬((A→B)→B))→(((A→B)→B)→C) TH16
19. (A→C)→ ((¬C→¬B)→(((A→B)→B)→C)) TH14* 17,18
20. (B→C)→(¬C→¬B) FRG-1
21. ((B→C)→(¬C→¬B))→

(((¬C→¬B)→ (((A→B)→B)→C) ) → ( (B→C) → (((A→B)→B)→C)))

TH1
22. ((¬C→¬B)→ (((A→B)→B)→C) ) → ( (B→C) → (((A→B)→B)→C)) MP 20,21
23. (A→C)→ ((B→C)→(((A→B)→B)→C)) TH1* 19,22.

Nota: A→((A→B)→B) (TH8), B→((A→B)→B) (TH9), y (A→C)→((B→C)→(((A→B)→B)→C)) (TH19), entonces((A→B)→B) se comporta como A∨B. (Compara con los axiomas OR-1, OR-2, y OR-3.)

Teorema TH20

  • (A→¬A)→¬A
# FBF Razón
1. (A→A)→((A→¬A)→¬A) TH11
2. A→A TH7
3. (A→¬A)→¬A MP 2,1.

TH20 corresponde al axioma NOT-3 del cálculo proposicional estándar, llamado "tertium non datur".

Teorema TH21

  • A→(¬A→B)
# FBF Razón
1. A→(¬A→¬¬B) TH2, con B := ~B
2. ¬¬B→B FRG-2
3. A→(¬A→B) TH14* 1,2.

TH21 corresponde al axioma NOT-2 del cálculo proposicional estándar, llamado "ex contradictione quodlibet".

Todos los axiomas del cálculo proposicional estándar derivan del cálculo proposicional de Frege.
A∧B := ¬(A→¬B) yA∨B := (A→B)→B.
Estas expresiones no son únicas, por ejemplo, A∨B también podría haber sido definido como
(B→A)→A, ¬A→B, or ¬B→A.
Nótese, sin embargo, que la definición de A∨B := (A→B)→B no contiene negaciones. Por otra parte, A∧B no puede definirse en términos de solo implicación, sin el uso de la negación.

En cierto sentido, las expresiones A∧B y A∨B pueden ser consideradas como "cajas negras". En el interior, estas cajas negras contienen fórmulas compuestas solamente de implicación y negación. Las cajas negras pueden contener cualquier cosa, siempre y cuando estén conectado dentro de los axiomas AND-1 al AND-3 y OR-1 al OR-3 del cálculo proposicional estándar y siguen siendo válidos. Estos axiomas proporcionan definiciones sintácticas completas de los operadores de conjunción y disyunción.

Teoremas ST

El siguiente conjunto de teoremas tratará de encontrar los otros cuatro axiomas del CP de Frege en el "teorema-espacio" del CP estándar, mostrando que la teoría del CP de Frege está contenido dentro de la teoría del CP estándar.

Teorema ST1

  • A→A
# FBF Razón
1. (A→((A→A)→A))→((A→(A→A))→(A→A)) THEN-2
2. A→((A→A)→A) THEN-1
3. (A→(A→A))→(A→A) MP 2,1
4. A→(A→A) THEN-1
5. A→A MP 4,3.

Teorema ST2

  • A→¬¬A
# FBF Razón
1. A hipótesis
3. A→(¬A→A) THEN-1
4. ¬A→A MP 1,3
6. ¬A→¬A ST1
7. (¬A→A)→((¬A→¬A)→¬¬A) NOT-1
8. (¬A→¬A)→¬¬A MP 4,7
9. ¬¬A MP 6,8
10. A ⊢ ¬¬A sumario 1-9
11. A→¬¬A DT 10.

ST2 es el axioma FRG-3 del cálculo proposicional de Frege.

Teorema ST3

  • B∨C→(¬C→B)
# FBF Razón
1. C→(¬C→B) NOT-2
2. B→(¬C→B) THEN-1
3. (B→(¬C→B))→ ((C→(¬C→B))→((B ∨ C)→(¬C→B))) OR-3
4. (C→(¬C→B))→((B ∨ C)→(¬C→B)) MP 2,3
5. B∨C→(¬C→B) MP 1,4.

Teorema ST4

  • ¬¬A→A
# FBF Razón
1. A∨¬A NOT-3
2. (A∨¬A)→(¬¬A→A) ST3
3. ¬¬A→A MP 1,2.

ST4 es el axioma FRG-2 del cálculo proposicional de Frege.

Teorema ST5

  • (A→(B→C))→(B→(A→C))
# FBF Razón
1. A→(B→C) hipótesis
2. B hipótesis
3. A hipótesis
4. B→C MP 3,1
5. C MP 2,4
6. A→(B→C), B, A ⊢ C sumario 1-5
7. A→(B→C), B ⊢ A→C DT 6
8. A→(B→C) ⊢ B→(A→C) DT 7
9. (A→(B→C)) → (B→(A→C)) DT 8.

ST5 es el axioma THEN-3 del cálculo proposicional de Frege.

Teorema ST6

  • (A→B)→(¬B→¬A)
# FBF Razón
1. A→B hipótesis
2. ¬B hipótesis
3. ¬B→(A→¬B) THEN-1
4. A→¬B MP 2,3
5. (A→B)→((A→¬B)→¬A) NOT-1
6. (A→¬B)→¬A MP 1,5
7. ¬A MP 4,6
8. A→B, ¬B ⊢ ¬A sumario 1-7
9. A→B ⊢ ¬B→¬A DT 8
10. (A→B)→(¬B→¬A) DT 9.

ST6 es el axioma FRG-1 del cálculo proposicional de Frege.

Conclusión

Cada uno de los axiomas de Frege se pueden derivar de los axiomas estándar, y cada uno de los axiomas estándar se pueden derivar de los axiomas de Frege. Esto significa que los dos conjuntos de axiomas son interdependientes y no hay axioma en un conjunto que sea independiente del otro conjunto. Por lo tanto los dos conjuntos de axiomas generan la misma teoría: El calculo proposicional de Frege es equivalente a un calculo proposicional estándar.

Véase también

Referencias

  • Rosado Haddock, Guillermo (1996). A critical introduction to the philosophy of Gottlob Frege. Rowe. 
  • Buss, Samuel (1998). «An introduction to proof theory». Handbook of proof theory. Elsevier. pp. 1-78. ISBN 0-444-89840-9. 

Enlaces externos

    •   Datos: Q714691

    Agosto 11, 2021
    cálculo, proposicional, frege, lógica, matemática, cálculo, proposicional, frege, primera, axiomatización, cálculo, proposicional, inventado, gottlob, frege, quien, también, inventó, cálculo, predicados, 1879, como, parte, cálculo, predicados, segundo, orden, . Calculo proposicional de Frege en la Logica matematica el calculo proposicional de Frege fue la primera axiomatizacion del calculo proposicional Fue inventado por Gottlob Frege quien tambien invento el calculo de predicados en 1879 como parte de su calculo de predicados de segundo orden a pesar de que Charles Peirce fue el primero en utilizar el termino segundo orden y desarrollo su propia version de forma independiente del calculo de predicados de Frege Hace uso de solo dos operadores logicos Implicacion y la negacion y esta constituida por seis axiomas y una regla de inferencia modus ponens Indice 1 Axiomas 2 Regla de Inferencia 3 Reglas y Teoremas 3 1 Reglas THEN 3 2 Teoremas TH 3 3 Teoremas ST 4 Conclusion 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosAxiomas EditarTHEN 1 A B A THEN 2 A B C A B A C THEN 3 A B C B A C FRG 1 A B B A FRG 2 A AFRG 3 A ARegla de Inferencia EditarMP P P Q QEl Calculo proposicional de Frege es equivalente a cualquier otro calculo proposicional clasico como el Calculo proposicional CP normal con 11 axiomas El CP de Frege y CP estandar comparten dos axiomas en comun THEN 1 y THEN 2 Teniendo en cuenta que los axiomas THEN 1 al THEN 3 solo hacen uso y lo definen del operador de implicacion mientras que los axiomas FRG 1 al FRG 3 definen al operador de negacion Los teoremas siguientes tendran como objetivo encontrar los otros nueve axiomas del CP estandar en el teorema del CP de Frege mostrando que la teoria espacio del CP estandar esta contenido dentro de la teoria del CP de Frege Una teoria tambien nombrada aqui con fines de figuracion un teorema espacio es un conjunto de teoremas que son un subconjunto de un conjunto universo de Formulas bien formadas Los teoremas estan vinculados entre si en una forma indicada por las Reglas de inferencia formando una especie de red ramificada En las raices del teorema espacio se encuentran los axiomas que generan el teorema espacio muy similar a un generador generando un grupo Reglas y Teoremas EditarFBF Formula bien formada Reglas THEN Editar Regla THEN 1 A B A FBF Razon1 A premisa2 A B A THEN 13 B A MP 1 2 Regla THEN 2 A B C A B A C FBF Razon1 A B C premisa2 A B C A B A C THEN 23 A B A C MP 1 2 Regla THEN 3 A B C B A C FBF Razon1 A B C premisa2 A B C B A C THEN 33 B A C MP 1 2 Regla FRG 1 A B B A FBF Razon1 A B B A FRG 12 A B premisa3 B A MP 2 1 Regla TH1 A B B C A C FBF Razon1 B C premisa2 B C A B C THEN 13 A B C MP 1 24 A B C A B A C THEN 25 A B A C MP 3 46 A B premisa7 A C MP 6 5 Teoremas TH Editar Teorema TH1 A B B C A C FBF Razon1 B C A B C THEN 12 A B C A B A C THEN 23 B C A B A C TH1 1 24 B C A B A C A B B C A C THEN 35 A B B C A C MP 3 4 Teorema TH2 A A B FBF Razon1 A B A THEN 12 B A A B FRG 13 A A B TH1 1 2 Teorema TH3 A A B FBF Razon1 A A B TH 22 A A B A A B THEN 33 A A B MP 1 2 Teorema TH4 A B A FBF Razon1 A A B TH32 A A B A B A FRG 13 A B A MP 1 24 A A FRG 25 A B A TH1 3 4 Teorema TH5 A B B A FBF Razon1 A B B A FRG 12 A B B A B A B A THEN 33 B A B A MP 1 24 B B FRG 3 with A B5 B A B A TH1 4 36 B A B A A B B A FRG 17 A B B A MP 5 6 Teorema TH6 A B B FBF Razon1 B A B TH4 with A B B A2 B A A B TH5 with A B B A3 B A A B A B B A FRG 14 A B B A MP 2 35 A B B TH1 4 1 Teorema TH7 A A FBF Razon1 A A FRG 32 A A FRG 23 A A TH1 1 2 Teorema TH8 A A B B FBF Razon1 A B A B TH7 with A A B2 A B A B A A B B THEN 33 A A B B MP 1 2 Teorema TH9 B A B B FBF Razon1 B A B B THEN 1 with A B B A B Teorema TH10 A B A B FBF Razon1 A B A B TH72 A B A B A A B B THEN 33 A A B B MP 1 24 A B B B A B TH55 A B A B TH1 3 4 Nota A B A TH4 A B B TH6 y A B A B TH10 entonces A B se comporta como A B Compara con los axiomas AND 1 AND 2 y AND 3 Teorema TH11 A B A B A FBF Razon1 A B A B TH102 A B A B A B A A B THEN 23 A B A A B MP 1 24 A A B A B A TH55 A B A B A TH1 3 4 TH11 es un axioma NOT 1 de calculo proposicional estandar llamado reductio ad absurdum Teorema TH12 A B C A B C FBF Razon1 B A B THEN 12 B A B A B C B C TH13 A B C B C MP 1 24 B C A B C THEN 15 A B C A B C TH1 3 4 Teorema TH13 B B C B C FBF Razon1 B B C B B B C THEN 22 B B B B C B C THEN 3 13 B B TH74 B B C B C MP 3 2 Teorema TH14 A B P P Q A B Q FBF Razon1 P Q premisa2 P Q B P Q THEN 13 B P Q MP 1 24 B P Q B P B Q THEN 25 B P B Q MP 3 46 B P B Q A B P B Q THEN 17 A B P B Q MP 5 68 A B P A B Q THEN 2 79 A B P premisa10 A B Q MP 9 8 Teorema TH15 A B A C A B C FBF Razon1 A B A C A B A A B C THEN 22 A B C A B C TH123 A B A C A B A A B C TH14 1 24 A B A A B A C A B C THEN 3 35 A A B A THEN 16 A A B A C A B C TH1 5 47 A B A C A A B C THEN 3 68 A A B C A B C TH139 A B A C A B C TH1 7 8 El teorema TH15 es la Conversion logica del axioma THEN 2 Teorema TH16 A B B A FBF Razon1 A B B A FRG 12 B A B A THEN 3 13 B B FRG 34 B A B A TH1 3 25 A B B A THEN 3 46 A A FRG 27 A A B A A THEN 18 B A A MP 6 79 B A A B A B A THEN 210 B A B A MP 8 911 A B B A TH1 5 10 Teorema TH17 A B B A FBF Razon1 A B B A TH16 con B B2 B B FRG 33 B B A B B THEN 14 A B B MP 2 35 A B B A B A B THEN 26 A B A B MP 4 57 A B B A TH1 6 1 Compara TH17 con el teorema TH5 Teorema TH18 A B B A B FBF Razon1 A B B A B THEN 12 B A A B TH163 B A B A B TH1 2 14 B A B A B B A A B TH155 B A A B MP 3 46 A A B A B A TH177 B A B A TH1 5 68 B A B A B A B B A THEN 29 B A B B A MP 7 810 A B B B A B FRG 111 A B B B A TH1 10 912 B A A B TH1713 A B B A B TH1 11 12 Teorema TH19 A C B C A B B C FBF Razon1 A B A B TH102 B B FRG 33 B B A B B THEN 14 A B B MP 2 35 A B B A B A B THEN 26 A B A B MP 4 57 A B A B FRG 1 68 A B A B TH14 1 79 A B B A B TH1810 A B A B B FRG 1 911 A B A B B TH14 8 1012 C A B A B B THEN 1 1113 C A C B A B B THEN 2 1214 C B A B B C B C A B B THEN 215 C A C B C A B B TH1 13 1416 A C C A FRG 117 A C C B C A B B TH1 16 1518 C A B B A B B C TH1619 A C C B A B B C TH14 17 1820 B C C B FRG 121 B C C B C B A B B C B C A B B C TH122 C B A B B C B C A B B C MP 20 2123 A C B C A B B C TH1 19 22 Nota A A B B TH8 B A B B TH9 y A C B C A B B C TH19 entonces A B B se comporta como A B Compara con los axiomas OR 1 OR 2 y OR 3 Teorema TH20 A A A FBF Razon1 A A A A A TH112 A A TH73 A A A MP 2 1 TH20 corresponde al axioma NOT 3 del calculo proposicional estandar llamado tertium non datur Teorema TH21 A A B FBF Razon1 A A B TH2 con B B2 B B FRG 23 A A B TH14 1 2 TH21 corresponde al axioma NOT 2 del calculo proposicional estandar llamado ex contradictione quodlibet Todos los axiomas del calculo proposicional estandar derivan del calculo proposicional de Frege A B A B yA B A B B Estas expresiones no son unicas por ejemplo A B tambien podria haber sido definido como B A A A B or B A Notese sin embargo que la definicion de A B A B B no contiene negaciones Por otra parte A B no puede definirse en terminos de solo implicacion sin el uso de la negacion En cierto sentido las expresiones A B y A B pueden ser consideradas como cajas negras En el interior estas cajas negras contienen formulas compuestas solamente de implicacion y negacion Las cajas negras pueden contener cualquier cosa siempre y cuando esten conectado dentro de los axiomas AND 1 al AND 3 y OR 1 al OR 3 del calculo proposicional estandar y siguen siendo validos Estos axiomas proporcionan definiciones sintacticas completas de los operadores de conjuncion y disyuncion Teoremas ST Editar El siguiente conjunto de teoremas tratara de encontrar los otros cuatro axiomas del CP de Frege en el teorema espacio del CP estandar mostrando que la teoria del CP de Frege esta contenido dentro de la teoria del CP estandar Teorema ST1 A A FBF Razon1 A A A A A A A A A THEN 22 A A A A THEN 13 A A A A A MP 2 14 A A A THEN 15 A A MP 4 3 Teorema ST2 A A FBF Razon1 A hipotesis3 A A A THEN 14 A A MP 1 36 A A ST17 A A A A A NOT 18 A A A MP 4 79 A MP 6 810 A A sumario 1 911 A A DT 10 ST2 es el axioma FRG 3 del calculo proposicional de Frege Teorema ST3 B C C B FBF Razon1 C C B NOT 22 B C B THEN 13 B C B C C B B C C B OR 34 C C B B C C B MP 2 35 B C C B MP 1 4 Teorema ST4 A A FBF Razon1 A A NOT 32 A A A A ST33 A A MP 1 2 ST4 es el axioma FRG 2 del calculo proposicional de Frege Teorema ST5 A B C B A C FBF Razon1 A B C hipotesis2 B hipotesis3 A hipotesis4 B C MP 3 15 C MP 2 46 A B C B A C sumario 1 57 A B C B A C DT 68 A B C B A C DT 79 A B C B A C DT 8 ST5 es el axioma THEN 3 del calculo proposicional de Frege Teorema ST6 A B B A FBF Razon1 A B hipotesis2 B hipotesis3 B A B THEN 14 A B MP 2 35 A B A B A NOT 16 A B A MP 1 57 A MP 4 68 A B B A sumario 1 79 A B B A DT 810 A B B A DT 9 ST6 es el axioma FRG 1 del calculo proposicional de Frege Conclusion EditarCada uno de los axiomas de Frege se pueden derivar de los axiomas estandar y cada uno de los axiomas estandar se pueden derivar de los axiomas de Frege Esto significa que los dos conjuntos de axiomas son interdependientes y no hay axioma en un conjunto que sea independiente del otro conjunto Por lo tanto los dos conjuntos de axiomas generan la misma teoria El calculo proposicional de Frege es equivalente a un calculo proposicional estandar Vease tambien Editaren Begriffsschrift Calculo proposicional Forma logica Formulas bien formadasReferencias EditarRosado Haddock Guillermo 1996 A critical introduction to the philosophy of Gottlob Frege Rowe Buss Samuel 1998 An introduction to proof theory Handbook of proof theory Elsevier pp 1 78 ISBN 0 444 89840 9 Enlaces externos EditarIntroduccion a la logica proposicional Datos Q714691Obtenido de https es wikipedia org w index php title Calculo proposicional de Frege amp oldid 124225233, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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