Proceso adiabático

En termodinámica se designa como proceso adiabático a aquel en el cual el sistema termodinámico (generalmente, un fluido que realiza un trabajo) no intercambia calor con su entorno. Un proceso adiabático que es además reversible se conoce como proceso isoentrópico. El extremo opuesto, en el que tiene lugar la máxima transferencia de calor, causando que la temperatura permanezca constante, se denomina proceso isotérmico.

El término adiabático hace referencia a volúmenes que impiden la transferencia de calor con el entorno. Una pared aislada se aproxima bastante a un límite adiabático. Otro ejemplo es la temperatura adiabática de llama, que es la temperatura que podría alcanzar una llama si no hubiera pérdida de calor hacia el entorno. En climatización los procesos de humectación (aporte de vapor de agua) son adiabáticos, puesto que no hay transferencia de calor, a pesar de que se consiga variar la temperatura del aire y su humedad relativa.

El calentamiento y enfriamiento adiabático son procesos que comúnmente ocurren debido al cambio en la presión de un gas, que conlleva variaciones en volumen y temperatura. Los nuevos valores de las variables de estado pueden ser cuantificados usando la ley de los gases ideales.

Acorde con el primer principio de la termodinámica,

${\displaystyle \Delta U+W=0\qquad \qquad \qquad (1)}$

donde U es la energía interna del sistema y W es el trabajo realizado por el sistema. Cualquier trabajo (W) realizado debe ser realizado a expensas de la energía U, mientras que no haya sido suministrado calor Q desde el exterior. El trabajo W realizado por el sistema se define como

${\displaystyle W=P\Delta V\qquad \qquad \qquad \qquad (2)}$

Si se relaciona el tema del proceso adiabático con las ondas, se debe tener en cuenta que el proceso o carácter adiabático solo se produce en las ondas longitudinales

Relaciones P, V, T en la expansión adiabática del gas ideal

Joule, en su célebre experimento sobre expansión libre, demostró que la energía interna de un gas perfecto era independiente del volumen (V), o la presión (P), solo función de la temperatura.

Esta conclusión conduce a que, para un gas ideal:

${\displaystyle {\text{(a)}}\qquad dU=n\ C_{v}\ dT=\delta Q-\delta W}$ 

Pero en la expansión adiabática:

${\displaystyle {\text{(b)}}\qquad \delta Q=0;\qquad \delta W=P\ \delta V}$ 

Con lo que se obtiene la siguiente relación:

${\displaystyle {\text{(c)}}\qquad \delta U=n\ C_{v}\ \delta T=-P\ \delta V}$ 

En el gas ideal se cumple:

${\displaystyle P\ V=n\ R\ T}$ 

${\displaystyle C_{p}-C_{v}=R}$ 

${\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}}$ 

Los valores ${\displaystyle C_{p}}$  y ${\displaystyle C_{v}}$  son función del número de átomos en la molécula.

Despejando ${\displaystyle P}$  y sustituyendo ${\displaystyle P}$  y ${\displaystyle R}$  en la Ec.(c) queda, la relación diferencial:

${\displaystyle {\text{(d)}}\qquad {\frac {dT}{T}}=-{\frac {\left(\gamma -1\right)\ dV}{V}}}$ 

E integrando entre los estados inicial y final:

${\displaystyle {\text{(e)}}\qquad {\frac {T_{f}}{T_{i}}}=\left({\frac {V_{i}}{V_{f}}}\right)^{\left(\gamma -1\right)}}$ 

Teniendo en cuenta que al trabajar con gases perfectos se cumple ${\displaystyle T=PV/nR}$ , la Ec.(e) puede ponerse:

${\displaystyle \qquad {\frac {P_{f}\ V_{f}}{P_{i}\ V_{i}}}=\left({\frac {V_{i}}{V_{f}}}\right)^{\left(\gamma -1\right)}\qquad \to \qquad {\frac {P_{f}}{P_{i}}}=\left({\frac {V_{i}}{V_{f}}}\right)^{\left(\gamma \right)}}$ 

Finalmente:

${\displaystyle {\text{(f)}}\qquad P_{f}V_{f}^{\gamma }=P_{i}V_{i}^{\gamma }=Constante}$ 

operando sobre Ec.(e) y Ec.(f):

${\displaystyle {\text{(g)}}\qquad {\frac {T_{f}}{T_{i}}}=\left({\frac {P_{f}}{P_{i}}}\right)^{\left({\frac {\gamma -1}{\gamma }}\right)}}$ 

Ejemplo de cálculo

Asumiremos que el sistema es un gas monoatómico, por lo que :${\displaystyle C_{V}={3 \over 2}R}$  donde R es la constante universal de los gases.

Dado ${\displaystyle \Delta P}$  y ${\displaystyle \Delta V}$  entonces ${\displaystyle W=P\Delta V}$  y ${\displaystyle \Delta U={3 \over 2}nR\Delta T={3 \over 2}\Delta (PV)={3 \over 2}(P\Delta V+V\Delta P)\qquad (3)}$ 

Ahora sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) obtenemos

${\displaystyle -P\Delta V={3 \over 2}P\Delta V+{3 \over 2}V\Delta P}$ 

simplificando

${\displaystyle -{5 \over 2}P\Delta V={3 \over 2}V\Delta P}$ 

dividiendo ambos lados de la igualdad entre PV

${\displaystyle -5{\Delta V \over V}=3{\Delta P \over P}}$ 

Aplicando las normas del cálculo diferencial (es decir integrando a ambos lados) obtenemos que

${\displaystyle -5\Delta (\operatorname {ln} V)=3\Delta (\operatorname {ln} P)}$ 

que tomando :${\displaystyle \Delta lnV=(lnV-lnV_{0});\Delta lnP=(lnP-lnP_{0})}$  se puede expresar como

${\displaystyle {\operatorname {ln} P-\operatorname {ln} P_{0} \over \operatorname {ln} V-\operatorname {ln} V_{0}}=-{5 \over 3}}$ 

Para ciertas constantes ${\displaystyle P_{0}}$  y ${\displaystyle V_{0}}$  del estado inicial. Entonces

${\displaystyle {\operatorname {ln} (P/P_{0}) \over \operatorname {ln} (V/V_{0})}=-{5 \over 3},}$ 

${\displaystyle \operatorname {ln} \left({P \over P_{0}}\right)=-5/3\operatorname {ln} \left({V \over V_{0}}\right)}$ 

elevando al exponente ambos lados de la igualdad

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-5/3}}$ 

eliminando el signo menos

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{5/3}}$ 

por lo tanto

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{5/3}=1}$ 

y

${\displaystyle PV^{5/3}=P_{0}V_{0}^{5/3}=P_{0}V_{0}^{\gamma }=\operatorname {constante} .}$ 

Representación gráfica de las curvas adiabáticas

 

Durante un proceso adiabático, la energía interna del fluido que realiza el trabajo debe necesariamente decrecer.

 

Esquema de una expansión adiabática.

Las propiedades de las curvas adiabáticas en un diagrama P-V son las siguientes:

1. Cada adiabática se aproxima asintóticamente a ambos ejes del diagrama P-V (al igual que las isotermas).
2. Cada adiabática se interseca con cada isoterma en un solo punto.
3. Una curva adiabática se parece a una isoterma, excepto que durante una expansión, una adiabática pierde más presión que una isoterma, por lo que inclinación es mayor (es más vertical).
4. Si las isotermas son cóncavas hacia la dirección "noreste" (45°), entonces las adiabáticas son cóncavas hacia la dirección "este noreste" (31°).
5. Si adiabáticas e isotermas se dibujan separadamente con cambios regulares en la entropía y temperatura, entonces a medida que nos alejamos de los ejes (en dirección noreste), parece que la densidad de las isotermas permanece constante, pero la densidad de las adiabáticas disminuye. La excepción se encuentra muy cerca del cero absoluto, donde la densidad de las adiabáticas cae fuertemente y se hacen muy raras (Véase también: Teorema de Nernst).

Cálculo del trabajo involucrado

Según se dedujo anteriormente, la ecuación que describe un proceso adiabático del gas ideal, en un proceso reversible: ${\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {constante} \qquad }$  donde P es la presión del gas, V su volumen y ${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}}$  el coeficiente adiabático, siendo ${\displaystyle C_{P}}$  el calor específico molar a presión constante y ${\displaystyle C_{V}}$  el calor específico molar a volumen constante.

Para un gas monoatómico ideal, ${\displaystyle \gamma =5/3}$ . Para un gas diatómico (como el nitrógeno o el oxígeno, los principales componentes del aire) ${\displaystyle \gamma =7/5=1,4}$ 

Al no haber suministro externo de calor, cualquier trabajo (W) realizado será a expensas de la energía U, En la fórmula:

${\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {K} \qquad }$ 

hacemos un pequeño cambio entonces quedaría así:

${\displaystyle P=K/V^{\gamma }\qquad }$  ......(4)

Ahora derivando la fórmula del trabajo e integrándola a la vez tenemos :

${\displaystyle \int _{1}^{2}\,dW}$  =${\displaystyle \int _{1}^{2}\,PdV\qquad }$  .....(5)

Ahora reemplazamos la (4) en la (5) :

${\displaystyle \int _{1}^{2}\,K/{V^{\gamma }}dV\qquad }$ 

Ahora sabemos que "K" es una constante , por lo cual esta sale de la integral:

${\displaystyle K\int _{1}^{2}\,1/{V^{\gamma }}dV\qquad }$ 

luego vemos que nos queda todo en función del volumen entonces lo integramos:

${\displaystyle (KV^{1-{\gamma }})/(1-{\gamma })\qquad }$ 

como sabemos que :

${\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {K} \qquad }$ 

entonces reemplazamos en la ecuación:

${\displaystyle PV^{\gamma }(V^{1-{\gamma }})_{1}^{2}/(1-{\gamma })}$ 

y multiplicamos :

${\displaystyle (P_{2}V_{2}^{\gamma }V_{2}^{1-{\gamma }}-P_{1}V_{1}^{\gamma }V_{1}^{1-{\gamma }})/(1-{\gamma })}$ 

luego de resolver la ecuación nos quedará esta forma:

${\displaystyle [P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}]/(1-{\gamma })\qquad }$ 

y por definición nos quedaría :

${\displaystyle \Delta (PV)/(1-{\gamma })}$  

que al final nos dará:

${\displaystyle nR\Delta T/(1-{\gamma })}$ 

y esto será igual al trabajo :

${\displaystyle \ W=(P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1})/(1-{\gamma })=nR(T_{2}-T_{1})/(1-{\gamma })\qquad }$ 

Enfriamiento adiabático del aire

Existen tres relaciones en el enfriamiento adiabático del aire:

1. La relación ambiente de la atmósfera, que es la proporción a la que el aire se enfría a medida que se gana altitud.
2. La tasa seca adiabática, es de unos -1° por cada 100 metros de subida.
3. La tasa húmeda adiabática, es de unos -0,6° - 0,3º por cada 100 metros de subida.

La primera relación se usa para describir la temperatura del aire circundante a través del cual está pasando el aire ascendente. La segunda y tercera proporción son las referencias para una masa de aire que está ascendiendo en la atmósfera. La tasa seca adiabática se aplica a aire que está por debajo del punto de rocío, por ejemplo si no está saturado de vapor de agua, mientras que la tasa húmeda adiabática se aplica a aire que ha alcanzado su punto de rocío. El enfriamiento adiabático es una causa común de la formación de nubes.

El enfriamiento adiabático no tiene por qué involucrar a un fluido. Una técnica usada para alcanzar muy bajas temperaturas (milésimas o millonésimas de grado sobre el cero absoluto) es la desimanación adiabática, donde el cambio en un campo magnético en un material magnético es usado para conseguir un enfriamiento adiabático.

Procesos adiabáticos en mecánica cuántica

Véase también: Teorema adiabático

En mecánica cuántica una transformación adiabática es un cambio lento en el Hamiltoniano cuántico ${\displaystyle {\hat {H}}\,}$  que describe el sistema y que resulta en un cambio de los valores propios del Hamiltoniano pero no de sus estados propios, lo que se conoce como cruce evitado. Por ejemplo, si un sistema comienza en su estado fundamental permanecerá en el estado fundamental a pesar de que las propiedades de este estado pueden cambiar. Si en tal proceso se produce un cambio cualitativo en las propiedades del estado fundamental, como por ejemplo un cambio de spin la transformación se denomina transición de fase cuántica. Las transiciones de este tipo son transiciones de fase prohibidas por la mecánica clásica.

Véase también

•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre adiabático.
• Motor adiabático
• Pistón de fuego
• Criterio de signos termodinámico
• Proceso termodinámico
• Sistema termodinámico

•   Datos: Q182453
•   Multimedia: Adiabatic processes