En física, la acción de Poliakov es la acción bidimensional de una teoría de campos conforme que describe la hoja de universo de una cuerda en teoría de cuerdas. Fue introducida por Stanley Deser y Bruno Zumino e independientemente por L. Borde, P. Di Vecchia y P. S. Howe (En Physics Letters B65, páginas 369 y 471 respectivamente), y ha sido asociada con Aleksandr Poliakov después de que la empleara para cuantizar la cuerda. La acción es
donde es la tensión de la cuerda, es la métrica de la variedad del espacio objetivo (espaciotiempo en el que se mueve la cuerda), es la métrica de la hoja de universo, su inversa, y es el determinante de . La signatura métrica está escogida tal que las direcciones temporales son + y las direcciones espaciales son -. La coordenada espacial en la hoja de universo es , y la coordenada temporal . La acción de Poliakov es un ejemplo de modelo sigma no lineal.[1]
Simetrías globaleseditar
Aquí, una simetría se dice que es local o global desde el punto de vista de la teoría bidimensional (en la hoja de universo). Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz, que son simetrías locales del espacial-tiempo, son simetrías globales de la teoría en la hoja de universo.
Se sabe que el jacobiano de esta transformación está dada por:
lo que lleva a
y se ve que
con lo cual esta transformación deja la invariante la acción.
Transformación de Weyleditar
Se suponer la transformación de Weyl:
entonces:
y finalmente:
Y se puede ver que la acción es invariante bajo transformaciones de Weyl. Si consideramos objetos (espacialmente) extendidos de n dimensiones cuya acción es proporcional a su área/hiperárea de la hoja del universo, a no ser que n=1, la acción de Poliakov correspondiente tendría otro término que rompería la simetría Weyl.
Debido a la simetría de Weyl, la acción no depende de :
Ecuaciones de movimientoeditar
Utilizando difeomorfismos y transformaciones de Weyl, con un espacio objetivo de Minkowski, se puede hacer la transformación físicamente irrelevante , escribiendo así la acción en el gauge conforme:
donde
Recordando que se pueden obtener las ligaduras:
.
Sustituyendo se obtiene:
y en consecuencia:
Con las condiciones de frontera necesarias para satisfacer la segunda parte de la variación de la acción.
Trabajando en coordenadas del cono de luz, , se pueden reescribir las ecuaciones de movimiento como:
Así, la solución puede ser escrita cuando y la tensión-tensor de energía es ahora diagonal. Por Fourier que expande la solución e imponiendo canónico commutation relaciones en los coeficientes, aplicando la segunda ecuación de movimiento motiva la definición del Virasoro operadores y conduce a las ligaduras de Virasoro, que se anulan cuando actúan sobre estados físicos.
Friedan, D. (1980). «Nonlinear Models in 2+ε Dimensions». Physical Review Letters45: 1057. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057.
Referenciaseditar
Polchinski (Nov, 1994). What is String Theory, NSF-ITP-94-97, 153pp, arXiv:hep-th/9411028v1
Ooguri, Yin (Feb, 1997). TASI Lectures on Perturbative String Theories, UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80pp, arXiv:hep-th/9612254v3
Datos:Q1048763
Marcha 16, 2024
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En fisica la accion de Poliakov es la accion bidimensional de una teoria de campos conforme que describe la hoja de universo de una cuerda en teoria de cuerdas Fue introducida por Stanley Deser y Bruno Zumino e independientemente por L Borde P Di Vecchia y P S Howe En Physics Letters B65 paginas 369 y 471 respectivamente y ha sido asociada con Aleksandr Poliakov despues de que la empleara para cuantizar la cuerda La accion es S T 2 d 2 s h h a b g m n X a X m s b X n s displaystyle mathcal S T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt h h ab g mu nu X partial a X mu sigma partial b X nu sigma donde T displaystyle T es la tension de la cuerda g m n displaystyle g mu nu es la metrica de la variedad del espacio objetivo espaciotiempo en el que se mueve la cuerda h a b displaystyle h ab es la metrica de la hoja de universo h a b displaystyle h ab su inversa y h displaystyle h es el determinante de h a b displaystyle h ab La signatura metrica esta escogida tal que las direcciones temporales son y las direcciones espaciales son La coordenada espacial en la hoja de universo es s displaystyle sigma y la coordenada temporal t displaystyle tau La accion de Poliakov es un ejemplo de modelo sigma no lineal 1 Indice 1 Simetrias globales 2 Simetrias locales 2 1 Difeomorfismos 2 2 Transformacion de Weyl 3 Ecuaciones de movimiento 4 Relacion con la accion de Nambu Goto 5 Vease tambien 6 Notas 7 ReferenciasSimetrias globales editarAqui una simetria se dice que es local o global desde el punto de vista de la teoria bidimensional en la hoja de universo Por ejemplo las transformaciones de Lorentz que son simetrias locales del espacial tiempo son simetrias globales de la teoria en la hoja de universo La accion es invariante bajo traslaciones espaciotemporales y transformaciones de Lorentz infinitesimales i X a X a b a displaystyle X alpha rightarrow X alpha b alpha nbsp ii X a X a w b a X b displaystyle X alpha rightarrow X alpha omega beta alpha X beta nbsp donde w m n w n m displaystyle omega mu nu omega nu mu nbsp y b a displaystyle b alpha nbsp es una constante Esto forma la simetria de Poincare de la variedad objetivo La invariancia bajo i se sigue de que la accion S displaystyle mathcal S nbsp depende solo de la primera derivada de X a displaystyle X alpha nbsp La prueba de la invariancia bajo ii es como sigue S displaystyle mathcal S nbsp T 2 d 2 s h h a b g m n a X m w d m X d b X n w d n X d displaystyle T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt h h ab g mu nu partial a left X mu omega delta mu X delta right partial b left X nu omega delta nu X delta right nbsp S T 2 d 2 s h h a b w m d a X m b X d w n d a X d b X n O w 2 displaystyle mathcal S T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt h h ab left omega mu delta partial a X mu partial b X delta omega nu delta partial a X delta partial b X nu right O omega 2 nbsp S T 2 d 2 s h h a b w m d w d m a X m b X d O w 2 S O w 2 displaystyle mathcal S T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt h h ab left omega mu delta omega delta mu right partial a X mu partial b X delta O omega 2 mathcal S O omega 2 nbsp dd Simetrias locales editarLa accion es invariante bajo worldsheet difeomorfismos o transformaciones de coordenadas y transformaciones de Weyl de la hoja de universo Difeomorfismos editar Se supone la transformacion siguiente s a s a s t displaystyle sigma alpha rightarrow tilde sigma alpha left sigma tau right nbsp dd Transforma el tensor metrico en la manera siguiente h a b h a b h c d s a s c s b s d displaystyle h ab rightarrow tilde h ab h cd frac partial tilde sigma a partial sigma c frac partial tilde sigma b partial sigma d nbsp dd Se puede ver que h a b s a X m s b X n h c d s a s c s b s d s a X m s b X n h a b a X m b X n displaystyle tilde h ab frac partial partial tilde sigma a X mu frac partial partial tilde sigma b X nu h cd frac partial tilde sigma a partial sigma c frac partial tilde sigma b partial sigma d frac partial partial tilde sigma a X mu frac partial partial tilde sigma b X nu h ab partial a X mu partial b X nu nbsp dd Se sabe que el jacobiano de esta transformacion esta dada por J d e t s a s b displaystyle mathrm J mathrm det left frac partial tilde sigma alpha partial sigma beta right nbsp dd lo que lleva a d 2 s d 2 s J d 2 s displaystyle mathrm d 2 sigma rightarrow mathrm d 2 tilde sigma mathrm J mathrm d 2 sigma nbsp h d e t h a b h J 2 h displaystyle h mathrm det left h ab right rightarrow tilde h mathrm J 2 h nbsp dd y se ve que h d 2 s h d 2 s displaystyle sqrt tilde h mathrm d 2 tilde sigma sqrt h mathrm d 2 sigma nbsp dd con lo cual esta transformacion deja la invariante la accion Transformacion de Weyl editar Se suponer la transformacion de Weyl h a b h a b L s h a b displaystyle h ab rightarrow tilde h ab Lambda sigma h ab nbsp dd entonces h a b L 1 s h a b displaystyle tilde h ab Lambda 1 sigma h ab nbsp d e t h a b L 2 s d e t h a b displaystyle mathrm det tilde h ab Lambda 2 sigma mathrm det h ab nbsp dd y finalmente S displaystyle mathcal S nbsp T 2 d 2 s h h a b g m n X a X m s b X n s displaystyle T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt tilde h tilde h ab g mu nu X partial a X mu sigma partial b X nu sigma nbsp T 2 d 2 s h L L 1 h a b g m n X a X m s b X n s S displaystyle T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt h left Lambda Lambda 1 right h ab g mu nu X partial a X mu sigma partial b X nu sigma mathcal S nbsp dd Y se puede ver que la accion es invariante bajo transformaciones de Weyl Si consideramos objetos espacialmente extendidos de n dimensiones cuya accion es proporcional a su area hiperarea de la hoja del universo a no ser que n 1 la accion de Poliakov correspondiente tendria otro termino que romperia la simetria Weyl Se puede definir el tensor de energia impulso T a b 2 h d S d h a b displaystyle T ab frac 2 sqrt h frac delta S delta h ab nbsp dd Definiendo h a b exp ϕ s h a b displaystyle h ab exp left phi sigma right hat h ab nbsp dd Debido a la simetria de Weyl la accion no depende de ϕ displaystyle phi nbsp d S d ϕ d S d h a b d h a b d ϕ 1 2 h T a b h a b 1 2 h T a a 0 T a a t r T a b 0 displaystyle frac delta S delta phi frac delta S delta h ab frac delta h ab delta phi frac 1 2 sqrt h T ab h ab frac 1 2 sqrt h T a a 0 rightarrow T a a mathrm tr left T ab right 0 nbsp dd Ecuaciones de movimiento editarUtilizando difeomorfismos y transformaciones de Weyl con un espacio objetivo de Minkowski se puede hacer la transformacion fisicamente irrelevante h h a b h a b displaystyle sqrt h h ab rightarrow eta ab nbsp escribiendo asi la accion en el gauge conforme S T 2 d 2 s h h a b g m n X a X m s b X n s T 2 d 2 s X 2 X 2 displaystyle mathcal S T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt eta eta ab g mu nu X partial a X mu sigma partial b X nu sigma T over 2 int mathrm d 2 sigma left dot X 2 X 2 right nbsp dd donde h a b 1 0 0 1 displaystyle eta ab left begin array cc 1 amp 0 0 amp 1 end array right nbsp Recordando que T a b 0 displaystyle T ab 0 nbsp se pueden obtener las ligaduras T 01 T 10 X X 0 displaystyle T 01 T 10 dot X X 0 nbsp T 00 T 11 1 2 X 2 X 2 0 displaystyle T 00 T 11 frac 1 2 left dot X 2 X 2 right 0 nbsp dd Sustituyendo X m X m d X m displaystyle X mu rightarrow X mu delta X mu nbsp se obtiene d S T d 2 s h a b a X m b d X m displaystyle delta mathcal S T int mathrm d 2 sigma eta ab partial a X mu partial b delta X mu nbsp dd T d 2 s h a b a b X m d X m T d t X d X s p T d t X d X s 0 0 displaystyle T int mathrm d 2 sigma eta ab partial a partial b X mu delta X mu left T int d tau X delta X right sigma pi left T int d tau X delta X right sigma 0 0 nbsp dd dd y en consecuencia X m h a b a b X m 0 displaystyle square X mu eta ab partial a partial b X mu 0 nbsp dd Con las condiciones de frontera necesarias para satisfacer la segunda parte de la variacion de la accion Cuerdas cerradasCondiciones de frontera periodicas X m t s p X m t s displaystyle X mu tau sigma pi X mu tau sigma nbsp Cuerdas abiertas i Condiciones de frontera de Neumann s X m t 0 0 s X m t p 0 displaystyle partial sigma X mu tau 0 0 partial sigma X mu tau pi 0 nbsp ii Condiciones de frontera de Dirichlet X m t 0 b m X m t p b m displaystyle X mu tau 0 b mu X mu tau pi b mu nbsp Trabajando en coordenadas del cono de luz 3 t s displaystyle xi pm tau pm sigma nbsp se pueden reescribir las ecuaciones de movimiento como X m 0 displaystyle partial partial X mu 0 nbsp X 2 X 2 0 displaystyle partial X 2 partial X 2 0 nbsp Asi la solucion puede ser escrita cuando y la tension tensor de energia es ahora diagonal X m X m 3 X m 3 displaystyle X mu X mu xi X mu xi nbsp Por Fourier que expande la solucion e imponiendo canonico commutation relaciones en los coeficientes aplicando la segunda ecuacion de movimiento motiva la definicion del Virasoro operadores y conduce a las ligaduras de Virasoro que se anulan cuando actuan sobre estados fisicos Relacion con la accion de Nambu Goto editarEscribiendo la ecuacion de Euler Lagrange para el tensor metrico h a b displaystyle h ab nbsp se obtiene d S d h a b T a b 0 displaystyle frac delta S delta h ab T ab 0 nbsp dd Sabiendo tambien que d h 1 2 h h a b d h a b displaystyle delta sqrt h frac 1 2 sqrt h h ab delta h ab nbsp dd Se puede escribir la derivada variacional de la accion d S d h a b T 2 h G a b 1 2 h a b h c d G c d displaystyle frac delta S delta h ab frac T 2 sqrt h left G ab frac 1 2 h ab h cd G cd right nbsp dd donde G a b g m n a X m b X n displaystyle G ab g mu nu partial a X mu partial b X nu nbsp lo que lleva a T a b T G a b 1 2 h a b h c d G c d 0 displaystyle T ab T left G ab frac 1 2 h ab h cd G cd right 0 nbsp G a b 1 2 h a b h c d G c d displaystyle G ab frac 1 2 h ab h cd G cd nbsp G d e t G a b 1 4 h h c d G c d 2 displaystyle G mathrm det left G ab right frac 1 4 h left h cd G cd right 2 nbsp dd Si se calcula el tensor metrico de la hoja de universo h displaystyle sqrt h nbsp usando las ecuaciones de movimiento h 2 G h c d G c d displaystyle sqrt h frac 2 sqrt G h cd G cd nbsp dd y se sustituye en la accion se obtiene la accion de Nambu Goto S T 2 d 2 s h h a b G a b T 2 d 2 s 2 G h c d G c d h a b G a b T d 2 s G displaystyle S T over 2 int mathrm d 2 sigma sqrt h h ab G ab T over 2 int mathrm d 2 sigma frac 2 sqrt G h cd G cd h ab G ab T int mathrm d 2 sigma sqrt G nbsp dd Sin embargo la accion de Poliakov es mas facil de cuantizar porque es lineal Vease tambien editarD brana Accion de Einstein HilbertNotas editar Friedan D 1980 Nonlinear Models in 2 e Dimensions Physical Review Letters 45 1057 Bibcode 1980PhRvL 45 1057F doi 10 1103 PhysRevLett 45 1057 Referencias editarPolchinski Nov 1994 What is String Theory NSF ITP 94 97 153pp arXiv hep th 9411028v1 Ooguri Yin Feb 1997 TASI Lectures on Perturbative String Theories UCB PTH 96 64 LBNL 39774 80pp arXiv hep th 9612254v3 nbsp Datos Q1048763 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Accion de Poliakov amp oldid 156777862, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,