Álgebra superconforme

En física teórica, el álgebra superconforme es un álgebra de Lie graduada o superálgebra que combina el álgebra conforme y la supersimetría. En dos dimensiones, el álgebra superconforme es infinito-dimensional. En dimensiones más altas, las álgebras superconformes son finito-dimensionales y generan el grupo superconforme (en dos dimensiones euclidianas, la superálgebra de Lie no genera cualquier supergrupo de Lie).

Álgebra Superconforme en dimensión mayor que 2

El grupo conforme del espacio ${\displaystyle (p+q)}$ -dimensional ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{p,q}}}$ es ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$  y su álgebra de Lie es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ . El álgebra superconforme es un superálgebra de Lie que contiene el factor bosónico ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ y cuyos generadores impares se transforman bajo representaciones espinoriales de ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ . Dada la clasificación de Kač de los superálgebras de Lie simples de dimensión finita, esto solo puede suceder para valores pequeños de ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ . Una lista (posiblemente incompleta es

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$ en 3+0D (dimensiones) gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$ ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$ en 2+1D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$ ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$ en 4+0D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$ ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$ en 3+1D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$ ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$ en 2+2D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$ ;
• formas reales de ${\displaystyle F(4)}$ en 5 dimensiones;
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$ en 5+1D gracias al hecho de que las representaciones espinorial y fundamental de ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$ se pueden mapear mediante automorfismos exteriores.

Álgebra superconforme en 3+1D

De acuerdo con^[1]​^[2]​ el álgebra superconforme con ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ supersimetrías en 3+1 dimensiones está dado por los generadores bosónicos ${\displaystyle P_{\mu }}$ , ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ , ${\displaystyle K_{\mu }}$ la R-simetría U(1) ${\displaystyle A}$ , la R-simetría SU(N) ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ y los generadores fermiónicos ${\displaystyle Q^{\alpha i}}$ , ${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$ , ${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$ y ${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$ . Aquí, ${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$ denotan índices espaciotemporales; ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$ índices espinorales de Weyl izquierdos; ${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$ índices espinorales de Weyl derechos; y ${\displaystyle i,j,\dots }$  los índices de la R-simetría interna.

Los supercorchetes de Lie del álgebra conforme bosnico están dados por

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}$ 

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$ 

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$ 

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$ 

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$ 

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$ 

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$ 

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$ 

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$ 

Dónde η es la métrica de Minkowski; mientras que los de los generadores fermiónicos son:

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$ 

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$ 

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$ 

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$ 

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$ 

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$ 

Los generadores conformes bosónicos no portan R-cargas, dado que conmutan con los generadores de la R-simetría:

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$ 

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$ 

Pero los generadores fermiónicos si portan R-carga:

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$ 

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$ 

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$ 

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$ 

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$ 

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$ 

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$ 

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$ 

Bajo transformaciones conformes bosónicas, los generadores fermiónicos se trasforman como:

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$ 

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$ 

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$ 

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$ 

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$ 

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$ 

Álgebra superconforme en 2D

Hay dos álgebras posibles con supersimetría mínima en dos dimensiones; un álgebra de Neveu–Schwarz y un álgebra de Ramond Son posibles supersimetrías adicionales, por ejemplo el álgebra superconforme N=2.

Ver también

• Simetría conforme
• Álgebra super Virasoro
• Álgebra de supersimetría

Referencias

1. MISSING LINK.. 
2. Gates, S. J.; Grisaru, Marcus T.; Rocek, M.; Siegel, W. (1983). «Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry». Frontiers in Physics 58: 1-548. Bibcode:2001hep.th....8200G. 

•   Datos: Q16255394