Álgebra de Lie ortogonal generalizada

Un álgebra de Lie ortogonal generalizada es un álgebra de Lie asociada a un grupo ortogonal generalizado. Este tipo de álgebras se caracterizan por dos números enteros n y m de tal manera que para cada par de enteros positivos con m < n se tiene un tipo de álgebra ortogonal generalizada, el álgebra: ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,m)}$. La dimensión vectorial de estas álgebras de Lie viene dada por:

${\displaystyle \dim({\mathfrak {so}}(n,m))={\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}$

Una segunda generalización discutida en este artículo explica como construir las álgebras denominadas ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,m)}$ a partir de las anteriores.

Representación y ejemplos

Álgebras so(n,m)

Existe una manera obvia de representar álgebras de Lie para valores de n y m en términos de álgebras de dimensionalidad inferior. Por ejemplo:

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\-V^{t}&0\end{pmatrix}}}$  pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n+1) si A pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n) y V es un n-vector (columna).
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\V^{t}&0\end{pmatrix}}}$  pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m+1) si A pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por supuesto). El álgebra de Lobachevski es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).

Álgebras so(n,m,l)

La construcción anterior puede generalizarse un poco más mediante la siguiente notación:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}}$  pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m, 1) si A pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m) y V es un (n+m)-vector. El álgebra euclidiana es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, 0, 1)!. El álgebra de Poincaré es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, 1, 1). En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio R^n+m con SO(n, m) que tiene a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m) como su álgebra de Lie.

Notación Nueva: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}}$  pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m, l+1) si A pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m, l) y V es un (n+m+l)-vector.

En particular: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&V&X\\0&0&t\\0&0&0\end{pmatrix}}}$  pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m,2) si A pertenece a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n, m) y V y X son (n+m)-vectores. El álgebra de Galileo es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ (n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$  da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).

Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura. El álgebra de Galileo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  es expandida por T, X_i, V_i y A_ij (tensor antisimétrico) conforme a:

• [X_i, T] = 0
• [X_i, X_j] = 0
• [A_ij, T] = 0
• [V_i, V_j] = 0
• [A_ij, A_kl] = δ_ik A_jl - δ_il A_jk - δ_jk A_il + δ_jl A_ik
• [A_ij, X_k] = δ_ik X_j - δ_jk X_i
• [A_ij, V_k] = δ_ik V_j - δ_jk V_i
• [V_i, X_j] = 0
• [V_i,T]=X_i

Enlaces externos

• Geometric Asymptotics by Victor Guillemin and Shlomo Sternberg (Gratis en AMS)
• cf. pg.188 (chIV-7. Periodic Hamiltonian Systems) MUY LENTO como cualquier libro imagen

•   Datos: Q6172676