entonces la prueba asociada a es una prueba más potente para probar contra , es decir, es la mejor región crítica.
Ejemplo
Sea una muestra aleatoria de una población con distribución donde es conocida. Considere
siendo .
En esta caso la función de verosimilitud es
por el lema de Neyman-Pearson
pero
por lo que
lo anterior implica
como entonces luego
por lo tanto se rechaza si , es decir la región de rechazo queda descrita como
Datos:Q1375989
Noviembre 10, 2021
lema, neyman, pearson, este, artículo, sección, necesita, referencias, aparezcan, publicación, acreditada, este, aviso, puesto, junio, 2020, estadística, lema, fundamental, neyman, pearson, resultado, describe, criterio, óptimo, para, distinguir, hipótesis, si. Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Este aviso fue puesto el 10 de junio de 2020 En estadistica el lema fundamental de Neyman Pearson es un resultado que describe el criterio optimo para distinguir dos hipotesis simples H 0 8 8 0 displaystyle H 0 theta theta 0 y H 1 8 8 1 displaystyle H 1 theta theta 1 El lema debe su nombre a sus dos creadores Jerzy Neyman y Egon Pearson Proposicion EditarSea X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n una muestra aleatoria de una poblacion con funcion de densidad f x 8 displaystyle f x theta donde 8 8 8 0 8 1 displaystyle theta in Theta theta 0 theta 1 y sean 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt alpha lt 1 k R displaystyle k in mathbb R y C displaystyle mathcal C tales que P X C H 0 a displaystyle operatorname P mathbf X in mathcal C H 0 alpha l L 8 0 L 8 1 i 1 n f x i 8 0 i 1 n f x i 8 1 k displaystyle lambda frac mathcal L theta 0 mathcal L theta 1 frac prod i 1 n f x i theta 0 prod i 1 n f x i theta 1 leq k si x C displaystyle mathbf x in mathcal C l gt k displaystyle lambda gt k si x C c displaystyle mathbf x in mathcal C c entonces la prueba asociada a C displaystyle mathcal C es una prueba mas potente para probar H 0 8 8 0 displaystyle H 0 theta theta 0 contra H 1 8 8 1 displaystyle H 1 theta theta 1 es decir C displaystyle mathcal C es la mejor region critica Ejemplo EditarSea X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n una muestra aleatoria de una poblacion con distribucion N m s 0 2 displaystyle N mu sigma 0 2 donde s 0 2 displaystyle sigma 0 2 es conocida Considere H 0 m m 0 H 1 m m 1 a displaystyle begin aligned H 0 amp mu mu 0 H 1 amp mu mu 1 alpha end aligned siendo m 0 lt m 1 displaystyle mu 0 lt mu 1 En esta caso la funcion de verosimilitud es L x 1 x n m s 0 2 i 1 n 1 2 p s 0 2 exp x i m 2 2 s 0 2 1 2 p s 0 2 n exp 1 2 s 0 2 i 1 n x i m 2 displaystyle begin aligned mathcal L x 1 dots x n mu sigma 0 2 amp prod i 1 n frac 1 sqrt 2 pi sigma 0 2 exp left frac x i mu 2 2 sigma 0 2 right amp left frac 1 sqrt 2 pi sigma 0 2 right n exp left frac 1 2 sigma 0 2 sum i 1 n x i mu 2 right end aligned por el lema de Neyman Pearson L 0 L 1 1 2 p s 0 2 n exp 1 2 s 0 2 i 1 n x i m 0 2 1 2 p s 0 2 n exp 1 2 s 0 2 i 1 n x i m 1 2 exp 1 2 s 0 2 i 1 n x i m 0 2 1 2 s 0 2 i 1 n x i m 1 2 displaystyle begin aligned frac mathcal L 0 mathcal L 1 amp frac left frac 1 sqrt 2 pi sigma 0 2 right n exp left frac 1 2 sigma 0 2 sum i 1 n x i mu 0 2 right left frac 1 sqrt 2 pi sigma 0 2 right n exp left frac 1 2 sigma 0 2 sum i 1 n x i mu 1 2 right amp exp left frac 1 2 sigma 0 2 sum i 1 n x i mu 0 2 frac 1 2 sigma 0 2 sum i 1 n x i mu 1 2 right end aligned pero i 1 n x i m 2 i 1 n x i 2 2 m x i m 2 i 1 n x i 2 2 m i 1 n x i n m 2 i 1 n x i 2 2 m n x n m 2 displaystyle begin aligned sum i 1 n x i mu 2 amp sum i 1 n x i 2 2 mu x i mu 2 amp sum i 1 n x i 2 2 mu sum i 1 n x i n mu 2 amp sum i 1 n x i 2 2 mu n bar x n mu 2 end aligned por lo que L 0 L 1 exp 1 2 s 0 2 i 1 n x i 2 2 m 0 n x n m 0 2 i 1 n x i 2 2 m 1 n x n m 1 2 exp 1 2 s 0 2 2 n x m 1 m 0 n m 0 2 m 1 2 exp n x m 0 m 1 s 0 2 n m 0 2 m 1 2 2 s 0 2 k 1 displaystyle begin aligned frac mathcal L 0 mathcal L 1 amp exp left frac 1 2 sigma 0 2 left sum i 1 n x i 2 2 mu 0 n bar x n mu 0 2 sum i 1 n x i 2 2 mu 1 n bar x n mu 1 2 right right amp exp left frac 1 2 sigma 0 2 left 2n bar x mu 1 mu 0 n mu 0 2 mu 1 2 right right amp exp left frac n bar x mu 0 mu 1 sigma 0 2 frac n mu 0 2 mu 1 2 2 sigma 0 2 right leq k 1 end aligned lo anterior implica n x m 0 m 1 s 0 2 n m 0 2 m 1 2 2 s 0 2 k 2 ln k 1 n x m 0 m 1 s 0 2 k 3 k 2 n m 0 2 m 1 2 2 s 0 2 displaystyle begin aligned amp frac n bar x mu 0 mu 1 sigma 0 2 frac n mu 0 2 mu 1 2 2 sigma 0 2 leq k 2 ln k 1 amp frac n bar x mu 0 mu 1 sigma 0 2 leq k 3 k 2 frac n mu 0 2 mu 1 2 2 sigma 0 2 end aligned como m 1 gt m 0 displaystyle mu 1 gt mu 0 entonces m 0 m 1 lt 0 displaystyle mu 0 mu 1 lt 0 luego x k k 3 s 0 2 n m 0 m 1 displaystyle bar x geq k frac k 3 sigma 0 2 n mu 0 mu 1 por lo tanto se rechaza H 0 displaystyle H 0 si x k displaystyle bar x geq k es decir la region de rechazo C displaystyle mathcal C queda descrita como C X 1 X 2 X n X k displaystyle mathcal C X 1 X 2 dots X n bar X geq k Datos Q1375989 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Lema de Neyman Pearson amp oldid 139210574, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,