Se define un grupo multiplicativo de enteros módulo n como un conjunto finito de enteros positivos menores que n siendo números coprimos respecto a n también.[1]
En notación matemática se definiría:
Propiedades
Podemos calcular fácilmente el cardinal de cualquier conjunto usando la función indicatriz de Euler donde , conociendo una de las propiedades de sabemos que si n es primo tendrá elementos como si n es primo.[1][2]
Se define como un grupo abeliano ya que cumple la propiedad asociativa, existe elemento neutro, para cada elemento existe un elemento simétrico y es conmutativo. La propiedad asociativa y conmutativa se verifican fácilmente al aplicarse la operación módulo y multiplicación sobre los elementos ya que ambas son asociativas y conmutativas. El elemento neutro sería 1 el mismo que la multiplicación. La existencia del simétrico está determinada por la característica de que los números que lo conformen sean coprimos a n, ya que se establece que sí a y b son coprimos entre sí .[3]
Observamos que se cumple la propiedad conmutativa ( la tabla es simétrica ), es asociativa (se puede demostrar con el test de asociatividad de Light), existe un neutro ( sería el uno al no alterar las columnas y filas en sus respectiva fila y columna ) y existe un simétrico (en todas las columnas y filas aparece el elemento neutro). Además, una de las propiedades de los grupos en las tablas de Cayley es que en cada fila y columna aparezca una única vez cada elemento, es decir, las filas y columnas son permutaciones de los elementos del grupo.
Algunos son grupos cíclicos, se define un grupo cíclico como un grupo donde existe un elemento generador que elevándolo a diferentes exponentes podemos obtener el resto de elementos del grupo. En el caso de los grupos cíclicos son cuando donde p es primo y diferente de 2 y n un entero positivo.[4][5]
Referencias
↑ Weisstein, Eric W. «Modulo Multiplication Group». mathworld.wolfram.com(en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020.
Weisstein, Eric W. «Totient Function». mathworld.wolfram.com(en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020.
Weisstein, Eric W. «Modular Inverse». mathworld.wolfram.com(en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020.
Weisstein, Eric W. «Cyclic Group». mathworld.wolfram.com(en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020.
Weisstein, Eric W. «Group Generators». mathworld.wolfram.com(en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020.
Datos:Q1169249
Agosto 14, 2021
grupo, multiplicativo, enteros, módulo, define, grupo, multiplicativo, enteros, módulo, displaystyle, como, conjunto, finito, enteros, positivos, menores, siendo, números, coprimos, respecto, también, notación, matemática, definiría, displaystyle, leftrightarr. Se define un grupo multiplicativo de enteros modulo n M n displaystyle M n como un conjunto finito de enteros positivos menores que n siendo numeros coprimos respecto a n tambien 1 En notacion matematica se definiria x M n M C D n x 1 x lt n x Z displaystyle x in M n Leftrightarrow MCD n x 1 land x lt n land x in mathbb Z Propiedades EditarPodemos calcular facilmente el cardinal de cualquier conjunto M n displaystyle M n usando la funcion indicatriz de Euler donde ϕ n M n displaystyle phi n M n conociendo una de las propiedades de ϕ n displaystyle phi n sabemos que si n es primo M n displaystyle M n tendra n 1 displaystyle n 1 elementos como ϕ n n 1 displaystyle phi n n 1 si n es primo 1 2 Se define como un grupo abeliano ya que cumple la propiedad asociativa existe elemento neutro para cada elemento existe un elemento simetrico y es conmutativo La propiedad asociativa y conmutativa se verifican facilmente al aplicarse la operacion modulo y multiplicacion sobre los elementos ya que ambas son asociativas y conmutativas El elemento neutro seria 1 el mismo que la multiplicacion La existencia del simetrico esta determinada por la caracteristica de que los numeros que lo conformen sean coprimos a n ya que se establece que si a y b son coprimos entre si x a x m o d b 1 x Z displaystyle exists x a x mod b 1 land x in mathbb Z 3 Un ejemplo seria M 16 displaystyle M 16 formado por 1 3 5 7 9 11 13 15 displaystyle 1 3 5 7 9 11 13 15 cuyo cardinal es ϕ 16 8 displaystyle phi 16 8 La tabla de Cayley de este grupo seria X 1 3 5 7 9 11 13 151 1 3 5 7 9 11 13 153 3 9 15 5 11 1 7 135 5 15 9 3 13 7 1 117 7 5 3 1 15 13 11 99 9 11 13 15 1 3 5 711 11 1 7 13 3 9 15 513 13 7 1 11 5 15 9 315 15 13 11 9 7 5 3 1Observamos que se cumple la propiedad conmutativa la tabla es simetrica es asociativa se puede demostrar con el test de asociatividad de Light existe un neutro seria el uno al no alterar las columnas y filas en sus respectiva fila y columna y existe un simetrico en todas las columnas y filas aparece el elemento neutro Ademas una de las propiedades de los grupos en las tablas de Cayley es que en cada fila y columna aparezca una unica vez cada elemento es decir las filas y columnas son permutaciones de los elementos del grupo Las aplicaciones de este grupo son muy variadas relacionadas principalmente con la teoria de numeros la criptografia factorizacion de enteros test de primalidad etc Casos ciclicos EditarAlgunos M n displaystyle M n son grupos ciclicos se define un grupo ciclico como un grupo donde existe un elemento generador X displaystyle X que elevandolo a diferentes exponentes podemos obtener el resto de elementos del grupo En el caso de M n displaystyle M n los grupos ciclicos son cuando n 2 4 p n 2 p n displaystyle n 2 4 p n 2p n donde p es primo y diferente de 2 y n un entero positivo 4 5 Referencias Editar a b Weisstein Eric W Modulo Multiplication Group mathworld wolfram com en ingles Consultado el 11 de mayo de 2020 Weisstein Eric W Totient Function mathworld wolfram com en ingles Consultado el 11 de mayo de 2020 Weisstein Eric W Modular Inverse mathworld wolfram com en ingles Consultado el 11 de mayo de 2020 Weisstein Eric W Cyclic Group mathworld wolfram com en ingles Consultado el 11 de mayo de 2020 Weisstein Eric W Group Generators mathworld wolfram com en ingles Consultado el 11 de mayo de 2020 Datos Q1169249Obtenido de https es wikipedia org w index php title Grupo multiplicativo de enteros modulo n amp oldid 130497251, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,