En matemáticas, una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tiene una razón constante entre sus términos sucesivos. Por ejemplo, la serie
Cada uno de los cuadrados púrpuras tiene 1/4 del área del cuadrado anterior más grande (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados púrpuras es 1/3 del área de todo el cuadrado grande.
es geométrica porque cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por .
En general, una serie geométrica es escrita como
donde es el coeficiente de cada término y es la razón entre cada término sucesivo.
La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Fórmula
Para , la suma de los primeros términos de una serie geométrica es:
donde es la razón común.
Cuando entonces la expresión anterior se reduce a
Demostración
Sea
si multiplicamos ambos lados de la igualdad por entonces
realizando
por lo que
como entonces
Ejemplo
Dada la serie
La razón común es y el primer término es , por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde , hasta ) es:
Convergencia
Sean entonces la serie
converge y su suma es
si .
Demostración
Notemos que
despejando de la ecuación anterior obtenemos
como entonces
En particular cuando
Ejemplo
Dada la serie:
La razón de esta serie es , por el resultado anterior
serie, geométrica, para, sumas, finitas, véase, progresión, geométrica, matemáticas, unaserie, geométrica, suma, número, infinito, términos, tiene, razón, constante, entre, términos, sucesivos, ejemplo, seriecada, cuadrados, púrpuras, tiene, área, cuadrado, an. Para sumas finitas vease progresion geometrica En matematicas unaserie geometrica es la suma de un numero infinito de terminos que tiene una razon constante entre sus terminos sucesivos Por ejemplo la serieCada uno de los cuadrados purpuras tiene 1 4 del area del cuadrado anterior mas grande 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 16 etc La suma de las areas de los cuadrados purpuras es 1 3 del area de todo el cuadrado grande 1 2 1 4 1 8 1 16 displaystyle frac 1 2 frac 1 4 frac 1 8 frac 1 16 cdots es geometrica porque cada termino sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1 2 displaystyle 1 2 En general una serie geometrica es escrita como a a r a r 2 a r 3 displaystyle a ar ar 2 ar 3 cdots donde a displaystyle a es el coeficiente de cada termino y r displaystyle r es la razon entre cada termino sucesivo Las series geometricas son las series infinitas mas simples y pueden ser utilizadas como una introduccion basica a las series de Taylor y series de Fourier Indice 1 Razon comun 2 Suma 2 1 Formula 2 1 1 Demostracion 2 2 Ejemplo 3 Convergencia 3 1 Demostracion 3 2 Ejemplo 4 Vease tambien 5 Referencias 6 Enlaces externosRazon comun EditarLos terminos de una serie geometrica forman una progresion geometrica es decir que la razon entre terminos sucesivos permanece constante El comportamiento de los terminos depende de la razon comun r displaystyle r Si r lt 1 displaystyle r lt 1 los terminos decrecen y se acercan a cero en el limite En tal caso la serie converge Si r gt 1 displaystyle r gt 1 los terminos de la serie se incrementan en magnitud La suma de los terminos tambien aumenta y la serie no tiene suma La serie diverge Suma Editar Ilustracion de una suma autosimilar La suma de una serie geometrica sera finita siempre y cuando los terminos se aproximen a cero a medida que se acercan al cero las cantidades se vuelven insignificantemente pequenas permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie Formula Editar Para r 1 displaystyle r neq 1 la suma de los primeros n 1 displaystyle n 1 terminos de una serie geometrica es a a r a r 2 a r 3 a r n k 0 n a r k a 1 r n 1 1 r displaystyle a ar ar 2 ar 3 cdots ar n sum k 0 n ar k a left frac 1 r n 1 1 r right donde r displaystyle r es la razon comun Cuando a 1 displaystyle a 1 entonces la expresion anterior se reduce a k 0 n r k 1 r n 1 1 r displaystyle sum k 0 n r k frac 1 r n 1 1 r Demostracion Editar Sea S n a a r a r 2 a r 3 a r n displaystyle S n a ar ar 2 ar 3 cdots ar n si multiplicamos ambos lados de la igualdad por r displaystyle r entonces r S n a r a r 2 a r 3 a r n a r n 1 displaystyle rS n ar ar 2 ar 3 cdots ar n ar n 1 realizando S n r S n displaystyle S n rS n a a r a r 2 a r 3 a r n a r a r 2 a r 3 a r n a r n 1 a a r n 1 displaystyle begin array ccccccccc a amp amp ar amp amp ar 2 amp amp ar 3 amp amp cdots amp amp ar n amp amp ar amp amp ar 2 amp amp ar 3 amp amp cdots amp amp ar n amp amp ar n 1 hline a amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp ar n 1 end array por lo que S n r S n a a r n 1 S n 1 r a 1 r n 1 displaystyle begin aligned S n rS n amp a ar n 1 S n 1 r amp a left 1 r n 1 right end aligned como r 1 displaystyle r neq 1 entonces S n a 1 r n 1 1 r displaystyle S n a left frac 1 r n 1 1 r right Ejemplo Editar Dada la serie s 1 1 2 1 4 1 8 displaystyle s 1 frac 1 2 frac 1 4 frac 1 8 cdots La razon comun es r 1 2 displaystyle r frac 1 2 y el primer termino es a 1 displaystyle a 1 por lo que la suma de los primeros 10 terminos de la serie desde n 0 displaystyle n 0 hasta n 10 displaystyle n 10 es s 10 1 1 1 2 10 1 1 2 1 1 1024 1 1 2 1023 1024 1 2 2046 1024 1023 512 1 99804687 displaystyle s 10 1 left frac 1 frac 1 2 10 1 frac 1 2 right frac 1 frac 1 1024 1 frac 1 2 frac frac 1023 1024 frac 1 2 frac 2046 1024 frac 1023 512 approx 1 99804687 Convergencia EditarSean a r R displaystyle a r in mathbb R entonces la serie k 0 a r k displaystyle sum k 0 infty ar k converge y su suma es a 1 r displaystyle frac a 1 r si r lt 1 displaystyle r lt 1 Demostracion Editar Notemos que k 0 a r k a k 1 a r k a r k 0 a r k displaystyle begin aligned sum k 0 infty ar k amp a sum k 1 infty ar k amp a r sum k 0 infty ar k end aligned despejando de la ecuacion anterior k 0 a r k textstyle sum k geq 0 ar k obtenemos k 0 a r k r k 0 a r k a k 0 a r k 1 r a displaystyle begin aligned sum k 0 infty ar k r sum k 0 infty ar k amp a sum k 0 infty ar k 1 r amp a end aligned como r 1 displaystyle r neq 1 entonces k 0 a r k a 1 r displaystyle sum k 0 infty ar k frac a 1 r En particular cuando a 1 displaystyle a 1 k 0 r k 1 1 r displaystyle sum k 0 infty r k frac 1 1 r Ejemplo Editar Dada la serie s 1 2 3 4 9 8 27 k 0 2 3 k displaystyle begin aligned s amp 1 frac 2 3 frac 4 9 frac 8 27 cdots amp sum k 0 infty left frac 2 3 right k end aligned La razon de esta serie es r 2 3 lt 1 textstyle r frac 2 3 lt 1 por el resultado anterior s 1 1 2 3 1 1 3 3 displaystyle s frac 1 1 frac 2 3 frac 1 frac 1 3 3 por lo que s 3 displaystyle s 3 Vease tambien EditarSerie Criterio de d Alembert Progresion geometrica Razon matematicas Referencias EditarWeisstein Eric W Geometric Series En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research geometric series en PlanetMath Enlaces externos Editar Wikilibros alberga contenido sobre Series Datos Q1306887 Multimedia Geometric seriesObtenido de https es wikipedia org w index php title Serie geometrica amp oldid 136239400, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,