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Triángulo isósceles

En geometría, un triángulo isósceles es un tipo de triángulo que tiene, al menos, dos lados de igual longitud. Al ángulo formado por los lados de igual longitud se le denomina ángulo en el vértice y al lado opuesto a él, ángulo base.[1]

Triángulo isósceles

Imagen del polígono
Características
Lados 3
Vértices 3
Grupo de simetría Dih2, [ ], (*), orden 2
Símbolo de Schläfli ( ) ∨ { }
Propiedades
Polígono convexo, cíclico y autodual

Propiedades

  • Los dos ángulos opuestos a los lados iguales, tienen la misma medida, mientras que su base es diferente, el ángulo en el vértice tiene diferente medida.
  • Cualquier triángulo con dos bisectrices de igual longitud, es isósceles. Proposición hay juegue conocida como el teorema de Steiner-Lehmus.
  • En un triángulo isósceles la mediatriz de su base es eje de simetría, porque es también bisectriz. En un triángulo isósceles no equilátero, este eje es también la recta de Euler del triángulo y uno de los dos ejes de la inelipse de Steiner.
  • Los dos ángulos opuestos a los lados iguales tienen su medida menor que  , en efecto:   , donde  . Son siempre agudos.
  • Para el ángulo B en el vértice, se cumple  , por lo que la clasificación del triángulo como agudo, recto u obtuso, depende únicamente del ángulo del vértice.
  • Cualquier segmento paralelo a la base de un triángulo isósceles, con extremos en los lados iguales, determina un triángulo semejante al triángulo original.
  • En un triángulo isósceles, la mediatriz de la base determina dos triángulos rectángulos iguales (congruentes) con un cateto común -la mediatriz- y las respectivas hipotenusas son los lados iguales.[2]

Terminología, clasificación y ejemplos

"Isosceles" es una composición (lingüística), a partir de los términos griegos "isos" (igual) y "skelos" (pierna).[3]​ La misma palabra se usa, por ejemplo, para el trapecio isósceles, que tiene dos lados iguales. Un triángulo que no es isósceles (tiene tres lados desiguales) se llama escaleno.

En un triángulo isósceles que tiene exactamente dos lados iguales, los lados iguales se llaman patas y el tercer lado se llama base. El ángulo incluido por las patas se denomina ángulo del vértice y los ángulos que tienen la base como uno de sus lados se llaman ángulos de la base (Jacobs, 1974). El vértice opuesto a la base se llama ápice.

Euclides definió el triángulo isósceles como uno que tiene exactamente dos lados iguales (Heath, 1956, p. 187, Definition 20), pero los tratamientos modernos prefieren definirlos como teniendo al menos dos lados iguales, lo que hace que los "triángulos equiláteros" (con tres lados iguales) sean un caso especial de triángulos isósceles.(Stahl, 2003, p. 37) En el caso del triángulo equilátero, dado que todos los lados son iguales, cualquier lado se puede llamar la base, si es necesario, y el término pata no se usa generalmente.

Triángulos isósceles especiales
 
Triángulo isósceles rectángulo
 
Tres cuadrados inscritos congruentes en el triángulo de Calabi
 
Un triángulo áureo subdividido en otro triángulo áureo menor y en un gnomon áureo
 
The Teselado triangular triaquis
Sólidos de Catalan con caras triangulares isósceles

Si el triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo, depende del ángulo del vértice. En Geometría euclidiana, los ángulos de la base no pueden ser obtusos (más de 90°) o rectos (igual a 90°), porque sus medidas sumarían al menos 180°, el total de todos los ángulos en cualquier triángulo euclidiano. De aquí se deduce que un triángulo es obtuso o recto si y solo si uno de sus ángulos es obtuso o recto, respectivamente, y un triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo si y solo si su ángulo de vértice es respectivamente obtuso, recto o agudo.

Además del triángulo isósceles rectángulo, se han estudiado otras formas específicas de triángulos isósceles. Estos incluyen el triángulo de Calabi (un triángulo con tres cuadrados inscritos congruentes), el triángulo áureo y el gnomon áureo (dos triángulos isósceles cuyos lados y la base están en la relación del número áureo), y el triángulo 30-30-120 del teselado triangular triaquis.

Cinco sólidos de Catalan (triaquistetraedro, triaquisoctaedro, tetraquishexaedro, pentaquisdodecaedro y triaquisicosaedro), tienen caras que son triángulos isósceles.

Ecuaciones

Para un triángulo isósceles con lados iguales de longitud a y base de longitud b, las fórmulas generales del triángulo para (1) la longitud de la porción del triángulo-interior del ángulo bisector del ángulo del vértice, (2) la longitud de la mediana a la base, (3) la longitud de la altura a la base, y (4) la longitud de la porción del triángulo-interior de la bisectriz perpendicular a la base; coinciden, y se expresan según la fórmula:

 

Para cualquier triángulo isósceles con área T y perímetro p, se tiene que (Baloglou y Helfgott, 2008, Equation (1))

 

Área

El área de un triángulo isósceles se puede deducir usando el teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de la mitad de la base   y la altura  ; equivale al cuadrado de cualquiera de los otros dos lados de longitud  :

 ,
 .

Al sustituir la altura, la fórmula para el área de un triángulo isósceles puede deducirse de la fórmula general según la que se multiplica mitad de la base por la altura:

 .

Esto coincide con la fórmula de Herón reducida al caso de un triángulo isósceles.

Si se conocen el ángulo de vértice   y la longitud de las patas   de un triángulo isósceles, entonces el área de ese triángulo es:

 
 .

Esto se obtiene dibujando una línea perpendicular desde la base del triángulo, que divide el ángulo del vértice y crea dos triángulos rectángulos. Las bases de estos dos triángulos rectángulos son iguales a la hipotenusa multiplicada por el seno del ángulo bisecado por definición del término "seno". Por la misma razón, las alturas de estos triángulos son iguales a la hipotenusa por el coseno del ángulo bisecado. Usando la identidad trigonométrica  , se obtiene

 .

Este es un caso especial de la ecuación general para el área de un triángulo como la mitad del producto de dos lados multiplicado por el seno del ángulo incluido.

Desigualdades

Existen exactamente dos triángulos isósceles distintos con el área dada T y el perímetro p si la isoperimetría se mantiene estrictamente como  . Si la desigualdad es reemplazada por la igualdad correspondiente, solo hay un triángulo de este tipo, que es equilátero. (Baloglou y Helfgott, 2008, Theorem 2)

Si los dos lados iguales tienen la longitud a y el otro lado tiene la longitud c, entonces la bisectriz del ángulo interno t de uno de los dos vértices de ángulo igual satisface (Arslanagić,)

 

así como (Oxman, 2005)

 ;

y, por el contrario, si la última condición se cumple, existe un triángulo isósceles parametrizado por a y t.

Figuras asociadas

Eje de simetría

Un triángulo con exactamente dos lados iguales tiene exactamente una simetría rotacional, que pasa por el vértice del ángulo y también pasa por el punto medio de la base. Por lo tanto, el eje de simetría coincide con (1) la bisectriz del ángulo del vértice, (2) la mediana trazada desde la base, (3) la altura desde el vértice del ángulo y (4) la mediatriz de la base.(Ostermann y Wanner, 2012, p. 55, Exercise 7)

Línea de Euler

La recta de Euler de cualquier triángulo atraviesa el ortocentro del triángulo (la intersección de sus tres alturas), su centroide (la intersección de sus tres medianas) y su circuncentro (la intersección de las mediatrices de sus tres lados, que también es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices). En un triángulo isósceles con exactamente dos lados iguales, la línea de Euler coincide con el eje de simetría. Esto se puede ver de la siguiente manera. Tal y como se señaló en la sección anterior, el eje de simetría coincide con una altura, la intersección de las alturas, que debe estar en esa primera altura, debe por lo tanto estar en el eje de simetría; dado que el eje coincide con una mediana, la intersección de las medianas, consecuentemente también en esa mediana, debe por lo tanto estar en el eje de simetría; y dado que el eje coincide con una mediatriz, la intersección de las tres mediatrices debe por lo tanto estar en el eje de simetría.

Si el ángulo del vértice es agudo (lo que implica que el triángulo isósceles es un triángulo agudo), entonces el ortocentro, el centroide y el circuncentro caen dentro del triángulo. Si el ángulo del vértice, y por lo tanto el triángulo, es obtuso, entonces el centroide también queda en el interior del triángulo, pero el circuncentro cae fuera de él (más allá de la base) y el ortocentro también cae fuera del triángulo (más allá del vértice).

En un triángulo isósceles, el incentro (la intersección de sus bisectrices, que es el centro de la circunferencia inscrita, es decir, el círculo que internamente es tangente a los tres lados del triángulo) se encuentra en la línea de Euler.

Inelipse de Steiner

La inelipse de Steiner de cualquier triángulo es la única elipse que es internamente tangente a los tres lados del triángulo en sus puntos medios. En un triángulo isósceles, si las patas son más largas que la base, entonces el eje principal de la inelipse de Steiner coincide con el eje de simetría del triángulo; si las piernas son más cortas que la base, entonces el eje menor de la elipse coincide con el eje de simetría del triángulo.

Teorema del triángulo isósceles

El teorema que establece que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales aparece como la Proposición I.5 en Euclides.(Heath, 1956, p. 251) Este resultado se ha llamado el "pons asinorum" (el puente de los asnos). Una interpretación sugiere que esto es probablemente debido al diagrama usado por Euclides en su demostración del resultado, mientras que otra sostiene que el nombre proviene del hecho de que este es el primer resultado difícil en Euclides, y actúa para separar a aquellos que pueden entender la geometría de Euclides de aquellos que no son capaces de hacerlo.(Venema, 2006, p. 89)

Partición en triángulos isósceles

Para cualquier número entero  , cualquier triángulo puede dividirse en   triángulos isósceles.(Lord, 1982)

En un triángulo rectángulo, la mediana de la hipotenusa (es decir, el segmento de línea desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice en ángulo recto) divide el triángulo rectángulo en dos triángulos isósceles. Esto se debe a que el punto medio de la hipotenusa es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo rectángulo, y cada uno de los dos triángulos creados por la partición tiene dos radios iguales como dos de sus lados.(Posamentier y Lehmann, 2012)

El triángulo áureo es isósceles y tiene una relación entre patas y base igual al número áureo, y con ángulos de 72°, 72° y 36° en las proporciones 2: 2: 1. Se puede dividir en otro triángulo áureo y en un gnomon áureo, también isósceles, con una relación de base a pata igual a la proporción áurea y con ángulos de 36°, 36° y 108° en las proporciones 1: 1: 3.(Posamentier y Lehmann, 2012)

Varios

Si una ecuación cúbica tiene dos raíces complejas y una raíz real, cuando estas raíces se trazan en el plano complejo, son los vértices de un triángulo isósceles cuyo eje de simetría coincide con el eje horizontal (real). Esto se debe a que las raíces complejas son conjugadas y, por lo tanto, son simétricas con respecto al eje real.

La diagonal de un rombo lo divide en dos triángulos congruentes isósceles.

Si un triángulo isósceles ABC con patas iguales AB y BC tiene un segmento dibujado desde A hasta un punto D en el rayo BC, y si el reflejo de DA alrededor de CA interseca el rayo BC en E, entonces (Dutta, 2014)

BC2 = BD × BE.

Falacia del triángulo isósceles

Un conocida falacia es la prueba falsa de la afirmación de que "todos los triángulos son isósceles". Este argumento ha sido atribuido a Lewis Carroll, (Wilson, 2008), pero W. W. Rouse Ball reivindica la prioridad en este asunto.(Ball y Coxeter, 1987) La falacia está enraizada en la falta de reconocimiento por parte de Euclides del concepto de internalidad y la ambigüedad resultante de dentro contra afuera en las figuras.[4]

Referencias

  1. Moise Downs: Geometría moderna'
  2. Michael Helffgott. Geometría moderna
  3. «Isósceles». Etimologías de Chile. Consultado el 28 de mayo de 2018. 
  4. A description of the fallacy is given in «Fallacy of the Isosceles Triangle». 

Bibliografía

  • Arslanagić, Šefket, «Problem η44», Inequalities proposed in Crux Mathematicorum, p. 151 .
  • Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987) [1892], Mathematical Recreations and Essays (13th edición), Dover, footnote, p. 77, ISBN 0-486-25357-0 .
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  • Dutta, Surajit (2014), , Forum Geometricorum 14: 237-240, MR 3260502, archivado desde el original el 21 de abril de 2018, consultado el 27 de mayo de 2018 .
  • Heath, Thomas L. (1956) [1925], The Thirteen Books of Euclid's Elements 1 (2nd edición), New York: Dover Publications, ISBN 0-486-60088-2 .
  • Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0 .
  • Lord, N. J. (June 1982), «66.16 Isosceles subdivisions of triangles», The Mathematical Gazette 66 (436): 136, doi:10.2307/3617750 .
  • Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by Its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3 .
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  • Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012), The secrets of Triangles: A mathematical journey, Amherst, NY: Prometheus Books, p. 387, ISBN 978-1-61614-587-3, MR 2963520 .
  • Stahl, Saul (2003), Geometry from Euclid to Knots, Prentice-Hall, ISBN 0-13-032927-4 .
  • Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Prentice-Hall, ISBN 0-13-143700-3 .
  • Wilson, Robin (2008), Lewis Carroll in Numberland: His fantastical mathematical logical life, an agony in eight fits, Penguin Books, pp. 169-170, ISBN 978-0-14-101610-8, MR 2455534 .

Enlaces externos

  •   Datos: Q875937
  •   Multimedia: Isosceles triangles

triángulo, isósceles, geometría, triángulo, isósceles, tipo, triángulo, tiene, menos, lados, igual, longitud, ángulo, formado, lados, igual, longitud, denomina, ángulo, vértice, lado, opuesto, ángulo, base, imagen, polígonocaracterísticaslados3vértices3grupo, . En geometria un triangulo isosceles es un tipo de triangulo que tiene al menos dos lados de igual longitud Al angulo formado por los lados de igual longitud se le denomina angulo en el vertice y al lado opuesto a el angulo base 1 Triangulo isoscelesImagen del poligonoCaracteristicasLados3Vertices3Grupo de simetriaDih2 orden 2Simbolo de Schlafli PropiedadesPoligono convexo ciclico y autodual editar datos en Wikidata Indice 1 Propiedades 2 Terminologia clasificacion y ejemplos 3 Ecuaciones 3 1 Area 3 2 Desigualdades 4 Figuras asociadas 4 1 Eje de simetria 4 2 Linea de Euler 4 3 Inelipse de Steiner 5 Teorema del triangulo isosceles 6 Particion en triangulos isosceles 7 Varios 8 Falacia del triangulo isosceles 9 Referencias 10 Bibliografia 11 Enlaces externosPropiedades EditarLos dos angulos opuestos a los lados iguales tienen la misma medida mientras que su base es diferente el angulo en el vertice tiene diferente medida Cualquier triangulo con dos bisectrices de igual longitud es isosceles Proposicion hay juegue conocida como el teorema de Steiner Lehmus En un triangulo isosceles la mediatriz de su base es eje de simetria porque es tambien bisectriz En un triangulo isosceles no equilatero este eje es tambien la recta de Euler del triangulo y uno de los dos ejes de la inelipse de Steiner Los dos angulos opuestos a los lados iguales tienen su medida menor que 90 displaystyle 90 circ en efecto 2 A B 180 A B 2 90 displaystyle 2 widehat A widehat B 180 circ implies widehat A frac widehat B 2 90 circ donde A lt 90 displaystyle widehat A lt 90 circ Son siempre agudos Para el angulo B en el vertice se cumple 2 A B 180 B lt 180 displaystyle 2 widehat A widehat B 180 implies widehat B lt 180 circ por lo que la clasificacion del triangulo como agudo recto u obtuso depende unicamente del angulo del vertice Cualquier segmento paralelo a la base de un triangulo isosceles con extremos en los lados iguales determina un triangulo semejante al triangulo original En un triangulo isosceles la mediatriz de la base determina dos triangulos rectangulos iguales congruentes con un cateto comun la mediatriz y las respectivas hipotenusas son los lados iguales 2 Terminologia clasificacion y ejemplos Editar Isosceles es una composicion linguistica a partir de los terminos griegos isos igual y skelos pierna 3 La misma palabra se usa por ejemplo para el trapecio isosceles que tiene dos lados iguales Un triangulo que no es isosceles tiene tres lados desiguales se llama escaleno En un triangulo isosceles que tiene exactamente dos lados iguales los lados iguales se llaman patas y el tercer lado se llama base El angulo incluido por las patas se denomina angulo del vertice y los angulos que tienen la base como uno de sus lados se llaman angulos de la base Jacobs 1974 El vertice opuesto a la base se llama apice Euclides definio el triangulo isosceles como uno que tiene exactamente dos lados iguales Heath 1956 p 187 Definition 20 pero los tratamientos modernos prefieren definirlos como teniendo al menos dos lados iguales lo que hace que los triangulos equilateros con tres lados iguales sean un caso especial de triangulos isosceles Stahl 2003 p 37 En el caso del triangulo equilatero dado que todos los lados son iguales cualquier lado se puede llamar la base si es necesario y el termino pata no se usa generalmente Triangulos isosceles especiales Triangulo isosceles rectangulo Tres cuadrados inscritos congruentes en el triangulo de Calabi Un triangulo aureo subdividido en otro triangulo aureo menor y en un gnomon aureo The Teselado triangular triaquis Solidos de Catalan con caras triangulares isosceles Triaquistetraedro Triaquisoctaedro Tetraquishexaedro Pentaquisdodecaedro Triaquisicosaedro Si el triangulo isosceles es obtuso recto o agudo depende del angulo del vertice En Geometria euclidiana los angulos de la base no pueden ser obtusos mas de 90 o rectos igual a 90 porque sus medidas sumarian al menos 180 el total de todos los angulos en cualquier triangulo euclidiano De aqui se deduce que un triangulo es obtuso o recto si y solo si uno de sus angulos es obtuso o recto respectivamente y un triangulo isosceles es obtuso recto o agudo si y solo si su angulo de vertice es respectivamente obtuso recto o agudo Ademas del triangulo isosceles rectangulo se han estudiado otras formas especificas de triangulos isosceles Estos incluyen el triangulo de Calabi un triangulo con tres cuadrados inscritos congruentes el triangulo aureo y el gnomon aureo dos triangulos isosceles cuyos lados y la base estan en la relacion del numero aureo y el triangulo 30 30 120 del teselado triangular triaquis Cinco solidos de Catalan triaquistetraedro triaquisoctaedro tetraquishexaedro pentaquisdodecaedro y triaquisicosaedro tienen caras que son triangulos isosceles Ecuaciones EditarPara un triangulo isosceles con lados iguales de longitud a y base de longitud b las formulas generales del triangulo para 1 la longitud de la porcion del triangulo interior del angulo bisector del angulo del vertice 2 la longitud de la mediana a la base 3 la longitud de la altura a la base y 4 la longitud de la porcion del triangulo interior de la bisectriz perpendicular a la base coinciden y se expresan segun la formula 1 2 4 a 2 b 2 displaystyle tfrac 1 2 sqrt 4a 2 b 2 Para cualquier triangulo isosceles con area T y perimetro p se tiene que Baloglou y Helfgott 2008 Equation 1 2 p b 3 p 2 b 2 16 T 2 0 displaystyle 2pb 3 p 2 b 2 16T 2 0 Area Editar El area de un triangulo isosceles se puede deducir usando el teorema de Pitagoras La suma de los cuadrados de la mitad de la base b displaystyle b y la altura h displaystyle h equivale al cuadrado de cualquiera de los otros dos lados de longitud a displaystyle a b 2 2 h 2 a 2 displaystyle left frac b 2 right 2 h 2 a 2 h 4 a 2 b 2 2 displaystyle h frac sqrt 4a 2 b 2 2 Al sustituir la altura la formula para el area de un triangulo isosceles puede deducirse de la formula general segun la que se multiplica mitad de la base por la altura T b 4 4 a 2 b 2 displaystyle T frac b 4 sqrt 4a 2 b 2 Esto coincide con la formula de Heron reducida al caso de un triangulo isosceles Si se conocen el angulo de vertice 8 displaystyle theta y la longitud de las patas a displaystyle a de un triangulo isosceles entonces el area de ese triangulo es T 2 1 2 a sin 8 2 a cos 8 2 displaystyle T 2 left frac 1 2 a sin left frac theta 2 right a cos left frac theta 2 right right a 2 sin 8 2 cos 8 2 displaystyle a 2 sin left frac theta 2 right cos left frac theta 2 right dd Esto se obtiene dibujando una linea perpendicular desde la base del triangulo que divide el angulo del vertice y crea dos triangulos rectangulos Las bases de estos dos triangulos rectangulos son iguales a la hipotenusa multiplicada por el seno del angulo bisecado por definicion del termino seno Por la misma razon las alturas de estos triangulos son iguales a la hipotenusa por el coseno del angulo bisecado Usando la identidad trigonometrica sin 8 2 sin 8 2 cos 8 2 displaystyle sin theta 2 sin left frac theta 2 right cos left frac theta 2 right se obtiene T 1 2 a 2 sin 8 displaystyle T frac 1 2 a 2 sin theta Este es un caso especial de la ecuacion general para el area de un triangulo como la mitad del producto de dos lados multiplicado por el seno del angulo incluido Desigualdades Editar Existen exactamente dos triangulos isosceles distintos con el area dada T y el perimetro p si la isoperimetria se mantiene estrictamente como p 2 gt 12 3 T displaystyle p 2 gt 12 sqrt 3 T Si la desigualdad es reemplazada por la igualdad correspondiente solo hay un triangulo de este tipo que es equilatero Baloglou y Helfgott 2008 Theorem 2 Si los dos lados iguales tienen la longitud a y el otro lado tiene la longitud c entonces la bisectriz del angulo interno t de uno de los dos vertices de angulo igual satisface Arslanagic 2 a c a c gt t gt a c 2 a c displaystyle frac 2ac a c gt t gt frac ac sqrt 2 a c asi como Oxman 2005 t lt 4 a 3 displaystyle t lt frac 4a 3 y por el contrario si la ultima condicion se cumple existe un triangulo isosceles parametrizado por a y t Figuras asociadas EditarEje de simetria Editar Un triangulo con exactamente dos lados iguales tiene exactamente una simetria rotacional que pasa por el vertice del angulo y tambien pasa por el punto medio de la base Por lo tanto el eje de simetria coincide con 1 la bisectriz del angulo del vertice 2 la mediana trazada desde la base 3 la altura desde el vertice del angulo y 4 la mediatriz de la base Ostermann y Wanner 2012 p 55 Exercise 7 Linea de Euler Editar La recta de Euler de cualquier triangulo atraviesa el ortocentro del triangulo la interseccion de sus tres alturas su centroide la interseccion de sus tres medianas y su circuncentro la interseccion de las mediatrices de sus tres lados que tambien es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vertices En un triangulo isosceles con exactamente dos lados iguales la linea de Euler coincide con el eje de simetria Esto se puede ver de la siguiente manera Tal y como se senalo en la seccion anterior el eje de simetria coincide con una altura la interseccion de las alturas que debe estar en esa primera altura debe por lo tanto estar en el eje de simetria dado que el eje coincide con una mediana la interseccion de las medianas consecuentemente tambien en esa mediana debe por lo tanto estar en el eje de simetria y dado que el eje coincide con una mediatriz la interseccion de las tres mediatrices debe por lo tanto estar en el eje de simetria Si el angulo del vertice es agudo lo que implica que el triangulo isosceles es un triangulo agudo entonces el ortocentro el centroide y el circuncentro caen dentro del triangulo Si el angulo del vertice y por lo tanto el triangulo es obtuso entonces el centroide tambien queda en el interior del triangulo pero el circuncentro cae fuera de el mas alla de la base y el ortocentro tambien cae fuera del triangulo mas alla del vertice En un triangulo isosceles el incentro la interseccion de sus bisectrices que es el centro de la circunferencia inscrita es decir el circulo que internamente es tangente a los tres lados del triangulo se encuentra en la linea de Euler Inelipse de Steiner Editar La inelipse de Steiner de cualquier triangulo es la unica elipse que es internamente tangente a los tres lados del triangulo en sus puntos medios En un triangulo isosceles si las patas son mas largas que la base entonces el eje principal de la inelipse de Steiner coincide con el eje de simetria del triangulo si las piernas son mas cortas que la base entonces el eje menor de la elipse coincide con el eje de simetria del triangulo Teorema del triangulo isosceles EditarEl teorema que establece que los angulos de la base de un triangulo isosceles son iguales aparece como la Proposicion I 5 en Euclides Heath 1956 p 251 Este resultado se ha llamado el pons asinorum el puente de los asnos Una interpretacion sugiere que esto es probablemente debido al diagrama usado por Euclides en su demostracion del resultado mientras que otra sostiene que el nombre proviene del hecho de que este es el primer resultado dificil en Euclides y actua para separar a aquellos que pueden entender la geometria de Euclides de aquellos que no son capaces de hacerlo Venema 2006 p 89 Particion en triangulos isosceles EditarPara cualquier numero entero n 4 displaystyle n geq 4 cualquier triangulo puede dividirse en n displaystyle n triangulos isosceles Lord 1982 En un triangulo rectangulo la mediana de la hipotenusa es decir el segmento de linea desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vertice en angulo recto divide el triangulo rectangulo en dos triangulos isosceles Esto se debe a que el punto medio de la hipotenusa es el centro de la circunferencia circunscrita del triangulo rectangulo y cada uno de los dos triangulos creados por la particion tiene dos radios iguales como dos de sus lados Posamentier y Lehmann 2012 El triangulo aureo es isosceles y tiene una relacion entre patas y base igual al numero aureo y con angulos de 72 72 y 36 en las proporciones 2 2 1 Se puede dividir en otro triangulo aureo y en un gnomon aureo tambien isosceles con una relacion de base a pata igual a la proporcion aurea y con angulos de 36 36 y 108 en las proporciones 1 1 3 Posamentier y Lehmann 2012 Varios EditarSi una ecuacion cubica tiene dos raices complejas y una raiz real cuando estas raices se trazan en el plano complejo son los vertices de un triangulo isosceles cuyo eje de simetria coincide con el eje horizontal real Esto se debe a que las raices complejas son conjugadas y por lo tanto son simetricas con respecto al eje real La diagonal de un rombo lo divide en dos triangulos congruentes isosceles Si un triangulo isosceles ABC con patas iguales AB y BC tiene un segmento dibujado desde A hasta un punto D en el rayo BC y si el reflejo de DA alrededor de CA interseca el rayo BC en E entonces Dutta 2014 BC2 BD BE Falacia del triangulo isosceles EditarUn conocida falacia es la prueba falsa de la afirmacion de que todos los triangulos son isosceles Este argumento ha sido atribuido a Lewis Carroll Wilson 2008 pero W W Rouse Ball reivindica la prioridad en este asunto Ball y Coxeter 1987 La falacia esta enraizada en la falta de reconocimiento por parte de Euclides del concepto de internalidad y la ambiguedad resultante de dentro contra afuera en las figuras 4 Referencias Editar Moise Downs Geometria moderna Michael Helffgott Geometria moderna Isosceles Etimologias de Chile Consultado el 28 de mayo de 2018 A description of the fallacy is given in Fallacy of the Isosceles Triangle Bibliografia EditarArslanagic Sefket Problem h44 Inequalities proposed in Crux Mathematicorum p 151 Ball W W Rouse Coxeter H S M 1987 1892 Mathematical Recreations and Essays 13th edicion Dover footnote p 77 ISBN 0 486 25357 0 Baloglou George Helfgott Michel 2008 Angles area and perimeter caught in a cubic Forum Geometricorum 8 13 25 MR 2373294 archivado desde el original el 23 de abril de 2018 consultado el 27 de mayo de 2018 Dutta Surajit 2014 A simple property of isosceles triangles with applications Forum Geometricorum 14 237 240 MR 3260502 archivado desde el original el 21 de abril de 2018 consultado el 27 de mayo de 2018 Heath Thomas L 1956 1925 The Thirteen Books of Euclid s Elements 1 2nd edicion New York Dover Publications ISBN 0 486 60088 2 Jacobs Harold R 1974 Geometry W H Freeman and Co ISBN 0 7167 0456 0 Lord N J June 1982 66 16 Isosceles subdivisions of triangles The Mathematical Gazette 66 436 136 doi 10 2307 3617750 Ostermann Alexander Wanner Gerhard 2012 Geometry by Its History Springer ISBN 978 3 642 29162 3 Oxman Victor 2005 On the existence of triangles with given lengths of one side the opposite and one adjacent angle bisectors Forum Geometricorum 5 21 22 MR 2141652 archivado desde el original el 22 de abril de 2018 consultado el 27 de mayo de 2018 Posamentier Alfred S Lehmann Ingmar 2012 The secrets of Triangles A 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