Trapecio (geometría)

En la geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene al menos dos lados paralelos.^[1]​^[2]​

Trapecio
4 lados con solo dos paralelos (Trapecios rectángulo, isósceles y escaleno)
Características
Tipo	Cuadrilátero, paralelogramo
Lados	4
Vértices	4
Grupo de simetría	m
Polígono dual	Rectángulo
Propiedades
Convexo, cíclico Ángulos opuestos y lados cogruentes.
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Terminología frecuente

Elementos relevantes del trapecio, además de los heredados de cuadrado:

• Sus lados paralelos se llaman bases del trapecio.
• Altura del trapecio es un segmento que une perpendicularmente las dos bases o sus prolongaciones. La altura también es la longitud del segmento del mismo nombre y coincide con la distancia entre las bases. Véase ɑ con un segmento azul en la figura.
• Se denomina mediana al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.^[3]​ Véase m con un segmento verde en la figura. Se obtiene sumando las dos bases y dividirlas en dos partes iguales.

Tipos

 

Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:

• Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. Véase 1 en la imagen derecha.
  • Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
• Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida. Véase 2 en la imagen derecha.
  • Tiene un eje de simetría que pasa por el punto medio de sus bases.
  • Tiene dos ángulos internos agudos iguales sobre una base y dos ángulos internos obtuso iguales en la otra base.
  • Tiene sus dos diagonales iguales.
  • Sus ángulos internos opuestos son suplementarios, es decir, la suma es ${\displaystyle 180^{\circ }}$  y por tanto es inscribible.
• Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo. Véanse en 3 que a ángulo obtusos se opone uno agudo y viceversa, pero véase en 4 que a ángulos obtusos se opone otro obtuso y a ángulo agudo se opone otro agudo.
  • Sus lados no paralelos tienen longitudes diferentes.
  • Sus cuatro ángulos internos son diferentes.

Propiedades

 

• La longitud de la mediana, m, de un trapecio es igual a la suma de la longitud de sus bases, a y b dividida entre dos:

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$ 

• El segmento que une los puntos medios de sus diagonales, n, tiene una longitud igual a la base mayor menos la menor dividida entre dos:

${\displaystyle n={\frac {b-a}{2}}}$ 

• Si los lados de un trapecio son respectivamente iguales a los de otro trapecio, entonces los trapecios son iguales.

• La altura h de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases, a y c, y de los dos lados b y d, mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-\left(d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2(a-c)}}}$ 

En donde a es la base mayor, c es la base menor, y los lados no paralelos son b y d.

Diagonales y lados

Teniendo en cuenta que ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$  son las diagonales, ${\displaystyle a,b}$  las bases, ${\displaystyle c,d}$  los lados no paralelos, n el segmento que conecta los puntos medios de las bases, m la paralela a las bases que pasa por la intersección de diagonales, se cumplen estas fórmulas:

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab}$ 

${\displaystyle m={\frac {2ab}{a+b}}d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}$ 

${\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+d^{2}+ab)-(a^{2}+b^{2})}}}$ 

${\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-ab)-(a^{2}+b^{2})}}}$ ^[4]​

Área

 

Distintos tipos de trapecios y su relación con los paralelogramos

El área A de un trapecio de bases a y c y de altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura:

${\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}}$ .

Si solo se conocen las longitudes de los cuatro lados:

${\displaystyle A={\frac {a+c}{4(|a-c|)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(-a-b+c+d)(-a-b+c-d)(a-b-c+d)}}}$ 

Donde a y c son las bases del trapecio.

Teorema de Euler

• El teorema de Euler, en el caso de un trapecio isósceles, se reduce a

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2d^{2}+4m^{2}\,}$ 

siendo a y b las bases, c el lado igual y d la diagonal y m el segmento que une los puntos medios de las diagonales.

Caso isósceles

Siendo a la base mayor; b, la base menor; c=d, los lados no paralelos; γ, ángulo en la base mayor, resulta el área:^[5]​

${\displaystyle A=(a-\cos \gamma )c\operatorname {sen} \gamma =(b+\cos t\gamma )c\operatorname {sen} \gamma }$ 

Véase también

• Cuadrilátero
• Trapezoide
• Formulario de figuras geométricas
• Polígono

Referencias

1. Estrada y Sánchez. Geometría Plana Editorial Pueblo y Educación ISBN 978-959-13-1910-4
2. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española. «Trapecio». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). 
3. También llamado base media en algunos textos o en diccionarios es llamado como paralela media.Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
4. García Ardura. Problemas gráficos y numéricos de Geometría
5. Heddy Ilasaca. Formulario de ciencias ISBN 978-612-4005-36-7

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Trapecios.

•   Datos: Q46303
•   Multimedia: Trapezoids