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Teoría de la probabilidad

La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios y estocásticos. Los fenómenos aleatorios se contraponen a los fenómenos deterministas, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 ºC a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda.

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como el lanzamiento de un dado,donde el fenómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que las características del material hace que no exista una simetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.

En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.

Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o la economía (donde destaca el modelo de Black-Scholes para la valoración de activos financieros).

Definición de probabilidad

Historia

La teoría de la probabilidad se desarrolló originalmente a partir de ciertos problemas planteados en el contexto de juegos de azar. Inicialmente, no existía una teoría axiomática bien definida y las definiciones iniciales de probabilidad se basaron en la idea intuitiva de un cociente de ocurrencias:

(1) 

donde A es un suceso cualquiera y:

  es el número de veces que se ha repetido una acción u observación cuyo resultado puede dar el suceso A o no-A.
  es el número de veces que observa A en todas las observaciones.

Este tipo de definiciones si bien permitieron desarrollar un gran número de propiedades, no permitían deducir todos los teoremas y resultados importantes que hoy forman parte de la teoría de la probabilidad. De hecho el resultado anterior se puede demostrar rigurosamente dentro del enfoque axiomático de la teoría de la probabilidad, bajo ciertas condiciones.

La primera axiomatización completa se debió a Andréi Kolmogórov (quien usó dicho enfoque por ejemplo para deducir su "ley 0-1 para sucesos cola" y otros resultados relacionados con la convergencia de sucesiones aleatorias). La definición axiomática de la probabilidad se basa en resultados de la teoría de la medida y en formalizaciones de la idea de independencia probabilística. En este enfoque se parte de un espacio de medida normalizada   donde   es un conjunto llamado espacio de sucesos (según el tipo de problema puede ser un conjunto finito, numerable o no-numerable),   es una σ-álgebra de subconjuntos de   y   es una medida normalizada (es decir,  ). Los sucesos posibles se consideran como subconjuntos S de eventos elementales posibles:   y la probabilidad de cada suceso viene dada por la medida de dicho conjunto:

 ,

La interpretación de esta probabilidad es la frecuencia promedio con la que aparece dicho suceso si se considera una elección de muestras aleatorias sobre  .

La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que   debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.

Definición clásica de probabilidad

La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que este se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

 

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

 

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por  , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por  , etcétera, son elementos del espacio  .

Definición axiomática

Como se ha adelantado anteriormente la definición axiomática de probabilidad es una extensión de la teoría de la medida, en la que se introducen la noción de independencia relativa. Este enfoque permite reproducir los resultados de la teoría clásica de la probabilidad además de resultados nuevos referidos a la convergencia de variables aleatorias. Además de los procesos estocásticos, el cálculo de Itô y las ecuaciones diferenciales estocásticas.

Dentro del enfoque axiomático es posible demostrar que la ley débil de los grandes números implica que se cumplirá que:

 

Esto permite justificar rigurosamente la ecuación (1) suponiendo que:

 

Donde se interpreta   con probabilidad p y que   con proabilidad 1-p.

Variables aleatorias

Una variable aleatoria es una función medible

 

que da un valor numérico a cada suceso elemental  .

Probabilidad discreta

Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar solo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés. Más exactamente, un problema de probabilidad discreta es un problema definido por un conjunto de variables aleatorias que solo pueden tomar un conjunto finito o infinito numerable de valores diferentes:

 

donde:

  designa el cardinal o "número de elementos" de un conjunto.
 , es el conjunto de todos los posibles valores que toma la variable aleatoria.

Probabilidad continua

Un problema de probabilidad continua es uno en el que aparecen variables aleatorias capaces de tomar valores en algún intervalo de números reales (y por tanto asumir un conjunto no numerable de valores), por lo que continuando con la notación anterior:

 

Función de distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad se puede definir para cualquier variable aleatoria X, ya sea de tipo continuo o discreto, mediante la siguiente relación:

 

Para una variable aleatoria discreta esta función no es continua sino constante a tramos (siendo continua por la derecha pero no por la izquierda). Para una variable aleatoria general la función de distribución puede descomponerse en una parte continua y una parte discreta:

 

Donde   es una función absolutamente continua y   es una función constante a tramos.

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria absolutamente continua, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable definida como:

 

Es decir, su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad. La noción puede generalizarse a varias variables aleatorias.

Teoría de la probabilidad

La teoría de la probabilidad moderna incluye temas de las siguientes áreas:

Véase también

Bibliografía

  • P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada (1997): Teoría de la Probabilidad, Ed. Síntesis, ISBN 84-7738-516-5.
  • Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, México.
  • Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
  • Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2

Enlaces externos

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  •   Datos: Q5862903
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La teoria de la probabilidad es una rama de las matematicas que estudia los fenomenos aleatorios y estocasticos Los fenomenos aleatorios se contraponen a los fenomenos deterministas los cuales son resultados unicos y o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas por ejemplo si se calienta agua a 100 ºC a nivel del mar se obtendra vapor Los fenomenos aleatorios por el contrario son aquellos que se obtienen de experimentos realizados otra vez bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas por ejemplo el lanzamiento de un dado o de una moneda La teoria de probabilidades se ocupa de asignar un cierto numero a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es mas probable que otro Muchos fenomenos naturales son aleatorios pero existen algunos como el lanzamiento de un dado donde el fenomeno no se repite en las mismas condiciones debido a que las caracteristicas del material hace que no exista una simetria del mismo asi las repeticiones no garantizan una probabilidad definida En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parametros que intervienen esta es una de las razones por las cuales la estadistica que busca determinar estos parametros no se reduce inmediatamente a la teoria de la probabilidad en si En 1933 el matematico sovietico Andrei Kolmogorov propuso un sistema de axiomas para la teoria de la probabilidad basado en la teoria de conjuntos y en la teoria de la medida desarrollada pocos anos antes por Lebesgue Borel y Frechet entre otros Esta aproximacion axiomatica que generaliza el marco clasico de la probabilidad la cual obedece a la regla de calculo de casos favorables sobre casos posibles permitio la rigorizacion de muchos argumentos ya utilizados asi como el estudio de problemas fuera de los marcos clasicos Actualmente la teoria de la probabilidad encuentra aplicacion en las mas variadas ramas del conocimiento como puede ser la fisica donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano o la economia donde destaca el modelo de Black Scholes para la valoracion de activos financieros Indice 1 Definicion de probabilidad 1 1 Historia 1 2 Definicion clasica de probabilidad 1 3 Definicion axiomatica 2 Variables aleatorias 2 1 Probabilidad discreta 2 2 Probabilidad continua 2 3 Funcion de distribucion de probabilidad 2 4 Funcion de densidad de probabilidad 3 Teoria de la probabilidad 4 Vease tambien 5 Bibliografia 6 Enlaces externosDefinicion de probabilidad EditarHistoria Editar La teoria de la probabilidad se desarrollo originalmente a partir de ciertos problemas planteados en el contexto de juegos de azar Inicialmente no existia una teoria axiomatica bien definida y las definiciones iniciales de probabilidad se basaron en la idea intuitiva de un cociente de ocurrencias 1 P r o b A lim N n A N displaystyle mathrm Prob A lim N to infty frac n A N donde A es un suceso cualquiera y N displaystyle N es el numero de veces que se ha repetido una accion u observacion cuyo resultado puede dar el suceso A o no A n A displaystyle n A es el numero de veces que observa A en todas las observaciones Este tipo de definiciones si bien permitieron desarrollar un gran numero de propiedades no permitian deducir todos los teoremas y resultados importantes que hoy forman parte de la teoria de la probabilidad De hecho el resultado anterior se puede demostrar rigurosamente dentro del enfoque axiomatico de la teoria de la probabilidad bajo ciertas condiciones La primera axiomatizacion completa se debio a Andrei Kolmogorov quien uso dicho enfoque por ejemplo para deducir su ley 0 1 para sucesos cola y otros resultados relacionados con la convergencia de sucesiones aleatorias La definicion axiomatica de la probabilidad se basa en resultados de la teoria de la medida y en formalizaciones de la idea de independencia probabilistica En este enfoque se parte de un espacio de medida normalizada W M m P displaystyle Omega mathcal M mu P donde W displaystyle Omega es un conjunto llamado espacio de sucesos segun el tipo de problema puede ser un conjunto finito numerable o no numerable M P W displaystyle mathcal M subset mathcal P Omega es una s algebra de subconjuntos de W displaystyle Omega y m P M R displaystyle mu P mathcal M to mathbb R es una medida normalizada es decir m P W 1 displaystyle mu P Omega 1 Los sucesos posibles se consideran como subconjuntos S de eventos elementales posibles S M S W displaystyle S in mathcal M S subset Omega y la probabilidad de cada suceso viene dada por la medida de dicho conjunto P r o b S m P S 0 1 displaystyle mathrm Prob S mu P S in 0 1 La interpretacion de esta probabilidad es la frecuencia promedio con la que aparece dicho suceso si se considera una eleccion de muestras aleatorias sobre W displaystyle Omega La definicion anterior es complicada de representar matematicamente ya que W displaystyle Omega debiera ser infinito Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomatica esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen Definicion clasica de probabilidad Editar La probabilidad es la caracteristica de un evento que hace que existan razones para creer que este se realizara La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razon entre el numero de ocurrencias h de dicho evento casos favorables y el numero total de casos posibles n p P r o b S h n displaystyle p mathrm Prob S frac h n La probabilidad es un numero valor que varia entre 0 y 1 Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0 si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1 La probabilidad de no ocurrencia de un evento esta dada por q donde q P r o b n o S 1 h n displaystyle q mathrm Prob mathrm no S 1 frac h n Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra entonces p q 1Simbolicamente el espacio de resultados que normalmente se denota por W displaystyle Omega es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles Los resultados que se denota por w 1 w 2 displaystyle omega 1 omega 2 etcetera son elementos del espacio W displaystyle Omega Definicion axiomatica Editar Articulo principal Axiomas de probabilidad Como se ha adelantado anteriormente la definicion axiomatica de probabilidad es una extension de la teoria de la medida en la que se introducen la nocion de independencia relativa Este enfoque permite reproducir los resultados de la teoria clasica de la probabilidad ademas de resultados nuevos referidos a la convergencia de variables aleatorias Ademas de los procesos estocasticos el calculo de Ito y las ecuaciones diferenciales estocasticas Dentro del enfoque axiomatico es posible demostrar que la ley debil de los grandes numeros implica que se cumplira que P r o b S n E S n n ϵ V a r S n n 2 ϵ 2 0 displaystyle mathrm Prob left left frac S n mathbb E S n n right geq epsilon right leq frac mathrm Var S n n 2 epsilon 2 to 0 Esto permite justificar rigurosamente la ecuacion 1 suponiendo que S n X 1 X n E S n n p X i 0 1 displaystyle S n X 1 dots X n quad mathbb E S n np qquad X i in 0 1 Donde se interpreta X i 1 displaystyle X i 1 con probabilidad p y que X i 0 displaystyle X i 0 con proabilidad 1 p Variables aleatorias EditarUna variable aleatoria es una funcion medible X W R displaystyle X Omega to mathbb R que da un valor numerico a cada suceso elemental w W displaystyle omega in Omega Probabilidad discreta Editar Este tipo de probabilidad es aquel que puede tomar solo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna caracteristica de interes Mas exactamente un problema de probabilidad discreta es un problema definido por un conjunto de variables aleatorias que solo pueden tomar un conjunto finito o infinito numerable de valores diferentes c a r d X W ℵ 0 displaystyle mathrm card X Omega leq aleph 0 donde c a r d displaystyle mathrm card cdot designa el cardinal o numero de elementos de un conjunto X W x R w W x X w displaystyle X Omega x in mathbb R exists omega in Omega x X omega es el conjunto de todos los posibles valores que toma la variable aleatoria Probabilidad continua Editar Un problema de probabilidad continua es uno en el que aparecen variables aleatorias capaces de tomar valores en algun intervalo de numeros reales y por tanto asumir un conjunto no numerable de valores por lo que continuando con la notacion anterior c a r d X W ℵ 1 gt ℵ 0 displaystyle mathrm card X Omega aleph 1 gt aleph 0 Funcion de distribucion de probabilidad Editar Articulo principal Distribucion de probabilidad La distribucion de probabilidad se puede definir para cualquier variable aleatoria X ya sea de tipo continuo o discreto mediante la siguiente relacion F X x P r o b X x m P w W X w x displaystyle F X x mathrm Prob X leq x mu P omega in Omega X omega leq x Para una variable aleatoria discreta esta funcion no es continua sino constante a tramos siendo continua por la derecha pero no por la izquierda Para una variable aleatoria general la funcion de distribucion puede descomponerse en una parte continua y una parte discreta F X x F X c x F X d x displaystyle F X x F X c x F X d x Donde F X c x displaystyle F X c x es una funcion absolutamente continua y F X d x displaystyle F X d x es una funcion constante a tramos Funcion de densidad de probabilidad Editar Articulo principal Funcion de densidad La funcion de densidad o densidad de probabilidad de una variable aleatoria absolutamente continua es una funcion a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable definida como f X x d F x x d x displaystyle f X x frac dF x x dx Es decir su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribucion de probabilidad En el caso de variables aleatorias discretas la distribucion de probabilidad se obtiene a traves del sumatorio de la funcion de densidad La nocion puede generalizarse a varias variables aleatorias Teoria de la probabilidad EditarLa teoria de la probabilidad moderna incluye temas de las siguientes areas s algebras teoria de la medida medida producto y funciones medibles Variables aleatorias y funciones de distribucion Convergencia de funciones medibles y convergencia debil Independencia probabilistica Probabilidad condicionada Martingalas y tiempos de parada Leyes de los grandes numeros Funciones caracteristicas Teorema central del limite y teorema del valor extremo Procesos estocasticosVease tambien EditarDistribucion de probabilidad Estadistica Interpretaciones de las probabilidadesBibliografia EditarP Ibarrola L Pardo y V Quesada 1997 Teoria de la Probabilidad Ed Sintesis ISBN 84 7738 516 5 Spiegel Murray 1970 Estadistica McGraw Hill Mexico Olav Kallenberg Probabilistic Symmetries and Invariance Principles Springer Verlag New York 2005 510 pp ISBN 0 387 25115 4 Kallenberg O Foundations of Modern Probability 2nd ed Springer Series in Statistics 2002 650 pp ISBN 0 387 95313 2Enlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Teoria de la probabilidad Datos Q5862903 Multimedia Probability theoryObtenido de https es wikipedia org w index php title Teoria de la probabilidad amp oldid 134997487, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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