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Teoría de la relatividad

La teoría de la relatividad incluye tanto a la teoría de la relatividad especial como la de relatividad general, formuladas principalmente por Albert Einstein a principios del siglo XX, que pretendían resolver la incompatibilidad existente entre la mecánica newtoniana y el electromagnetismo. La teoría de la relatividad especial, publicada en 1905, trata de la física del movimiento de los cuerpos en ausencia de fuerzas gravitatorias, en el que se hacían compatibles las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo con una reformulación de las leyes del movimiento. En la teoría de la relatividad especial, Einstein, Lorentz y Minkowski, entre otros, unificaron los conceptos de espacio y tiempo, en un ramado tetradimensional al que se le denominó espacio-tiempo. La relatividad especial fue una teoría revolucionaria para su época, con la que el tiempo absoluto de Newton quedó relegado y conceptos como la invariabilidad en la velocidad de la luz, la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la equivalencia entre masa y energía fueron introducidos. Además, con las formulaciones de la relatividad especial, las leyes de la Física son invariantes en todos los sistemas de referencia inerciales; como consecuencia matemática, se encuentra como límite superior de velocidad a la de la luz y se elimina la causalidad determinista que tenía la física hasta entonces. Hay que indicar que las leyes del movimiento de Newton son un caso particular de esta teoría donde la masa, al viajar a velocidades muy pequeñas, no experimenta variación alguna en longitud ni se transforma en energía y al tiempo se le puede considerar absoluto.

Impresión de un artista sobre la teoría de la relatividad.

La teoría de la relatividad general, publicada en 1915, es una teoría de la gravedad que reemplaza a la gravedad newtoniana, aunque coincide numéricamente con ella para campos gravitatorios débiles y velocidades «pequeñas». La teoría general se reduce a la teoría especial en presencia de campos gravitatorios. La relatividad general estudia la interacción gravitatoria como una deformación en la geometría del espacio-tiempo. En esta teoría se introducen los conceptos de la curvatura del espacio-tiempo como la causa de la interacción gravitatoria, el principio de equivalencia que dice que para todos los observadores locales inerciales las leyes de la relatividad especial son invariantes y la introducción del movimiento de una partícula por líneas geodésicas. La relatividad general no es la única teoría que describe la atracción gravitatoria, pero es la que más datos relevantes comprobables ha encontrado. Anteriormente, a la interacción gravitatoria se la describía matemáticamente por medio de una distribución de masas, pero en esta teoría no solo la masa percibe esta interacción, sino también la energía, mediante la curvatura del espacio-tiempo y por eso se necesita otro lenguaje matemático para poder describirla, el cálculo tensorial. Muchos fenómenos, como la curvatura de la luz por acción de la gravedad y la desviación en la órbita de Mercurio, son perfectamente predichos por esta formulación. La relatividad general también abrió otro campo de investigación en la física, conocido como cosmología y es ampliamente utilizado en la astrofísica.[1]

El 7 de marzo de 2010, la Academia Israelí de Ciencias exhibió públicamente los manuscritos originales de Einstein (redactados en 1905). El documento, que contiene 46 páginas de textos y fórmulas matemáticas escritas a mano, fue donado por Einstein a la Universidad Hebrea de Jerusalén en 1925 con motivo de su inauguración.[2][3][4]

Conceptos principales

El supuesto básico de la teoría de la relatividad es que la localización de los sucesos físicos, tanto en el tiempo como en el espacio, son relativos al estado de movimiento del observador: así, la longitud de un objeto en movimiento o el instante en que algo sucede, a diferencia de lo que sucede en mecánica newtoniana, no son invariantes absolutos, y diferentes observadores en movimiento relativo entre sí diferirán respecto a ellos (las longitudes y los intervalos temporales, en relatividad son relativos y no absolutos).

Relatividad especial

La teoría de la relatividad especial, también llamada teoría de la relatividad restringida, fue publicada por Albert Einstein en 1905 y describe la física del movimiento en el marco de un espacio-tiempo plano. Esta teoría describe correctamente el movimiento de los cuerpos incluso a grandes velocidades y sus interacciones electromagnéticas, se usa básicamente para estudiar sistemas de referencia inerciales (no es aplicable para problemas astrofísicos donde el campo gravitatorio desempeña un papel importante).

Estos conceptos fueron presentados anteriormente por Poincaré y Lorentz, que son considerados como precursores de la teoría. Si bien la teoría resolvía un buen número de problemas del electromagnetismo y daba una explicación del experimento de Michelson-Morley, no proporciona una descripción relativista adecuada del campo gravitatorio.

Tras la publicación del artículo de Einstein, la nueva teoría de la relatividad especial fue aceptada en unos pocos años por prácticamente la totalidad de los físicos y los matemáticos. De hecho, Poincaré o Lorentz habían estado muy cerca de llegar al mismo resultado que Einstein. La forma geométrica definitiva de la teoría se debe a Hermann Minkowski, antiguo profesor de Einstein en la Politécnica de Zúrich; acuñó el término «espacio-tiempo» (Raumzeit) y le dio la forma matemática adecuada.[nota 1]​ El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad tetradimensional en la que se entrelazaban de una manera indisoluble las tres dimensiones espaciales y el tiempo. En este espacio-tiempo de Minkowski, el movimiento de una partícula se representa mediante su línea de universo (Weltlinie), una curva cuyos puntos vienen determinados por cuatro variables distintas: las tres dimensiones espaciales ( , , ) y el tiempo ( ). El nuevo esquema de Minkowski obligó a reinterpretar los conceptos de la métrica existentes hasta entonces. El concepto tridimensional de punto fue sustituido por el de suceso. La magnitud de distancia se reemplaza por la magnitud de intervalo.

Relatividad general

 
Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el principio de acción a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectarían inmediatamente, más tarde nos llegarían las de origen electromagnético, que se transmiten a la velocidad de la luz.
 
Esquema bidimensional de la curvatura del espacio-tiempo (cuatro dimensiones) generada por una masa esférica.

La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.

El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad y el principio de relatividad para un observador arbitrario. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado. La teoría de la relatividad general propone que la propia geometría del espacio-tiempo se ve afectada por la presencia de materia, de lo cual resulta una teoría relativista del campo gravitatorio. De hecho la teoría de la relatividad general predice que el espacio-tiempo no será plano en presencia de materia y que la curvatura del espacio-tiempo será percibida como un campo gravitatorio.

La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió también reformular el campo de la cosmología.

Einstein expresó el propósito de la teoría de la relatividad general para aplicar plenamente el programa de Ernst Mach de la relativización de todos los efectos de inercia, incluso añadiendo la llamada constante cosmológica a sus ecuaciones de campo[5]​ para este propósito. Este punto de contacto real de la influencia de Ernst Mach fue claramente identificado en 1918, cuando Einstein distingue lo que él bautizó como el principio de Mach (los efectos inerciales se derivan de la interacción de los cuerpos) del principio de la relatividad general, que se interpreta ahora como el principio de covariancia general.[6]

El matemático alemán David Hilbert escribió e hizo públicas las ecuaciones de la covariancia antes que Einstein. Ello resultó en no pocas acusaciones de plagio contra Einstein, pero probablemente sea más porque es una teoría (o perspectiva) geométrica. La misma postula que la presencia de masa o energía «curva» el espacio-tiempo, y esta curvatura afecta la trayectoria de los cuerpos móviles e incluso la trayectoria de la luz.

Formalismo de la teoría de la relatividad

 
Representación de la línea de universo de una partícula. Como no es posible reproducir un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, en la figura se representa solo la proyección sobre 2 dimensiones espaciales y una temporal.

Partículas

En la teoría de la relatividad una partícula puntual queda representada por un par  , donde   es una curva diferenciable, llamada línea de universo de la partícula, y m es un escalar que representa la masa en reposo. El vector tangente a esta curva es un vector temporal llamado cuadrivelocidad, el producto de este vector por la masa en reposo de la partícula es precisamente el cuadrimomento. Este cuadrimomento es un vector de cuatro componentes, tres de estas componentes se denominan espaciales y representan el análogo relativista del momento lineal de la mecánica clásica, la otra componente denominada componente temporal representa la generalización relativista de la energía cinética. Además, dada una curva arbitraria en el espacio-tiempo, puede definirse a lo largo de ella el llamado intervalo relativista, que se obtiene a partir del tensor métrico. El intervalo relativista medido a lo largo de la trayectoria de una partícula es proporcional al intervalo de tiempo propio o intervalo de tiempo percibido por dicha partícula.

Campos

Cuando se consideran campos o distribuciones continuas de masa, se necesita algún tipo de generalización para la noción de partícula. Un campo físico posee momentum y energía distribuidos en el espacio-tiempo, el concepto de cuadrimomento se generaliza mediante el llamado tensor de energía-impulso que representa la distribución en el espacio-tiempo tanto de energía como de momento lineal. A su vez un campo dependiendo de su naturaleza puede representarse por un escalar, un vector o un tensor. Por ejemplo el campo electromagnético se representa por un tensor de segundo orden totalmente antisimétrico o 2-forma. Si se conoce la variación de un campo o una distribución de materia, en el espacio y en el tiempo entonces existen procedimientos para construir su tensor de energía-impulso.

Magnitudes físicas

En relatividad, estas magnitudes físicas son representadas por vectores 4-dimensionales o bien por objetos matemáticos llamados tensores, que generalizan los vectores, definidos sobre un espacio de cuatro dimensiones. Matemáticamente estos 4-vectores y 4-tensores son elementos definidos del espacio vectorial tangente al espacio-tiempo (y los tensores se definen y se construyen a partir del fibrado tangente o cotangente de la variedad que representa el espacio-tiempo).


Igualmente además de cuadrivectores, se definen cuadritensores (tensores ordinarios definidos sobre el fibrado tangente del espacio-tiempo concebido como variedad lorentziana). La curvatura del espacio-tiempo se representa por un 4-tensor (tensor de cuarto orden), mientras que la energía y el momento de un medio continuo o el campo electromagnético se representan mediante 2-tensores (simétrico el tensor energía-impulso, antisimétrico el de campo electromagnético). Los cuadrivectores son de hecho 1-tensores, en esta terminología. En este contexto se dice que una magnitud es un invariante relativista si tiene el mismo valor para todos los observadores, obviamente todos los invariantes relativistas son escalares (0-tensores), frecuentemente formados por la contracción de magnitudes tensoriales.

El intervalo relativista

El intervalo relativista puede definirse en cualquier espacio-tiempo, sea este plano como en la relatividad especial, o curvo como en relatividad general. Sin embargo, por simplicidad, discutiremos inicialmente el concepto de intervalo para el caso de un espacio-tiempo plano. El tensor métrico del espacio-tiempo plano de Minkowski se designa con la letra  , y en coordenadas galileanas o inerciales toma la siguiente forma:[nota 4]

 

El intervalo, la distancia tetradimensional, se representa mediante la expresión  , que se calcula del siguiente modo:

 
 
 
 
 
Reproducción de un cono de luz, en el que se representan dos dimensiones espaciales y una temporal (eje de ordenadas). El observador se sitúa en el origen, mientras que el futuro y el pasado absolutos vienen representados por las partes inferior y superior del eje temporal. El plano correspondiente a t = 0 se denomina plano de simultaneidad o hipersuperficie de presente (también llamado "diagrama de Minkowski"). Los sucesos situados dentro de los conos están vinculados al observador por intervalos temporales. Los que se sitúan fuera, por intervalos espaciales.

Los intervalos pueden ser clasificados en tres categorías: Intervalos espaciales (cuando   es negativo), temporales (si   es positivo) y nulos (cuando  ). Como el lector habrá podido comprobar, los intervalos nulos son aquellos que corresponden a partículas que se mueven a la velocidad de la luz, como los fotones: La distancia   recorrida por el fotón es igual a su velocidad (c) multiplicada por el tiempo   y por lo tanto el intervalo   se hace nulo.

Los intervalos nulos pueden ser representados en forma de cono de luz, popularizados por el celebérrimo libro de Stephen Hawking, Historia del Tiempo. Sea un observador situado en el origen, el futuro absoluto (los sucesos que serán percibidos por el individuo) se despliega en la parte superior del eje de ordenadas, el pasado absoluto (los sucesos que ya han sido percibidos por el individuo) en la parte inferior, y el presente percibido por el observador en el punto 0. Los sucesos que están fuera del cono de luz no nos afectan, y por lo tanto se dice de ellos que están situados en zonas del espacio-tiempo que no tienen relación de causalidad con la nuestra.

Imaginemos, por un momento, que en la galaxia Andrómeda, situada a 2,5 millones de años luz de nosotros, sucedió un cataclismo cósmico hace 100 000 años. Dado que, primero: la luz de Andrómeda tarda dos millones de años en llegar hasta nosotros y segundo: nada puede viajar a una velocidad superior a la de los fotones, es evidente, que no tenemos manera de enterarnos de lo que sucedió en dicha Galaxia hace tan solo 100 000 años. Se dice por lo tanto que el intervalo existente entre dicha hipotética catástrofe cósmica y nosotros, observadores del presente, es un intervalo espacial ( ), y por lo tanto, no puede afectar a los individuos que en el presente viven en la Tierra: Es decir, no existe relación de causalidad entre ese evento y nosotros.

 
Imagen de la galaxia Andrómeda, tomada por el telescopio Spitzer, tal como era hace 2,5 millones de años (por estar situada a 2,5 millones de años luz). Los sucesos acaecidos 1 000 000 años atrás se observarán desde la Tierra dentro de un millón y medio de años. Se dice por tanto que entre tales eventos y nosotros existe un intervalo espacial.
Análisis

El único problema con esta hipótesis, es que al entrar en un agujero negro, se anula el espacio tiempo, y como ya sabemos, algo que contenga algún volumen o masa, debe tener como mínimo un espacio donde ubicarse, el tiempo en ese caso, no tiene mayor importancia, pero el espacio juega un rol muy importante en la ubicación de volúmenes, por lo que esto resulta muy improbable, pero no imposible para la tecnología.

Podemos escoger otro episodio histórico todavía más ilustrativo: El de la estrella de Belén, tal y como fue interpretada por Johannes Kepler. Este astrónomo alemán consideraba que dicha estrella se identificaba con una supernova que tuvo lugar el año 5 a. C., cuya luz fue observada por los astrónomos chinos contemporáneos, y que vino precedida en los años anteriores por varias conjunciones planetarias en la constelación de Piscis. Esa supernova probablemente estalló hace miles de años atrás, pero su luz no llegó a la tierra hasta el año 5 a. C. De ahí que el intervalo existente entre dicho evento y las observaciones de los astrónomos egipcios y megalíticos (que tuvieron lugar varios siglos antes de Cristo) sea un intervalo espacial, pues la radiación de la supernova nunca pudo llegarles. Por el contrario, la explosión de la supernova por un lado, y las observaciones realizadas por los tres magos en Babilonia y por los astrónomos chinos en el año 5 a. C. por el otro, están unidas entre sí por un intervalo temporal, ya que la luz sí pudo alcanzar a dichos observadores.

El tiempo propio y el intervalo se relacionan mediante la siguiente equivalencia:  , es decir, el intervalo es igual al tiempo local multiplicado por la velocidad de la luz. Una de las características tanto del tiempo local como del intervalo es su invarianza ante las transformaciones de coordenadas. Sea cual sea nuestro punto de referencia, sea cual sea nuestra velocidad, el intervalo entre un determinado evento y nosotros permanece invariante.

Esta invarianza se expresa a través de la llamada geometría hiperbólica: La ecuación del intervalo   tiene la estructura de una hipérbola sobre cuatro dimensiones, cuyo término independiente coincide con el valor del cuadrado del intervalo ( ), que como se acaba de decir en el párrafo anterior, es constante. Las asíntotas de la hipérbola vendrían a coincidir con el cono de luz.

Cuadrivelocidad, aceleración y cuadrimomentum

En el espacio-tiempo de Minkowski, las propiedades cinemáticas de las partículas se representan fundamentalmente por tres magnitudes: La cuadrivelocidad (o tetravelocidad) , la cuadriaceleración y el cuadrimomentum (o tetramomentum).

La cuadrivelocidad es un cuadrivector tangente a la línea de universo de la partícula, relacionada con la velocidad coordenada de un cuerpo medida por un observador en reposo cualquiera, esta velocidad coordenada se define con la expresión newtoniana  , donde   son el tiempo coordenado y las coordenadas espaciales medidas por el observador, para el cual la velocidad newtoniana ampliada vendría dada por  . Sin embargo, esta medida newtoniana de la velocidad no resulta útil en teoría de la relatividad, porque las velocidades newtonianas medidas por diferentes observadores no son fácilmente relacionables por no ser magnitudes covariantes. Así en relatividad se introduce una modificación en las expresiones que dan cuenta de la velocidad, introduciendo un invariante relativista. Este invariante es precisamente el tiempo propio de la partícula que es fácilmente relacionable con el tiempo coordenado de diferentes observadores. Usando la relación entre tiempo propio y tiempo coordenado:   se define la cuadrivelocidad [propia] multiplicando por   las de la velocidad coordenada:  .

La velocidad coordenada de un cuerpo con masa depende caprichosamente del sistema de referencia que escojamos, mientras que la cuadrivelocidad propia es una magnitud que se transforma de acuerdo con el principio de covariancia y tiene un valor siempre constante equivalente al intervalo dividido entre el tiempo propio ( ), o lo que es lo mismo, a la velocidad de la luz c. Para partículas sin masa, como los fotones, el procedimiento anterior no se puede aplicar, y la cuadrivelocidad puede definirse simplemente como vector tangente a la trayectoria seguida por los mismos.

La cuadriaceleración puede ser definida como la derivada temporal de la cuadrivelocidad ( ). Su magnitud es igual a cero en los sistemas inerciales, cuyas líneas del mundo son geodésicas, rectas en el espacio-tiempo llano de Minkowski. Por el contrario, las líneas del mundo curvadas corresponden a partículas con aceleración diferente de cero, a sistemas no inerciales.

Junto con los principios de invarianza del intervalo y la cuadrivelocidad, juega un papel fundamental la ley de conservación del cuadrimomentum. Es aplicable aquí la definición newtoniana del momentum ( ) como la masa (en este caso conservada,  ) multiplicada por la velocidad (en este caso, la cuadrivelocidad), y por lo tanto sus componentes son los siguientes:  , teniendo en cuenta que  . La cantidad de momentum conservado es definida como la raíz cuadrada de la norma del vector de cuadrimomentum. El momentum conservado, al igual que el intervalo y la cuadrivelocidad propia, permanece invariante ante las transformaciones de coordenadas, aunque también aquí hay que distinguir entre los cuerpos con masa y los fotones. En los primeros, la magnitud del cuadriomentum es igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz ( ). Por el contrario, el cuadrimomentum conservado de los fotones es igual a la magnitud de su momentum tridimensional ( ).

Como tanto la velocidad de la luz como el cuadrimomentum son magnitudes conservadas, también lo es su producto, al que se le da el nombre de energía conservada ( ), que en los cuerpos con masa equivale a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado ( , la famosa fórmula de Einstein) y en los fotones al momentum multiplicado por la velocidad de la luz ( )


Componentes  


Magnitud del cuadrimomentum  

Magnitud en cuerpos con masa  
Magnitud en fotones (masa = 0)  


Energía  

Energía en cuerpos con masa (cuerpos en reposo, p=0)  
Energía en fotones (masa en reposo = 0)  

La aparición de la Relatividad Especial puso fin a la secular disputa que mantenían en el seno de la mecánica clásica las escuelas de los mecanicistas y los energetistas. Los primeros sostenían, siguiendo a Descartes y Huygens, que la magnitud conservada en todo movimiento venía constituida por el momentum total del sistema, mientras que los energetistas -que tomaban por base los estudios de Leibniz- consideraban que la magnitud conservada venía conformada por la suma de dos cantidades: La fuerza viva, equivalente a la mitad de la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado ( ) a la que hoy denominaríamos «energía cinética», y la fuerza muerta, equivalente a la altura por la constante g ( ), que correspondería a la «energía potencial». Fue el físico alemán Hermann von Helmholtz el que primero dio a la fuerzas leibnizianas la denominación genérica de energía y el que formuló la Ley de conservación de la energía, que no se restringe a la mecánica, que se extiende también a otras disciplinas físicas como la termodinámica.

La mecánica newtoniana dio la razón a ambos postulados, afirmando que tanto el momentum como la energía son magnitudes conservadas en todo movimiento sometido a fuerzas conservativas. Sin embargo, la Relatividad Especial dio un paso más allá, por cuanto a partir de los trabajos de Einstein y Minkowski el momentum y la energía dejaron de ser considerados como entidades independientes y se les pasó a considerar como dos aspectos, dos facetas de una única magnitud conservada: el cuadrimomentum.

Componentes y magnitud de los diferentes conceptos cinemáticos
Concepto Componentes Expresión algebraica Partículas con masa Fotones
Intervalo        
Cuadrivelocidad       Cuadrivelocidad
no definida
Aceleración    
(sistemas inerciales)
 
(sistemas no inerciales)
Aceleración
no definida
Cuadrimomentum        

El tensor de energía-impulso (Tab)

 
Tensor de tensión-energía

Tres son las ecuaciones fundamentales que en física newtoniana describen el fenómeno de la gravitación universal: la primera, afirma que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia (1); la segunda, que el potencial gravitatorio ( ) en un determinado punto es igual a la masa multiplicada por la constante G y dividida por la distancia r (2); y la tercera, finalmente, es la llamada ecuación de Poisson (3), que indica que el laplaciano[nota 5]​ del potencial gravitatorio es igual a  , donde   es la densidad de masa en una determinada región esférica.

   

Sin embargo, estas ecuaciones no son compatibles con la Relatividad Especial por dos razones:

  • En primer lugar la masa no es una magnitud absoluta, sino que su medición deriva en resultados diferentes dependiendo de la velocidad relativa del observador. De ahí que la densidad de masa   no puede servir de parámetro de interacción gravitatoria entre dos cuerpos.
  • En segundo lugar, si el concepto de espacio es relativo, también lo es la noción de densidad. Es evidente que la contracción del espacio producida por el incremento de la velocidad de un observador, impide la existencia de densidades que permanezcan invariables ante las transformaciones de Lorentz.

Por todo ello, resulta necesario prescindir del término  , situado en el lado derecho de la fórmula de Poisson y sustituirlo por un objeto geométrico-matemático que permanezca invariante ante las transformaciones de Lorentz: Dicho objeto fue definido por Einstein en sus ecuaciones de universo y recibe el nombre de tensor de energía-momentum ( ). Sus coeficientes describen la cantidad de tetramomentum   que atraviesa una hipersuperficie  , normal al vector unitario  . De este modo, el tensor de energía momentum puede expresarse mediante la siguiente ecuación:

 

O lo que es lo mismo: El componente   del tetramomentum es igual a la integral de hipersuperficie   del tensor de tensión-energía. En un fluido ideal, del que están ausentes tanto la viscosidad como la conducción de calor, los componentes del tetramomentum se calculan de la siguiente forma:

 

donde   es la densidad de masa-energía (masa por unidad de volumen tridimensional),   es la presión hidrostática,   es la cuadrivelocidad del fluido, y   es la matriz inversa del tensor métrico de la variedad.

Además, si los componentes del tensor se miden por un observador en reposo relativo respecto al fluido, entonces, el tensor métrico viene constituido simplemente por la métrica de Minkowski:

 
 

Puesto que además la tetravelocidad del fluido respecto al observador en reposo es:

 

como consecuencia de ello, los coeficientes del tensor de tensión-energía son los siguientes:

 

 
Parte de la materia que cae en el disco de acreción de un agujero negro es expulsada a gran velocidad en forma de chorros. En supuestos como este, los efectos gravitomagnéticos pueden llegar a alcanzar cierta importancia.

Donde   es la densidad de masa, y   son los componentes tridimensionales de la presión hidrostática. Como vemos, el campo gravitatorio tiene dos fuentes diferentes: La masa y el momentum del fluido en cuestión. Los efectos gravitatorios originados por la masa se denominan efectos gravitoeléctricos, mientras que aquellos que se deben al momentum reciben el nombre de efectos gravitomagnéticos. Los primeros tienen una intensidad   superior a los segundos, que solo se manifiestan en aquellos casos en los que las partículas del fluido se mueven con una velocidad cercana a la de la luz (se habla entonces de fluidos relativistas): Es el caso de los chorros (jets) que emanan del centro de la galaxia y que se propulsan en las dos direcciones marcadas por el eje de rotación de este cuerpo cósmico; de la materia que se precipita hacia un agujero negro; y del fluido estelar que se dirige hacia el centro de la estrella cuando esta entra en colapso. En este último caso, durante las fases finales del proceso de contracción de la estrella, la presión hidrostática puede llegar a ser tan fuerte como para llegar a acelerar el colapso, en lugar de ralentizarlo.

Podemos, a partir del tensor de tensión-energía, calcular cuánta masa contiene un determinado volumen del fluido: Retomando la definición de este tensor expuesta unas líneas más arriba, se puede definir al coeficiente   como la cantidad de momentum   (esto es, la masa) que atraviesa la hipersuperficie  . En el espacio-tiempo de Minkowski, la hipersuperficie   es aquella región que se define por las tres bases vectoriales normales al vector  :   es, por tanto, un volumen tridimensional, definido por los vectores base   (eje x),   (eje y), y   (eje z). Podemos por tanto escribir:

 
 


Del mismo modo, es posible deducir matemáticamente a partir del tensor de tensión-energía la definición newtoniana de presión, introduciendo en la mentada ecuación cualquier par de índices que sean diferentes de cero:

 

La hipersuperficie   es aquella región del espacio-tiempo definida por los tres vectores unitarios normales a   (se trata de los dos vectores espaciales,   y  , correspondientes a los ejes y y z; y del vector temporal   —o  , como se prefiera—). Esta definición nos permite descomponer la integral de hipersuperficie en una integral temporal (cuyo integrando viene definido por  ) y otra de superficie (esta vez bidimensional,  ):

 

Finalmente, derivamos parcialmente ambos miembros de la ecuación respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que la fuerza no es más que la tasa de incremento temporal del momentum obtenemos el resultado siguiente:

 


Que contiene la definición newtoniana de la presión como fuerza ejercida por unidad de superficie.

El tensor electromagnético (Fab)

Las ecuaciones deducidas por el físico escocés James Clerk Maxwell demostraron que electricidad y magnetismo no son más que dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico: el campo electromagnético. Ahora bien, para describir las propiedades de este campo los físicos de finales del siglo XIX debían utilizar dos vectores diferentes, los correspondientes los campos eléctrico y magnético.

Fue la llegada de la Relatividad Especial la que permitió describir las propiedades del electromagnetismo con un solo objeto geométrico, el vector cuadripotencial, cuyo componente temporal se correspondía con el potencial eléctrico, mientras que sus componentes espaciales eran los mismos que los del potencial magnético.

 

De este modo, el campo eléctrico puede ser entendido como la suma del gradiente del potencial eléctrico más la derivada temporal del potencial magnético:

 

y el campo magnético, como el rotacional del potencial magnético:

 

Las propiedades del campo electromagnético pueden también expresarse utilizando un tensor de segundo orden denominado tensor de Faraday y que se obtiene diferenciando exteriormente al vector cuadripotencial  

 

 

La fuerza de Lorentz puede deducirse a partir de la siguiente expresión:

 
 

Donde q es la carga y   la cuadrivelocidad de la partícula.

Véase también

Notas

  1. El espacio euclídeo es una variedad tridimensional. El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad de cuatro dimensiones, de las cuales tres son espaciales y una temporal.
  2. Es decir, el espacio euclídeo. La letra E corresponde a la inicial del matemático Euclides, y el número 3 al número de dimensiones espaciales.
  3. M4 es el espacio-tiempo de Minkowski. M es la inicial de Minokwski y 4 es el número de dimensiones de las que se compone la variedad.
  4. Conviene señalar que existen dos convenciones, la más usada en teoría cuántica relativista usa   y el resto de componentes negativas, mientras que en cosmología y relatividad se usa más comúnmente   y el resto de componentes positivas. Ambas convenciones son básicamente equivalentes.
  5. laplaciano: Divergencia de un gradiente.

Referencias

  1. Shahen Hacyan (1995). Relatividad para principiantes. Fondo de Cultura Económica. ISBN 968-16-3152-8. 
  2. El Universal (Venezuela). «Exponen en Israel manuscrito de la teoría de la relatividad de Einstein». El Universal. Consultado el 7 de marzo de 2010. 
  3. Agencia EFE. . Agencia EFE, alojado por Google. Archivado desde el original el 10 de marzo de 2010. Consultado el 7 de marzo de 2010. 
  4. Gavin Rabinowitz. (en inglés). Agencia AFP, alojado por Google. Archivado desde el original el 9 de marzo de 2010. Consultado el 7 de marzo de 2010. 
  5. # Einstein, Albert (1917). Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie. Sitzungsberichte der Preuss. Akad. Berlin. pp. 142-157. 
  6. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Early Philosophical Interpretations of General Relativity. 2.Machian Positivism. 2.2. A “Relativization of Inertia”? Consultado de 4 de junio de 2012

Bibliografía

Enlaces externos

  •   Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Teoría de la relatividad.
  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teoría de la relatividad.
  • La Relatividad sin fórmulas, en eltamiz.com (13-05-09)
  • trd. (en portugués)
  •   Datos: Q43514
  •   Multimedia: Theory of relativity
  •   Citas célebres: Teoría de la relatividad

teoría, relatividad, relatividad, redirige, aquí, para, otras, acepciones, véase, relatividad, desambiguación, teoría, relatividad, incluye, tanto, teoría, relatividad, especial, como, relatividad, general, formuladas, principalmente, albert, einstein, princip. Relatividad redirige aqui Para otras acepciones vease Relatividad desambiguacion La teoria de la relatividad incluye tanto a la teoria de la relatividad especial como la de relatividad general formuladas principalmente por Albert Einstein a principios del siglo XX que pretendian resolver la incompatibilidad existente entre la mecanica newtoniana y el electromagnetismo La teoria de la relatividad especial publicada en 1905 trata de la fisica del movimiento de los cuerpos en ausencia de fuerzas gravitatorias en el que se hacian compatibles las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo con una reformulacion de las leyes del movimiento En la teoria de la relatividad especial Einstein Lorentz y Minkowski entre otros unificaron los conceptos de espacio y tiempo en un ramado tetradimensional al que se le denomino espacio tiempo La relatividad especial fue una teoria revolucionaria para su epoca con la que el tiempo absoluto de Newton quedo relegado y conceptos como la invariabilidad en la velocidad de la luz la dilatacion del tiempo la contraccion de la longitud y la equivalencia entre masa y energia fueron introducidos Ademas con las formulaciones de la relatividad especial las leyes de la Fisica son invariantes en todos los sistemas de referencia inerciales como consecuencia matematica se encuentra como limite superior de velocidad a la de la luz y se elimina la causalidad determinista que tenia la fisica hasta entonces Hay que indicar que las leyes del movimiento de Newton son un caso particular de esta teoria donde la masa al viajar a velocidades muy pequenas no experimenta variacion alguna en longitud ni se transforma en energia y al tiempo se le puede considerar absoluto Impresion de un artista sobre la teoria de la relatividad La teoria de la relatividad general publicada en 1915 es una teoria de la gravedad que reemplaza a la gravedad newtoniana aunque coincide numericamente con ella para campos gravitatorios debiles y velocidades pequenas La teoria general se reduce a la teoria especial en presencia de campos gravitatorios La relatividad general estudia la interaccion gravitatoria como una deformacion en la geometria del espacio tiempo En esta teoria se introducen los conceptos de la curvatura del espacio tiempo como la causa de la interaccion gravitatoria el principio de equivalencia que dice que para todos los observadores locales inerciales las leyes de la relatividad especial son invariantes y la introduccion del movimiento de una particula por lineas geodesicas La relatividad general no es la unica teoria que describe la atraccion gravitatoria pero es la que mas datos relevantes comprobables ha encontrado Anteriormente a la interaccion gravitatoria se la describia matematicamente por medio de una distribucion de masas pero en esta teoria no solo la masa percibe esta interaccion sino tambien la energia mediante la curvatura del espacio tiempo y por eso se necesita otro lenguaje matematico para poder describirla el calculo tensorial Muchos fenomenos como la curvatura de la luz por accion de la gravedad y la desviacion en la orbita de Mercurio son perfectamente predichos por esta formulacion La relatividad general tambien abrio otro campo de investigacion en la fisica conocido como cosmologia y es ampliamente utilizado en la astrofisica 1 El 7 de marzo de 2010 la Academia Israeli de Ciencias exhibio publicamente los manuscritos originales de Einstein redactados en 1905 El documento que contiene 46 paginas de textos y formulas matematicas escritas a mano fue donado por Einstein a la Universidad Hebrea de Jerusalen en 1925 con motivo de su inauguracion 2 3 4 Indice 1 Conceptos principales 1 1 Relatividad especial 1 2 Relatividad general 2 Formalismo de la teoria de la relatividad 2 1 Particulas 2 2 Campos 2 3 Magnitudes fisicas 2 4 El intervalo relativista 2 5 Cuadrivelocidad aceleracion y cuadrimomentum 2 6 El tensor de energia impulso Tab 2 7 El tensor electromagnetico Fab 3 Vease tambien 4 Notas 5 Referencias 6 Bibliografia 7 Enlaces externosConceptos principales EditarArticulo principal Glosario de relatividad El supuesto basico de la teoria de la relatividad es que la localizacion de los sucesos fisicos tanto en el tiempo como en el espacio son relativos al estado de movimiento del observador asi la longitud de un objeto en movimiento o el instante en que algo sucede a diferencia de lo que sucede en mecanica newtoniana no son invariantes absolutos y diferentes observadores en movimiento relativo entre si diferiran respecto a ellos las longitudes y los intervalos temporales en relatividad son relativos y no absolutos Relatividad especial Editar Articulo principal Teoria de la relatividad especial La teoria de la relatividad especial tambien llamada teoria de la relatividad restringida fue publicada por Albert Einstein en 1905 y describe la fisica del movimiento en el marco de un espacio tiempo plano Esta teoria describe correctamente el movimiento de los cuerpos incluso a grandes velocidades y sus interacciones electromagneticas se usa basicamente para estudiar sistemas de referencia inerciales no es aplicable para problemas astrofisicos donde el campo gravitatorio desempena un papel importante Estos conceptos fueron presentados anteriormente por Poincare y Lorentz que son considerados como precursores de la teoria Si bien la teoria resolvia un buen numero de problemas del electromagnetismo y daba una explicacion del experimento de Michelson Morley no proporciona una descripcion relativista adecuada del campo gravitatorio Tras la publicacion del articulo de Einstein la nueva teoria de la relatividad especial fue aceptada en unos pocos anos por practicamente la totalidad de los fisicos y los matematicos De hecho Poincare o Lorentz habian estado muy cerca de llegar al mismo resultado que Einstein La forma geometrica definitiva de la teoria se debe a Hermann Minkowski antiguo profesor de Einstein en la Politecnica de Zurich acuno el termino espacio tiempo Raumzeit y le dio la forma matematica adecuada nota 1 El espacio tiempo de Minkowski es una variedad tetradimensional en la que se entrelazaban de una manera indisoluble las tres dimensiones espaciales y el tiempo En este espacio tiempo de Minkowski el movimiento de una particula se representa mediante su linea de universo Weltlinie una curva cuyos puntos vienen determinados por cuatro variables distintas las tres dimensiones espaciales x displaystyle x y displaystyle y z displaystyle z y el tiempo t displaystyle t El nuevo esquema de Minkowski obligo a reinterpretar los conceptos de la metrica existentes hasta entonces El concepto tridimensional de punto fue sustituido por el de suceso La magnitud de distancia se reemplaza por la magnitud de intervalo Relatividad general Editar Esta seccion es un extracto de Relatividad general editar Representacion artistica de la explosion de la supernova SN 2006gy situada a 238 millones de anos luz De ser valido el principio de accion a distancia las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectarian inmediatamente mas tarde nos llegarian las de origen electromagnetico que se transmiten a la velocidad de la luz Esquema bidimensional de la curvatura del espacio tiempo cuatro dimensiones generada por una masa esferica La teoria general de la relatividad o relatividad general es una teoria del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916 El nombre de la teoria se debe a que generaliza la llamada teoria especial de la relatividad y el principio de relatividad para un observador arbitrario Los principios fundamentales introducidos en esta generalizacion son el principio de equivalencia que describe la aceleracion y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad la nocion de la curvatura del espacio tiempo y el principio de covariancia generalizado La teoria de la relatividad general propone que la propia geometria del espacio tiempo se ve afectada por la presencia de materia de lo cual resulta una teoria relativista del campo gravitatorio De hecho la teoria de la relatividad general predice que el espacio tiempo no sera plano en presencia de materia y que la curvatura del espacio tiempo sera percibida como un campo gravitatorio La intuicion basica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme La teoria general de la relatividad permitio tambien reformular el campo de la cosmologia Einstein expreso el proposito de la teoria de la relatividad general para aplicar plenamente el programa de Ernst Mach de la relativizacion de todos los efectos de inercia incluso anadiendo la llamada constante cosmologica a sus ecuaciones de campo 5 para este proposito Este punto de contacto real de la influencia de Ernst Mach fue claramente identificado en 1918 cuando Einstein distingue lo que el bautizo como el principio de Mach los efectos inerciales se derivan de la interaccion de los cuerpos del principio de la relatividad general que se interpreta ahora como el principio de covariancia general 6 El matematico aleman David Hilbert escribio e hizo publicas las ecuaciones de la covariancia antes que Einstein Ello resulto en no pocas acusaciones de plagio contra Einstein pero probablemente sea mas porque es una teoria o perspectiva geometrica La misma postula que la presencia de masa o energia curva el espacio tiempo y esta curvatura afecta la trayectoria de los cuerpos moviles e incluso la trayectoria de la luz Formalismo de la teoria de la relatividad EditarVeanse tambien Espacio tiempo Cuadrivectory Tensor Representacion de la linea de universo de una particula Como no es posible reproducir un espacio tiempo de cuatro dimensiones en la figura se representa solo la proyeccion sobre 2 dimensiones espaciales y una temporal Particulas Editar En la teoria de la relatividad una particula puntual queda representada por un par g t m displaystyle gamma tau m donde g t displaystyle gamma tau es una curva diferenciable llamada linea de universo de la particula y m es un escalar que representa la masa en reposo El vector tangente a esta curva es un vector temporal llamado cuadrivelocidad el producto de este vector por la masa en reposo de la particula es precisamente el cuadrimomento Este cuadrimomento es un vector de cuatro componentes tres de estas componentes se denominan espaciales y representan el analogo relativista del momento lineal de la mecanica clasica la otra componente denominada componente temporal representa la generalizacion relativista de la energia cinetica Ademas dada una curva arbitraria en el espacio tiempo puede definirse a lo largo de ella el llamado intervalo relativista que se obtiene a partir del tensor metrico El intervalo relativista medido a lo largo de la trayectoria de una particula es proporcional al intervalo de tiempo propio o intervalo de tiempo percibido por dicha particula Campos Editar Cuando se consideran campos o distribuciones continuas de masa se necesita algun tipo de generalizacion para la nocion de particula Un campo fisico posee momentum y energia distribuidos en el espacio tiempo el concepto de cuadrimomento se generaliza mediante el llamado tensor de energia impulso que representa la distribucion en el espacio tiempo tanto de energia como de momento lineal A su vez un campo dependiendo de su naturaleza puede representarse por un escalar un vector o un tensor Por ejemplo el campo electromagnetico se representa por un tensor de segundo orden totalmente antisimetrico o 2 forma Si se conoce la variacion de un campo o una distribucion de materia en el espacio y en el tiempo entonces existen procedimientos para construir su tensor de energia impulso Magnitudes fisicas Editar En relatividad estas magnitudes fisicas son representadas por vectores 4 dimensionales o bien por objetos matematicos llamados tensores que generalizan los vectores definidos sobre un espacio de cuatro dimensiones Matematicamente estos 4 vectores y 4 tensores son elementos definidos del espacio vectorial tangente al espacio tiempo y los tensores se definen y se construyen a partir del fibrado tangente o cotangente de la variedad que representa el espacio tiempo Correspondencia entre E3 nota 2 y M4 nota 3 Espacio tridimensional euclideo Espacio tiempo de MinkowskiPunto SucesoLongitud IntervaloVelocidad CuadrivelocidadMomentum CuadrimomentumIgualmente ademas de cuadrivectores se definen cuadritensores tensores ordinarios definidos sobre el fibrado tangente del espacio tiempo concebido como variedad lorentziana La curvatura del espacio tiempo se representa por un 4 tensor tensor de cuarto orden mientras que la energia y el momento de un medio continuo o el campo electromagnetico se representan mediante 2 tensores simetrico el tensor energia impulso antisimetrico el de campo electromagnetico Los cuadrivectores son de hecho 1 tensores en esta terminologia En este contexto se dice que una magnitud es un invariante relativista si tiene el mismo valor para todos los observadores obviamente todos los invariantes relativistas son escalares 0 tensores frecuentemente formados por la contraccion de magnitudes tensoriales El intervalo relativista Editar El intervalo relativista puede definirse en cualquier espacio tiempo sea este plano como en la relatividad especial o curvo como en relatividad general Sin embargo por simplicidad discutiremos inicialmente el concepto de intervalo para el caso de un espacio tiempo plano El tensor metrico del espacio tiempo plano de Minkowski se designa con la letra h i j displaystyle scriptstyle eta ij y en coordenadas galileanas o inerciales toma la siguiente forma nota 4 g i j h i j c 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle g ij eta ij begin pmatrix c 2 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix El intervalo la distancia tetradimensional se representa mediante la expresion d s 2 displaystyle ds 2 que se calcula del siguiente modo d s 2 g i j d x i d x j displaystyle ds 2 g ij dx i dx j d s 2 c 2 d x 0 2 d x 1 2 d x 2 2 d x 3 2 displaystyle ds 2 c 2 dx 0 2 dx 1 2 dx 2 2 dx 3 2 d s 2 c 2 d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 c 2 d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 displaystyle ds 2 c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 d s 2 c 2 d t 2 d l 2 displaystyle ds 2 c 2 dt 2 dl 2 Reproduccion de un cono de luz en el que se representan dos dimensiones espaciales y una temporal eje de ordenadas El observador se situa en el origen mientras que el futuro y el pasado absolutos vienen representados por las partes inferior y superior del eje temporal El plano correspondiente a t 0 se denomina plano de simultaneidad o hipersuperficie de presente tambien llamado diagrama de Minkowski Los sucesos situados dentro de los conos estan vinculados al observador por intervalos temporales Los que se situan fuera por intervalos espaciales Los intervalos pueden ser clasificados en tres categorias Intervalos espaciales cuando d s 2 displaystyle ds 2 es negativo temporales si d s 2 displaystyle ds 2 es positivo y nulos cuando d s 2 0 displaystyle scriptstyle ds 2 0 Como el lector habra podido comprobar los intervalos nulos son aquellos que corresponden a particulas que se mueven a la velocidad de la luz como los fotones La distancia d l 2 displaystyle dl 2 recorrida por el foton es igual a su velocidad c multiplicada por el tiempo d t displaystyle scriptstyle dt y por lo tanto el intervalo d s 2 c 2 d t 2 d l 2 displaystyle scriptstyle ds 2 c 2 dt 2 dl 2 se hace nulo Los intervalos nulos pueden ser representados en forma de cono de luz popularizados por el celeberrimo libro de Stephen Hawking Historia del Tiempo Sea un observador situado en el origen el futuro absoluto los sucesos que seran percibidos por el individuo se despliega en la parte superior del eje de ordenadas el pasado absoluto los sucesos que ya han sido percibidos por el individuo en la parte inferior y el presente percibido por el observador en el punto 0 Los sucesos que estan fuera del cono de luz no nos afectan y por lo tanto se dice de ellos que estan situados en zonas del espacio tiempo que no tienen relacion de causalidad con la nuestra Imaginemos por un momento que en la galaxia Andromeda situada a 2 5 millones de anos luz de nosotros sucedio un cataclismo cosmico hace 100 000 anos Dado que primero la luz de Andromeda tarda dos millones de anos en llegar hasta nosotros y segundo nada puede viajar a una velocidad superior a la de los fotones es evidente que no tenemos manera de enterarnos de lo que sucedio en dicha Galaxia hace tan solo 100 000 anos Se dice por lo tanto que el intervalo existente entre dicha hipotetica catastrofe cosmica y nosotros observadores del presente es un intervalo espacial d s 2 lt 0 displaystyle ds 2 lt 0 y por lo tanto no puede afectar a los individuos que en el presente viven en la Tierra Es decir no existe relacion de causalidad entre ese evento y nosotros Imagen de la galaxia Andromeda tomada por el telescopio Spitzer tal como era hace 2 5 millones de anos por estar situada a 2 5 millones de anos luz Los sucesos acaecidos 1 000 000 anos atras se observaran desde la Tierra dentro de un millon y medio de anos Se dice por tanto que entre tales eventos y nosotros existe un intervalo espacial AnalisisEl unico problema con esta hipotesis es que al entrar en un agujero negro se anula el espacio tiempo y como ya sabemos algo que contenga algun volumen o masa debe tener como minimo un espacio donde ubicarse el tiempo en ese caso no tiene mayor importancia pero el espacio juega un rol muy importante en la ubicacion de volumenes por lo que esto resulta muy improbable pero no imposible para la tecnologia Podemos escoger otro episodio historico todavia mas ilustrativo El de la estrella de Belen tal y como fue interpretada por Johannes Kepler Este astronomo aleman consideraba que dicha estrella se identificaba con una supernova que tuvo lugar el ano 5 a C cuya luz fue observada por los astronomos chinos contemporaneos y que vino precedida en los anos anteriores por varias conjunciones planetarias en la constelacion de Piscis Esa supernova probablemente estallo hace miles de anos atras pero su luz no llego a la tierra hasta el ano 5 a C De ahi que el intervalo existente entre dicho evento y las observaciones de los astronomos egipcios y megaliticos que tuvieron lugar varios siglos antes de Cristo sea un intervalo espacial pues la radiacion de la supernova nunca pudo llegarles Por el contrario la explosion de la supernova por un lado y las observaciones realizadas por los tres magos en Babilonia y por los astronomos chinos en el ano 5 a C por el otro estan unidas entre si por un intervalo temporal ya que la luz si pudo alcanzar a dichos observadores El tiempo propio y el intervalo se relacionan mediante la siguiente equivalencia c d t d s displaystyle scriptstyle cd tau ds es decir el intervalo es igual al tiempo local multiplicado por la velocidad de la luz Una de las caracteristicas tanto del tiempo local como del intervalo es su invarianza ante las transformaciones de coordenadas Sea cual sea nuestro punto de referencia sea cual sea nuestra velocidad el intervalo entre un determinado evento y nosotros permanece invariante Esta invarianza se expresa a traves de la llamada geometria hiperbolica La ecuacion del intervalo d s displaystyle scriptstyle ds tiene la estructura de una hiperbola sobre cuatro dimensiones cuyo termino independiente coincide con el valor del cuadrado del intervalo d s 2 d t 2 d l 2 displaystyle scriptstyle ds 2 dt 2 dl 2 que como se acaba de decir en el parrafo anterior es constante Las asintotas de la hiperbola vendrian a coincidir con el cono de luz Cuadrivelocidad aceleracion y cuadrimomentum Editar Articulos principales Cuadrivelocidady Cuadrimomento En el espacio tiempo de Minkowski las propiedades cinematicas de las particulas se representan fundamentalmente por tres magnitudes La cuadrivelocidad o tetravelocidad la cuadriaceleracion y el cuadrimomentum o tetramomentum La cuadrivelocidad es un cuadrivector tangente a la linea de universo de la particula relacionada con la velocidad coordenada de un cuerpo medida por un observador en reposo cualquiera esta velocidad coordenada se define con la expresion newtoniana d x i d t displaystyle dx i dt donde t x 1 x 2 x 3 displaystyle t x 1 x 2 x 3 son el tiempo coordenado y las coordenadas espaciales medidas por el observador para el cual la velocidad newtoniana ampliada vendria dada por 1 v 1 v 2 v 3 displaystyle 1 v 1 v 2 v 3 Sin embargo esta medida newtoniana de la velocidad no resulta util en teoria de la relatividad porque las velocidades newtonianas medidas por diferentes observadores no son facilmente relacionables por no ser magnitudes covariantes Asi en relatividad se introduce una modificacion en las expresiones que dan cuenta de la velocidad introduciendo un invariante relativista Este invariante es precisamente el tiempo propio de la particula que es facilmente relacionable con el tiempo coordenado de diferentes observadores Usando la relacion entre tiempo propio y tiempo coordenado d t g d t displaystyle dt gamma d tau se define la cuadrivelocidad propia multiplicando por g displaystyle gamma las de la velocidad coordenada u a v a g d x i d t displaystyle u alpha v alpha gamma dx i d tau La velocidad coordenada de un cuerpo con masa depende caprichosamente del sistema de referencia que escojamos mientras que la cuadrivelocidad propia es una magnitud que se transforma de acuerdo con el principio de covariancia y tiene un valor siempre constante equivalente al intervalo dividido entre el tiempo propio d s d t displaystyle ds d tau o lo que es lo mismo a la velocidad de la luz c Para particulas sin masa como los fotones el procedimiento anterior no se puede aplicar y la cuadrivelocidad puede definirse simplemente como vector tangente a la trayectoria seguida por los mismos La cuadriaceleracion puede ser definida como la derivada temporal de la cuadrivelocidad a i d u i d t displaystyle a i du i d tau Su magnitud es igual a cero en los sistemas inerciales cuyas lineas del mundo son geodesicas rectas en el espacio tiempo llano de Minkowski Por el contrario las lineas del mundo curvadas corresponden a particulas con aceleracion diferente de cero a sistemas no inerciales Junto con los principios de invarianza del intervalo y la cuadrivelocidad juega un papel fundamental la ley de conservacion del cuadrimomentum Es aplicable aqui la definicion newtoniana del momentum p m u displaystyle vec p mu vec u como la masa en este caso conservada m displaystyle mu multiplicada por la velocidad en este caso la cuadrivelocidad y por lo tanto sus componentes son los siguientes m p 1 p 2 p 3 displaystyle m p 1 p 2 p 3 teniendo en cuenta que m m g displaystyle m mu gamma La cantidad de momentum conservado es definida como la raiz cuadrada de la norma del vector de cuadrimomentum El momentum conservado al igual que el intervalo y la cuadrivelocidad propia permanece invariante ante las transformaciones de coordenadas aunque tambien aqui hay que distinguir entre los cuerpos con masa y los fotones En los primeros la magnitud del cuadriomentum es igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz p m c displaystyle p mu c Por el contrario el cuadrimomentum conservado de los fotones es igual a la magnitud de su momentum tridimensional p p displaystyle p p Como tanto la velocidad de la luz como el cuadrimomentum son magnitudes conservadas tambien lo es su producto al que se le da el nombre de energia conservada E c o n p c displaystyle E con p c que en los cuerpos con masa equivale a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado E c o n m c 2 displaystyle E con mu c 2 la famosa formula de Einstein y en los fotones al momentum multiplicado por la velocidad de la luz E c o n p c displaystyle E con pc Componentes p 0 p 1 p 2 p 3 m g m v 1 g m v 2 g m v 3 g m p 1 p 2 p 3 displaystyle to p 0 p 1 p 2 p 3 to mu gamma mu v 1 gamma mu v 2 gamma mu v 3 gamma to m p 1 p 2 p 3 Magnitud del cuadrimomentum p p p m 2 c 2 p 2 E 2 c 2 p 2 displaystyle to p sqrt vec p cdot vec p sqrt m 2 c 2 p 2 sqrt frac E 2 c 2 p 2 Magnitud en cuerpos con masa p p p m u u m c displaystyle to p sqrt vec p cdot vec p m sqrt vec u cdot vec u mu c Magnitud en fotones masa 0 p p p m 2 c 2 p 2 p 2 p displaystyle to p sqrt vec p cdot vec p sqrt m 2 c 2 p 2 sqrt p 2 p Energia E c o n c p c p p E 2 p 2 c 2 displaystyle to E con c p c sqrt vec p cdot vec p sqrt E 2 p 2 c 2 Energia en cuerpos con masa cuerpos en reposo p 0 E c o n m 2 c 4 p 2 c 2 E c o n m c 2 displaystyle to E con sqrt m 2 c 4 p 2 c 2 to E con mc 2 Energia en fotones masa en reposo 0 E c o n m 2 c 4 p 2 c 2 p 2 c 2 p c displaystyle to E con sqrt m 2 c 4 p 2 c 2 sqrt p 2 c 2 pc La aparicion de la Relatividad Especial puso fin a la secular disputa que mantenian en el seno de la mecanica clasica las escuelas de los mecanicistas y los energetistas Los primeros sostenian siguiendo a Descartes y Huygens que la magnitud conservada en todo movimiento venia constituida por el momentum total del sistema mientras que los energetistas que tomaban por base los estudios de Leibniz consideraban que la magnitud conservada venia conformada por la suma de dos cantidades La fuerza viva equivalente a la mitad de la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado m v 2 2 displaystyle mv 2 2 a la que hoy denominariamos energia cinetica y la fuerza muerta equivalente a la altura por la constante g h g displaystyle hg que corresponderia a la energia potencial Fue el fisico aleman Hermann von Helmholtz el que primero dio a la fuerzas leibnizianas la denominacion generica de energia y el que formulo la Ley de conservacion de la energia que no se restringe a la mecanica que se extiende tambien a otras disciplinas fisicas como la termodinamica La mecanica newtoniana dio la razon a ambos postulados afirmando que tanto el momentum como la energia son magnitudes conservadas en todo movimiento sometido a fuerzas conservativas Sin embargo la Relatividad Especial dio un paso mas alla por cuanto a partir de los trabajos de Einstein y Minkowski el momentum y la energia dejaron de ser considerados como entidades independientes y se les paso a considerar como dos aspectos dos facetas de una unica magnitud conservada el cuadrimomentum Componentes y magnitud de los diferentes conceptos cinematicos Concepto Componentes Expresion algebraica Particulas con masa FotonesIntervalo d x a d t d x 1 d x 2 d x 3 displaystyle dx a begin bmatrix dt dx 1 dx 2 dx 3 end bmatrix d s 2 d x d x displaystyle ds 2 vec d x cdot vec d x d s 2 0 displaystyle ds 2 not 0 d s 2 0 displaystyle ds 2 0 Cuadrivelocidad u a d x a d t g v 1 g v 2 g v 3 g displaystyle u alpha frac dx alpha d tau begin bmatrix gamma v 1 gamma v 2 gamma v 3 gamma end bmatrix u u u d s 2 d t 2 displaystyle u sqrt vec u cdot vec u sqrt frac ds 2 d tau 2 u c displaystyle u c Cuadrivelocidadno definidaAceleracion a a d 2 x a d t 2 displaystyle a alpha frac d 2 x alpha d tau 2 a a 0 displaystyle a alpha 0 sistemas inerciales a a 0 displaystyle a alpha not 0 sistemas no inerciales Aceleracionno definidaCuadrimomentum p a m u a m p 1 p 2 p 3 displaystyle p alpha mu u alpha begin bmatrix m p 1 p 2 p 3 end bmatrix p p p E 2 c 2 p 2 displaystyle p sqrt vec p cdot vec p sqrt frac E 2 c 2 p 2 p m c displaystyle p mu c p p displaystyle p p El tensor de energia impulso Tab Editar Articulo principal Tensor de energia impulso Tensor de tension energia Tres son las ecuaciones fundamentales que en fisica newtoniana describen el fenomeno de la gravitacion universal la primera afirma que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia 1 la segunda que el potencial gravitatorio F displaystyle Phi en un determinado punto es igual a la masa multiplicada por la constante G y dividida por la distancia r 2 y la tercera finalmente es la llamada ecuacion de Poisson 3 que indica que el laplaciano nota 5 del potencial gravitatorio es igual a 4 p G r displaystyle 4 pi G rho donde r displaystyle rho es la densidad de masa en una determinada region esferica F G M m r 2 1 displaystyle F frac GMm r 2 1 F G M r 2 displaystyle to Phi frac GM r 2 D F 4 p G r 3 displaystyle to Delta Phi 4 pi G rho 3 Sin embargo estas ecuaciones no son compatibles con la Relatividad Especial por dos razones En primer lugar la masa no es una magnitud absoluta sino que su medicion deriva en resultados diferentes dependiendo de la velocidad relativa del observador De ahi que la densidad de masa r displaystyle rho no puede servir de parametro de interaccion gravitatoria entre dos cuerpos En segundo lugar si el concepto de espacio es relativo tambien lo es la nocion de densidad Es evidente que la contraccion del espacio producida por el incremento de la velocidad de un observador impide la existencia de densidades que permanezcan invariables ante las transformaciones de Lorentz Por todo ello resulta necesario prescindir del termino r displaystyle rho situado en el lado derecho de la formula de Poisson y sustituirlo por un objeto geometrico matematico que permanezca invariante ante las transformaciones de Lorentz Dicho objeto fue definido por Einstein en sus ecuaciones de universo y recibe el nombre de tensor de energia momentum T a b displaystyle T alpha beta Sus coeficientes describen la cantidad de tetramomentum p a displaystyle p alpha que atraviesa una hipersuperficie P b displaystyle Pi beta normal al vector unitario u b displaystyle vec u beta De este modo el tensor de energia momentum puede expresarse mediante la siguiente ecuacion p a P T a b d P b displaystyle p alpha int Pi T alpha beta d Pi beta O lo que es lo mismo El componente p a displaystyle p alpha del tetramomentum es igual a la integral de hipersuperficie d P b displaystyle d Pi beta del tensor de tension energia En un fluido ideal del que estan ausentes tanto la viscosidad como la conduccion de calor los componentes del tetramomentum se calculan de la siguiente forma T a b r P c 2 u a u b P g a b displaystyle T alpha beta left rho P over c 2 right u alpha u beta Pg alpha beta donde r displaystyle rho es la densidad de masa energia masa por unidad de volumen tridimensional P displaystyle P es la presion hidrostatica u a displaystyle u alpha es la cuadrivelocidad del fluido y g a b displaystyle g alpha beta es la matriz inversa del tensor metrico de la variedad Ademas si los componentes del tensor se miden por un observador en reposo relativo respecto al fluido entonces el tensor metrico viene constituido simplemente por la metrica de Minkowski g a b h a b diag c 2 1 1 1 displaystyle g alpha beta eta alpha beta operatorname diag c 2 1 1 1 g a b h a b diag 1 c 2 1 1 1 displaystyle g alpha beta eta alpha beta operatorname diag left frac 1 c 2 1 1 1 right Puesto que ademas la tetravelocidad del fluido respecto al observador en reposo es u a 1 0 0 0 displaystyle u alpha 1 0 0 0 como consecuencia de ello los coeficientes del tensor de tension energia son los siguientes T a b r 0 0 0 0 P 1 0 0 0 0 P 2 0 0 0 0 P 3 displaystyle T alpha beta begin pmatrix rho amp 0 amp 0 amp 0 0 amp P 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp P 2 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp P 3 end pmatrix Parte de la materia que cae en el disco de acrecion de un agujero negro es expulsada a gran velocidad en forma de chorros En supuestos como este los efectos gravitomagneticos pueden llegar a alcanzar cierta importancia Donde r displaystyle rho es la densidad de masa y P i displaystyle P i son los componentes tridimensionales de la presion hidrostatica Como vemos el campo gravitatorio tiene dos fuentes diferentes La masa y el momentum del fluido en cuestion Los efectos gravitatorios originados por la masa se denominan efectos gravitoelectricos mientras que aquellos que se deben al momentum reciben el nombre de efectos gravitomagneticos Los primeros tienen una intensidad c 2 displaystyle c 2 superior a los segundos que solo se manifiestan en aquellos casos en los que las particulas del fluido se mueven con una velocidad cercana a la de la luz se habla entonces de fluidos relativistas Es el caso de los chorros jets que emanan del centro de la galaxia y que se propulsan en las dos direcciones marcadas por el eje de rotacion de este cuerpo cosmico de la materia que se precipita hacia un agujero negro y del fluido estelar que se dirige hacia el centro de la estrella cuando esta entra en colapso En este ultimo caso durante las fases finales del proceso de contraccion de la estrella la presion hidrostatica puede llegar a ser tan fuerte como para llegar a acelerar el colapso en lugar de ralentizarlo Podemos a partir del tensor de tension energia calcular cuanta masa contiene un determinado volumen del fluido Retomando la definicion de este tensor expuesta unas lineas mas arriba se puede definir al coeficiente T 00 displaystyle T 00 como la cantidad de momentum p 0 displaystyle p 0 esto es la masa que atraviesa la hipersuperficie d P 0 displaystyle d Pi 0 En el espacio tiempo de Minkowski la hipersuperficie d P 0 displaystyle d Pi 0 es aquella region que se define por las tres bases vectoriales normales al vector d x 0 displaystyle dx 0 P 0 displaystyle Pi 0 es por tanto un volumen tridimensional definido por los vectores base e 1 displaystyle vec e 1 eje x e 2 displaystyle vec e 2 eje y y e 3 displaystyle vec e 3 eje z Podemos por tanto escribir p 0 T 00 d P 0 displaystyle p 0 int T 00 d Pi 0 m r d V displaystyle m int rho dV Del mismo modo es posible deducir matematicamente a partir del tensor de tension energia la definicion newtoniana de presion introduciendo en la mentada ecuacion cualquier par de indices que sean diferentes de cero p 1 P T 11 d P 1 displaystyle p 1 int Pi T 11 d Pi 1 La hipersuperficie d P 1 displaystyle d Pi 1 es aquella region del espacio tiempo definida por los tres vectores unitarios normales a d x 1 displaystyle dx 1 se trata de los dos vectores espaciales e 2 displaystyle vec e 2 y e 3 displaystyle vec e 3 correspondientes a los ejes y y z y del vector temporal e 0 displaystyle vec e 0 o d t displaystyle dt como se prefiera Esta definicion nos permite descomponer la integral de hipersuperficie en una integral temporal cuyo integrando viene definido por d t displaystyle dt y otra de superficie esta vez bidimensional d S displaystyle dS p 1 S P 1 d S 1 d t displaystyle p 1 int int S P 1 dS 1 dt Finalmente derivamos parcialmente ambos miembros de la ecuacion respecto al tiempo y teniendo en cuenta que la fuerza no es mas que la tasa de incremento temporal del momentum obtenemos el resultado siguiente F 1 P 1 d S 1 displaystyle F 1 int P 1 dS 1 Que contiene la definicion newtoniana de la presion como fuerza ejercida por unidad de superficie El tensor electromagnetico Fab Editar Articulo principal Tensor de Faraday Las ecuaciones deducidas por el fisico escoces James Clerk Maxwell demostraron que electricidad y magnetismo no son mas que dos manifestaciones de un mismo fenomeno fisico el campo electromagnetico Ahora bien para describir las propiedades de este campo los fisicos de finales del siglo XIX debian utilizar dos vectores diferentes los correspondientes los campos electrico y magnetico Fue la llegada de la Relatividad Especial la que permitio describir las propiedades del electromagnetismo con un solo objeto geometrico el vector cuadripotencial cuyo componente temporal se correspondia con el potencial electrico mientras que sus componentes espaciales eran los mismos que los del potencial magnetico A a V A x A y A y displaystyle A alpha V A x A y A y De este modo el campo electrico puede ser entendido como la suma del gradiente del potencial electrico mas la derivada temporal del potencial magnetico E V A t displaystyle E nabla V frac partial A partial t y el campo magnetico como el rotacional del potencial magnetico B A displaystyle B nabla times A Las propiedades del campo electromagnetico pueden tambien expresarse utilizando un tensor de segundo orden denominado tensor de Faraday y que se obtiene diferenciando exteriormente al vector cuadripotencial A a displaystyle A alpha F a b a A b b A a displaystyle F alpha beta partial alpha A beta partial beta A alpha F a b 0 E x c E y c E z c E x c 0 B z B y E y c B z 0 B x E z c B y B x 0 F b a 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 displaystyle F alpha beta begin pmatrix 0 amp E x c amp E y c amp E z c E x c amp 0 amp B z amp B y E y c amp B z amp 0 amp B x E z c amp B y amp B x amp 0 end pmatrix F beta alpha begin pmatrix 0 amp E x amp E y amp E z E x amp 0 amp B z amp B y E y amp B z amp 0 amp B x E z amp B y amp B x amp 0 end pmatrix La fuerza de Lorentz puede deducirse a partir de la siguiente expresion f a q F b a u b displaystyle f alpha qF beta alpha u beta F q E u v displaystyle F q E u times v Donde q es la carga y u a displaystyle u alpha la cuadrivelocidad de la particula Vease tambien Editar Portal Fisica Contenido relacionado con Fisica Teoria de la relatividad especial Teoria de la relatividad general Glosario de relatividadNotas Editar El espacio euclideo es una variedad tridimensional El espacio tiempo de Minkowski es una variedad de cuatro dimensiones de las cuales tres son espaciales y una temporal Es decir el espacio euclideo La letra E corresponde a la inicial del matematico Euclides y el numero 3 al numero de dimensiones espaciales M4 es el espacio tiempo de Minkowski M es la inicial de Minokwski y 4 es el numero de dimensiones de las que se compone la variedad Conviene senalar que existen dos convenciones la mas usada en teoria cuantica relativista usa h 0 0 gt 0 displaystyle scriptstyle eta 0 0 gt 0 y el resto de componentes negativas mientras que en cosmologia y relatividad se usa mas comunmente h 0 0 lt 0 displaystyle scriptstyle eta 0 0 lt 0 y el resto de componentes positivas Ambas convenciones son basicamente equivalentes laplaciano Divergencia de un gradiente Referencias Editar Shahen Hacyan 1995 Relatividad para principiantes Fondo de Cultura Economica ISBN 968 16 3152 8 El Universal Venezuela Exponen en Israel manuscrito de la teoria de la relatividad de Einstein El Universal Consultado el 7 de marzo de 2010 Agencia EFE El manuscrito de la teoria de la relatividad expuesto por primera vez Agencia EFE alojado por Google Archivado desde el original el 10 de marzo de 2010 Consultado el 7 de marzo de 2010 Gavin Rabinowitz Einstein s theory of relativity on display for first time en ingles Agencia AFP alojado por Google Archivado desde el original el 9 de marzo de 2010 Consultado el 7 de marzo de 2010 Einstein Albert 1917 Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitatstheorie Sitzungsberichte der Preuss Akad Berlin pp 142 157 Stanford Encyclopedia of Philosophy Early Philosophical Interpretations of General Relativity 2 Machian Positivism 2 2 A Relativization of Inertia Consultado de 4 de junio de 2012Bibliografia EditarGirbau J Geometria diferencial i relativitat Ed Universidad Autonoma de Barcelona 1993 ISBN 84 7929 776 X Glick T F 1987 The Comparative Reception of Relativity en ingles Springer Science amp Business Media ISBN 9789027724984 Bedacarratz R Introduccion a la geometria y relatividad Ed Universidad nacional de Cordoba 1986Enlaces externos Editar Wikiquote alberga frases celebres de o sobre Teoria de la relatividad Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Teoria de la relatividad La Relatividad sin formulas en eltamiz com 13 05 09 Surveying the shunting line of a ray of light of the space trd en portugues Datos Q43514 Multimedia Theory of relativity Citas celebres Teoria de la relatividadObtenido de https es wikipedia org w index php title Teoria de la relatividad amp oldid 137804857, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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