Teoría de Ramsey

La teoría de Ramsey, llamada así por Frank P. Ramsey, es un campo de las matemáticas que estudia las condiciones bajo las cuales debe aparecer el orden.

Según la teoría de Ramsey, del total de estrellas del cielo nocturno, siempre podemos seleccionar un subconjunto de ellas para dibujar diferentes objetos como: un triángulo, un cuadrilátero, un paraguas o un pulpo.

Los problemas de la teoría de Ramsey son típicamente de la forma: ¿Cuántos elementos debe contener una estructura para garantizar la existencia de una propiedad particular?

El desorden completo es imposible

Theodore S. Motzkin^[1]​

Ejemplos

Supongamos que n palomas han sido alojadas en m nidos. ¿Qué tamaño ha de tener n, con respecto a m, para que se pueda garantizar que al menos, un nido contenga dos palomas?. La respuesta está dada por el principio del palomar: si n > m por lo menos un nido tendrá al menos dos palomas. La teoría de Ramsey generaliza este resultado, como se explica a continuación.

Un resultado típico de la teoría de Ramsey se inicia con alguna estructura matemática que se corta en trozos. ¿Qué tamaño ha de tener la estructura original con el fin de garantizar que al menos una de las piezas tenga una propiedad interesante dada?

Por ejemplo, consideremos un grafo completo de orden n, es decir, hay n vértices y cada vértice está conectado a todos los otros vértices por medio de una arista. Un grafo completo de orden 3 se llama triángulo. Ahora bien, cada arista puede tener uno de los siguientes colores: rojo o azul. ¿Cómo de grande debe ser n para poder garantizar que exista un triángulo azul o un triángulo rojo?. Resulta que la respuesta es 6. Véase el artículo sobre el teorema de Ramsey para una prueba rigurosa.

Otra manera de expresar este resultado es el siguiente: en cualquier actividad con al menos seis personas, hay tres personas que son mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas. Véase el teorema de la amistad.

Este es un caso especial del teorema de Ramsey, que dice que para cualquier entero dado c, y dado los enteros n₁,...,n_c, existe el número: R(n₁,...,n_c), llamado número de Ramsey, tal que si las aristas de un grafo completo de orden R(n₁,...,n_c) se colorean con c colores distintos, entonces para algún i entre 1 y c, debe contener un subgrafo completo de orden n_i cuyas aristas están todas coloreadas con el color i. El caso especial de arriba tiene c = 2 y n₁ = n₂ = 3.

Para dos colores se conocen los siguientes valores exactos y cotas para R(r, s):

r, s	3	4	5	6	7	8	9	10
3	6
4	9	18
5	14	25	43–48
6	18	36–41	58–87	102–165
7	23	49–61	80–143	115–298	205–540
8	28	59–84	101–216	134–495	219–1031	282–1870
9	36	73–115	133–316	183–780	252–1713	329–3583	565–6588
10	40–42	92–149	149–442	204–1171	292–2826	343–6090	581–12677	798–23556
11	47-50	102-191	183-633	262-1804	405-4553	457-10630	22325	45881
12	53-59	128-238	203-848	294-2566	417-6954	16944	38832	81123
13	60-68	138-291	233-1138	347-3703	511-10578	817-27485	64864
14	67-77	147-349	267-1461	5033	15263	41525
15	74-87	158-417	275-1878	401-6911	22112	873-63609		1313

Como R(r, s) = R(s, r), hay una simetría trivial con respecto la diagonal. También es trivial el caso R(n,2) ya que R(n,2)=n.

Esta tabla está extraída del survey "Small Ramsey Numbers" de Stanisław Radziszowski^[2]​, excepto R(4,6)≥36, probado por Geoffrey Exoo en 2012;^[3]​ R(3,10) ≤ 42, probado por Jan Goedgebeur y Stanisław Radziszowski en 2012;^[4]​ y R(4,8) ≥ 58, probado por Hiroshi Fujita en 2012.^[5]​

Para tres colores, el único valor exacto no trivial conocido es R(3,3,3)=17.

De idéntica forma se puede definir el número de Ramsey de grafos que no sean completos, conociéndose para dos colores y grafos con a lo más 5 vértices, todos los valores exactos salvo los dos casos formados por dos grafos completos con 5 vértices y por uno completo de 5 vértices menos una arista y uno completo de 5 vértices.

Resultados

Algunos resultados importantes de teoría de Ramsey son:

• Teorema de Ramsey Infinito (1928). Si tenemos un conjunto infinito y distribuimos sus elementos en un número finito de cajas, entonces hay una caja que contiene infinitos elementos.

• Teorema de Bolzano. Toda sucesión infinita de números reales contiene una subsucesión infinita creciente o decreciente.

• Problema del final feliz (Erdős, Szekeres & Klein; 1933). Dados 5 puntos en el plano (de forma que cada 3 de ellos no sean colineales), hay cuatro que forman un cuadrilátero convexo.

• Teorema de la amistad (Ramsey; 1928). En cualquier reunión de 6 personas, o bien 3 de ellas se conocen entre sí, o bien, 3 de ellas no se conocen entre sí.

• Teorema de Erdős-Szekeres(1936). Si tenemos n² + 1 números reales, n + 1 de ellos forman una sucesión monótona.

• Teorema de van der Waerden (1927). Para todo par de enteros l y c, existe un N tal que, dada una progresión aritmética P de longitud a lo menos N (en un grupo aditivo Z), y si coloreamos la progresión P con c colores, entonces existe una sub-progresión aritmética Po monocromática de longitud l.

• Teorema de Hales-Jewett (1963): Para enteros n y c, existe el número H de manera que las celdas de un cubo H-dimensional n×n×n×...×n son coloreados con c colores, debe existir una fila, columna, etc. de longitud n en donde sus celdas están coloreadas con un solo color. Esto es, si se juega el tres en línea en un tablero-hipercubo de dimensiones suficientemente grandes, entonces no se puede terminar el juego en empate, no importando que tan grande sea n (la longitud de X o 0 necesaria para ganar la partida), ni el número c de jugadores. El teorema de Hales-Jewett implica el teorema de Van der Waerden.
• Teorema de Schur. Para todo número c, hay un N tal que si los números 1,2,..., N son coloreados por c colores, existe un par de enteros x, y tal que x, y, x+y tienen el mismo color.

Naturaleza de los resultados

Los resultados en la teoría de Ramsey normalmente tienen dos características básicas. En primer lugar, generalmente no son constructivas, los resultados muestran la existencia de alguna estructura, pero no se da una receta o procedimiento para encontrarla (que no sea la Búsqueda de fuerza bruta). En segundo lugar, mientras los resultados de la teoría de Ramsey nos dicen que un objeto lo suficientemente grande deberá contener necesariamente una estructura dada, a menudo la prueba de estos resultados requiere que estos objetos sean enormemente grandes con límites que crecen de manera exponencial.

Problemas abiertos

• Problema de Erdős-Szekeres: este problema corresponde a la generalización del problema del final feliz, y es:

${\displaystyle N(n)=2^{n-2}+1\,}$ 

• Problema del Límite de R(k,k;2) = R(k,k) = R_k. ¿Existe ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }R_{k}^{\frac {1}{k}}\;}$ ?, y de existir ¿Cuál es su valor? Se conoce que en caso de existir se encuentra en el intervalo (√2, 4]

Véase también

• Matemática discreta
• Combinatoria
• Sucesión de Goodstein
• Problema del final feliz

Notas

1. "S. A. Soman" (21 de agosto de 2008). "Computational Methods for Large Sparse Power Systems Analysis". p. 31. 
2. "Small Ramsey Numbers" Stanisław P. Radziszowski (primerat versión: Junio 11, 1994; revisión #16: Enero 15, 2021).
3. B. McKay, Ramsey Graphs
4. Goedgebeur, Jan; Radziszowski, Stanisław (2012). «New computational upper bounds for Ramsey numbers R(3,k)». arXiv:1210.5826. 
5. Fujita, Hiroshi (2012). «A New Lower Bound for the Ramsey Number R(4, 8)». arXiv:1212.1328. 

Referencias

• R. Graham, B. Rothschild, J.H. Spencer, Ramsey Theory, John Wiley and Sons, NY (1990)
• Landman and A. Robertson, Ramsey Theory on the Integers, Student Mathematical Library Vol. 24, AMS (2004)
• F. P. Ramsey, On a Problem of Formal Logic, Proc. London Math. Soc., Vol. s2-30, no 1 (1930),
• P. Erdös and G. Szekeres, A combinatorial problem in geometry, Compositio Math., Vol. 2, p. 463-470 (1935)
• G. Boolos, J. P. Burgess and R. Jeffrey, Computability and Logic, Cambridge: Cambridge University Press. (1974, revised 2004)
• https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/combinatorics/Ramsey44.shtml
• https://mathworld.wolfram.com/RamseyNumber.html
• https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/combinatorics/Ramsey43.shtml
• https://math.mit.edu/~apost/courses/18.204_2018/ramsey-numbers.pdf

•   Datos: Q1336170