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Relaciones métricas en el triángulo

Las relaciones métricas en el triángulo son aquellas que tratan los vínculos entre lados o ángulos, entre los cuales se destaca el Teorema de Pitágoras que es válido exclusivamente en el triángulo rectángulo y se aplica sobre la longitud de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos del ángulo

Elementos del triángulo

 

Los elementos principales de un triángulo son: vértices, lados y ángulos.

Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices      
Lados (como segmento)      
Lados (como longitud)      
Ángulos      


Triángulo rectángulo

 
Un triángulo rectángulo y sus elementos.
 

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) o π/2 radianes.

(Clasificación por la amplitud de sus ángulos)
Triángulos
Rectángulos
Oblicuángulos
Obtusángulos
Acutángulos

Fórmulas para calcular en un triangulo rectángulo, un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

     

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.

  Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde:

c es la hipotenusa,
h es la altura relativa a la hipotenusa,
p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,

se cumplen las siguientes propiedades:

  • Un cateto es media proporcional- o bien media geométrica-[1]​ entre la hipotenusa y la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:
 
 
comprobación

el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

 

despejando

 
  • El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:
 
comprobación

el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:

 

despejando:

 
  • El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).
 
comprobación

del teorema anterior:

 
 

sumando ambas ecuaciones:

 

luego

 

pero p+q=c

 

finalmente

 
  • El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:
 
comprobación

existen dos comprobaciones:

1) a partir de las superficies o áreas:

 

y

 

eso quiere decir que:

 

que al eliminar los doses:

 

2) el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

 

despejando:

 
  • El inverso del cuadrado de la altura de la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos:
 
comprobación

por el teorema de Pitágoras:

 

dividimos entre  :

 

pero a.b=c.h

 

eliminando las c y convirtiendo en 2 la fracción de la derecha:

 

simplificando

 
 
Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

    , también se cumple:    

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

    , es decir:    

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:

    ;       ;    

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

 

donde   es la medida de la hipotenusa.

Teorema de la altura

En matemáticas, el teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

Teorema de la altura (forma 1)

En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostración

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

 
 
Figura 1: Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por   se tiene:

 

por lo que

(1) 

Otra forma del mismo teorema

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

     ;     

(h2) 

lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a :

(h3) 

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema :

Teorema de la altura (forma 2)

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

Teorema del cateto

 
Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

 

 

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostración

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

  1. Todos tienen un ángulo recto.
  2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
  3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
 
Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:


  • Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC
 


de dónde,


 


  • Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC


 


 

y el teorema queda demostrado.

Corolario

(Corolario 1)En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo estas m y n:

 

en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario:

 

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo   con vértice en A, son:

 

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

 

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

 

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

 

Área

 
fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo.

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

(A1) 

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).


En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

 

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41[2]​ de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

Euclides vio un inconveniente[cita requerida]: en un triángulo rectángulo   ¿cuánto debería valer numéricamente el lado a en un triángulo oblicuángulo? Euclides despejó su duda con la primera ley de Euclides para los triángulos oblicuángulos.

Primer teorema de Euclides

En cualquier triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre él[3][4]

 
 

siendo n la proyección de c sobre b

 

donde p es la proyección de b sobre c

Demostración

Euclides notó que aunque no se generen triángulos semejantes al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras:

empezamos en el triángulo de la izquierda

 

luego despejamos la altura

 

pero m=b-n

 

en el triángulo de la derecha

 

despejando la altura

 

eso quiere decir que:

 

elevando el binomio al cuadrado:

 

simplificando:

 

despejando:

 

análogamente:

 

Segundo teorema de Euclides

En un triángulo obtusángulo, el lado opuesto al ángulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos más el doble de la base por la proyección de la altura trazada desde uno de los ángulos menores.

 
 

Demostración

Euclides notó que al trazar la altura exterior se generan dos triángulos rectángulos (AHC y BCH).

Nos fijamos en el más pequeño (AHC):

 .

Despejando la altura resulta:

  .

Pasemos al triángulo BHC:

 .

Despejando la altura queda:

 .

Eso quiere decir que:

 .

Elevando el binomio al cuadrado

 ,

y simplificando

 .

Despejando a²:

 

Cálculo de las líneas notables de un triángulo

A partir de los dos teoremas anteriores se deriva fórmulas para el cálculo de las líneas notables de un triángulo. A continuación vamos a ver estos 5 teoremas con su comprobación.

Teorema de Stewart (cálculo de la ceviana)

 

Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triángulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyección del cateto opuesto más la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyección del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicación de las proyecciones de los catetos y la base.

Su formulación matemática es:

 

Donde b y c son los lados "laterales" respecto a la ceviana d correspondiente al lado a, n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana.

Teorema de la mediana

 
fig.m1: Esquema con áreas → (   ).

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)

Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.


Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

 

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )
   
 
 
     
     
     
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )[5]​ — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).


Caso particular

En un triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (véase Corolario 1 del teorema segundo de Tales), asumiremos para la ecuación siguiente que dicha hipotenusa se denomina c).

 

Donde M es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada c.

Simedianas de un triángulo

donde   son las simedianas respecto a los lados   de un triángulo[6]

 



 


 

Teorema de la bisectriz interior

Teorema de la bisectriz interior

La bisectriz interior de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los lados menos el producto de los segmentos de la base determinados por la bisectriz.

 

 

Donde:

X:Bisectriz interior

Demostración

por el teorema de semejanza en la bisectriz interior

 

despejando

 

por el teorema de Stewart:

 

reemplazando an por cn

 

despejando

 

Teorema de la bisectriz exterior

La bisectriz exterior de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los segmentos deteriminados por la bisectriz menos el producto de los lados.

 

Donde:

X:Bisectriz exterior:

Demostración

Recordando el teorema de semejanza en la bisectriz interior

 

despejando

 

Luego, ejecutando el teorema de Stewart:

 

reemplazando an por cn:

 

luego

 

despejando, resulta que:

 

Teorema de la altura

También conocido como el teorema de Herón. La altura de un triángulo es igual a:

 

Demostración

Aplicando el primer teorema de Euclides:

 

despejando HC:

 

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo BHC:

 

Aplicando diferencia de cuadrados

 

transformando HC

 

Sumando:

 

ejecutando el binomio al cuadrado:

 

ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el  

 

para a+b+c = 2p

 

despejando la altura expulsa que

 

Teoremas auxiliares en los cuadriláteros

Teorema de Ptolomeo

En todo cuadrilátero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos del cuadrilátero

 

Donde:

D1, D2: Diagonales del cuadrilátero

a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

Teorema de Viette

En todo cuadrilátero inscrito la relación de las diagonales es igual a la relación entre la suma de los productos de las longitud de sus lados que forman a los extremos de las diagonales.

 

Donde:

D1, D2: Diagonales del cuadrilátero

a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

Teorema de Euler

En todo cuadrilátero convexo la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales más el cuádruple del cuadrado del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales

 

Siendo:

 : diagonales del cuadrilátero

 : lados del cuadrilátero

m: segmento que une los puntos medios de las diagonales.

Véase también

Notas y referencias

Notas
  1. Milton Donaire. Formas y números. 978-612-45279-9-9
  2. Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".
  3. G. M. Bruño. Geometría Superior. Madrid, 17ª edición
  4. No se exige que un triángulo sea acutángulo, sino se refiere al lado opuesto de un ángulo agudo, que siempre, por lo menos uno, existe.
  5. Déplanche, Y.,Diccio fórmulas, 1996, Edunsa (publ.), "Medianas de un triángulo" pág. 25. [1], isbn=9788477471196
  6. M. García Ardura. Problemas gráficos y numéricos de geometría. Decimocuarta edición, Madrid.
Referencias
  • Geometría, segunda edición, proyecto ingenio.

Enlaces externos

  •   Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Relaciones métricas en el triángulo.
  •   Datos: Q6104929

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Se ha sugerido que este articulo o seccion sea fusionado con Triangulo rectangulo Relaciones metricas Para mas informacion vease la discusion Una vez que hayas realizado la fusion de contenidos pide la fusion de historiales aqui Este aviso fue puesto el 19 de febrero de 2012 Las relaciones metricas en el triangulo son aquellas que tratan los vinculos entre lados o angulos entre los cuales se destaca el Teorema de Pitagoras que es valido exclusivamente en el triangulo rectangulo y se aplica sobre la longitud de los catetos hipotenusa la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como proyecciones de los catetos del angulo Indice 1 Elementos del triangulo 2 Triangulo rectangulo 2 1 Teorema de la altura 2 1 1 Demostracion 2 2 Otra forma del mismo teorema 2 3 Teorema del cateto 2 3 1 Demostracion 2 3 2 Corolario 2 4 Razones trigonometricas 2 5 Area 3 Relaciones metricas en el triangulo oblicuangulo 3 1 Primer teorema de Euclides 3 1 1 Demostracion 3 2 Segundo teorema de Euclides 3 2 1 Demostracion 4 Calculo de las lineas notables de un triangulo 4 1 Teorema de Stewart calculo de la ceviana 4 2 Teorema de la mediana 4 2 1 Caso particular 4 3 Simedianas de un triangulo 4 4 Teorema de la bisectriz interior 4 4 1 Demostracion 4 5 Teorema de la bisectriz exterior 4 5 1 Demostracion 4 6 Teorema de la altura 4 6 1 Demostracion 5 Teoremas auxiliares en los cuadrilateros 5 1 Teorema de Ptolomeo 5 2 Teorema de Viette 5 3 Teorema de Euler 6 Vease tambien 7 Notas y referencias 8 Enlaces externosElementos del triangulo Editar Los elementos principales de un triangulo son vertices lados y angulos Triangulos Resumen de convenciones de designacion Vertices A displaystyle text A B displaystyle text B C displaystyle text C Lados como segmento BC displaystyle text BC AC displaystyle text AC AB displaystyle text AB Lados como longitud a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c Angulos a a A B A C displaystyle widehat alpha widehat a widehat A widehat BAC b b B A B C displaystyle widehat beta widehat b widehat B widehat ABC g c C A C B displaystyle widehat gamma widehat c widehat C widehat ACB Triangulo rectangulo Editar Un triangulo rectangulo y sus elementos Triangulo rectangulo se denomina al triangulo en el que uno de sus angulos es recto es decir mide 90 grados sexagesimales o p 2 radianes Clasificacion por la amplitud de sus angulos Triangulos RectangulosOblicuangulos ObtusangulosAcutangulosFormulas para calcular en un triangulo rectangulo un lado desconocido en funcion de los otros dos donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa a c 2 b 2 displaystyle a sqrt c 2 b 2 b c 2 a 2 displaystyle b sqrt c 2 a 2 c a 2 b 2 displaystyle c sqrt a 2 b 2 Se denomina hipotenusa al lado mayor del triangulo el lado opuesto al angulo recto Se llaman catetos a los dos lados menores los que conforman el angulo recto Cualquier triangulo se puede dividir en 2 triangulos rectangulos Dado un triangulo rectangulo ABC vease la imagen con angulo recto en C donde c es la hipotenusa h es la altura relativa a la hipotenusa p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa se cumplen las siguientes propiedades Un cateto es media proporcional o bien media geometrica 1 entre la hipotenusa y la proyeccion ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa a 2 c p displaystyle a 2 c cdot p b 2 c q displaystyle b 2 c cdot q dd dd comprobacionel triangulo ABC es semejante al triangulo CHA por tanto b c q b displaystyle frac b c frac q b dd dd despejando b 2 c q displaystyle b 2 c cdot q dd dd El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa h 2 p q displaystyle h 2 p cdot q dd dd comprobacionel triangulo CHB es semejante al triangulo CHA por tanto q h h p displaystyle frac q h frac h p dd dd despejando h 2 p q displaystyle h 2 p cdot q dd dd El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos Teorema de Pitagoras c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 dd dd comprobaciondel teorema anterior a 2 c p displaystyle a 2 c cdot p b 2 c q displaystyle b 2 c cdot q dd dd sumando ambas ecuaciones b 2 a 2 c q c p displaystyle b 2 a 2 c cdot q c cdot p dd dd luego b 2 a 2 c p q displaystyle b 2 a 2 c p q dd dd pero p q c b 2 a 2 c c displaystyle b 2 a 2 c cdot c dd dd finalmente c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 dd dd El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura a b h c displaystyle a b h cdot c dd dd comprobacionexisten dos comprobaciones 1 a partir de las superficies o areas A 1 2 a b displaystyle A frac 1 2 a cdot b dd dd y A 1 2 c h displaystyle A frac 1 2 c cdot h dd dd eso quiere decir que 1 2 a b 1 2 c h displaystyle frac 1 2 a cdot b frac 1 2 c cdot h dd dd que al eliminar los doses a b c h displaystyle a cdot b c cdot h dd dd 2 el triangulo ABC es semejante al triangulo CHA por tanto c h 1 b a displaystyle frac c h frac 1 b a dd dd despejando a b c h displaystyle a cdot b c cdot h dd dd El inverso del cuadrado de la altura de la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos 1 h 2 1 a 2 1 b 2 displaystyle frac 1 h 2 frac 1 a 2 frac 1 b 2 dd dd comprobacionpor el teorema de Pitagoras c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 dd dd dividimos entre a b 2 displaystyle a cdot b 2 c 2 a b 2 a 2 b 2 a b 2 displaystyle frac c 2 ab 2 frac a 2 b 2 a cdot b 2 dd dd pero a b c h c 2 c h 2 a 2 b 2 a b 2 displaystyle frac c 2 ch 2 frac a 2 b 2 a cdot b 2 dd dd eliminando las c y convirtiendo en 2 la fraccion de la derecha 1 h 2 a 2 a b 2 b 2 a b 2 displaystyle frac 1 h 2 frac a 2 a cdot b 2 frac b 2 a cdot b 2 dd dd simplificando 1 h 2 1 a 2 1 b 2 displaystyle frac 1 h 2 frac 1 a 2 frac 1 b 2 dd dd Figura 1 Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa En un triangulo rectangulo La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyeccion sobre ella a b b m displaystyle frac a b frac b m tambien se cumple a c c n displaystyle frac a c frac c n La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa m h h n displaystyle frac m h frac h n es decir h 2 m n displaystyle h 2 m cdot n Las tres alturas del triangulo rectangulo pueden calculase como h a b c a displaystyle h a frac b cdot c a h b c displaystyle h b c h c b displaystyle h c b donde b y c son los catetos y a la hipotenusa en tanto que ha hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados La relacion entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitagoras a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 donde a displaystyle a es la medida de la hipotenusa Teorema de la altura Editar En matematicas el teorema de la altura de un triangulo rectangulo establece que Teorema de la altura forma 1 En cualquier triangulo rectangulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa Demostracion Editar La altura del triangulo rectangulo ABC vease Figura 1 lo divide en dos triangulos rectangulos semejantes de forma que h n m h displaystyle frac h n frac m h Figura 1 Teorema de la altura Multiplicando los dos miembros de la igualdad por h n displaystyle hn se tiene h 2 m n displaystyle h 2 m n por lo que 1 h m n displaystyle h sqrt m n Otra forma del mismo teorema Editar La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triangulo rectangulo vease Figura 1 tambien puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuacion 1 del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto m b 2 a displaystyle m frac b 2 a n c 2 a displaystyle n frac c 2 a dd h2 h m n b 2 a c 2 a displaystyle h sqrt m n sqrt frac b 2 a frac c 2 a lo que al simplificar en el ultimo termino de la ecuacion h2 la raiz con los cuadrados nos conduce a h3 h b c a displaystyle h frac b c a Donde h es la altura relativa a la hipotenusa b y c los catetos y a la hipotenusa La ecuacion h3 nos permite establecer el enunciado forma 2 del teorema Teorema de la altura forma 2 En todo triangulo rectangulo la altura h relativa a la hipotenusa es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a Teorema del cateto Editar Figura 1 Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa El teorema del cateto establece lo siguiente Teorema del cateto En todo triangulo rectangulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccion de ese cateto sobre la hipotenusa Este teorema vease Figura 1 puede expresarse matematicamente para cada uno de sus dos catetos como b 2 c m displaystyle b 2 c m a 2 c n displaystyle a 2 c n Donde m y n son respectivamente las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c Demostracion Editar Sea el triangulo DABC rectangulo en C dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c La altura h determina los segmentos m y n que son respectivamente las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa Los triangulos rectangulos DABC DACH y DBCH tienen iguales sus angulos y por lo tanto son semejantes Todos tienen un angulo recto Los angulos B y ACH son iguales por ser agudos por abarcar un mismo arco y tener sus lados perpendiculares Igualmente sucede con los angulos A y BCH Figura 1 Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa Puesto que en las figuras semejantes los lados homologos son proporcionales tendremos que Por la semejanza entre los triangulos DACH y DABCb m c b displaystyle frac b m frac c b de donde b 2 c m displaystyle b 2 cm Por la semejanza entre los triangulos DBCH y DABC a n c a displaystyle frac a n frac c a a 2 c n displaystyle a 2 cn y el teorema queda demostrado Corolario Editar Corolario 1 En todo triangulo rectangulo la longitud de la proyeccion ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior para deducir el corolario 1 basta con despejar en cada una de ellas la respectiva variable de su proyeccion ortogonal siendo estas m y n b 2 c m a 2 c n displaystyle b 2 c m a 2 c n en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del corolario 1 m b 2 c n a 2 c displaystyle m frac b 2 c n frac a 2 c donde m es la proyeccion ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c vease figura 1 y n es la proyeccion ortogonal del cateto a tambien sobre la hipotenusa c Razones trigonometricas Editar En un triangulo rectangulo las razones trigonometricas del angulo a displaystyle alpha con vertice en A son El seno la razon entre el cateto opuesto y la hipotenusa sen a a c displaystyle text sen alpha frac a c dd dd El coseno la razon entre el cateto adyacente y la hipotenusa cos a b c displaystyle cos alpha frac b c dd dd La tangente la razon entre el cateto opuesto y el adyacente tan a a b displaystyle tan alpha frac a b dd dd Area Editar fig ar1 Relacion entre el rectangulo y dos de las tres alturas la de los catetos de un triangulo rectangulo Se puede considerar el area de un triangulo rectangulo como la mitad del area de un rectangulo partido por su diagonal vease fig ar1 o un cuadrado si el triangulo rectangulo es ademas isosceles A1 A b a 2 displaystyle A frac b cdot a 2 donde a y b de la ecuacion A1 representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectangulo vease fig ar1 En todo triangulo rectangulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro Asumiendo que a cateto1 y b cateto2 se puede escribir una version equivalente de ecuacion A1 de la siguiente manera A c a t e t o 1 c a t e t o 2 2 displaystyle A frac cateto1 cdot cateto2 2 La demostracion anterior es solo un caso especial restringido de una mucho mas general que vale para todo triangulo no solo para los triangulos rectangulos Y esta es la proposicion I 41 2 de Euclides la cual se basa en el concepto mas general de paralelogramo y no se restringe al rectangulo Dicha proposicion I 41 extiende la validez de la ecuacion A1 a todo triangulo Relaciones metricas en el triangulo oblicuangulo EditarEuclides vio un inconveniente cita requerida en un triangulo rectangulo c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 cuanto deberia valer numericamente el lado a en un triangulo oblicuangulo Euclides despejo su duda con la primera ley de Euclides para los triangulos oblicuangulos Primer teorema de Euclides Editar En cualquier triangulo el cuadrado del lado opuesto a un angulo agudo equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyeccion del otro sobre el 3 4 a 2 c 2 b 2 2 b n displaystyle a 2 c 2 b 2 2 b n siendo n la proyeccion de c sobre ba 2 c 2 b 2 2 c p displaystyle a 2 c 2 b 2 2 c p donde p es la proyeccion de b sobre cDemostracion Editar Euclides noto que aunque no se generen triangulos semejantes al trazar la altura se generan dos triangulos rectangulos en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitagoras empezamos en el triangulo de la izquierda a 2 h 2 m 2 displaystyle a 2 h 2 m 2 dd dd luego despejamos la altura h 2 a 2 m 2 displaystyle h 2 a 2 m 2 dd dd pero m b n h 2 a 2 b n 2 displaystyle h 2 a 2 b n 2 dd dd en el triangulo de la derecha c 2 h 2 n 2 displaystyle c 2 h 2 n 2 dd dd despejando la altura h 2 c 2 n 2 displaystyle h 2 c 2 n 2 dd dd eso quiere decir que a 2 b n 2 c 2 n 2 displaystyle a 2 b n 2 c 2 n 2 dd dd elevando el binomio al cuadrado a 2 b 2 2 b n n 2 c 2 n 2 displaystyle a 2 b 2 2 b n n 2 c 2 n 2 dd dd simplificando a 2 b 2 2 b n c 2 displaystyle a 2 b 2 2 b n c 2 dd dd despejando a 2 b 2 c 2 2 b n displaystyle a 2 b 2 c 2 2 b n dd dd analogamente c 2 a 2 b 2 2 b m displaystyle c 2 a 2 b 2 2 b m dd dd Segundo teorema de Euclides Editar En un triangulo obtusangulo el lado opuesto al angulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos mas el doble de la base por la proyeccion de la altura trazada desde uno de los angulos menores a 2 c 2 b 2 2 b n displaystyle a 2 c 2 b 2 2 b n dd dd Demostracion Editar Euclides noto que al trazar la altura exterior se generan dos triangulos rectangulos AHC y BCH Nos fijamos en el mas pequeno AHC c 2 h 2 n 2 displaystyle c 2 h 2 n 2 dd dd Despejando la altura resulta c 2 n 2 h 2 displaystyle c 2 n 2 h 2 dd dd Pasemos al triangulo BHC a 2 h 2 b n 2 displaystyle a 2 h 2 b n 2 dd dd Despejando la altura queda a 2 b n 2 h 2 displaystyle a 2 b n 2 h 2 dd dd Eso quiere decir que a 2 b n 2 c 2 n 2 displaystyle a 2 b n 2 c 2 n 2 dd dd Elevando el binomio al cuadrado a 2 b 2 2 b n n 2 c 2 n 2 displaystyle a 2 b 2 2 b n n 2 c 2 n 2 dd dd y simplificando a 2 b 2 2 b n c 2 displaystyle a 2 b 2 2 b n c 2 dd dd Despejando a a 2 c 2 b 2 2 b n displaystyle a 2 c 2 b 2 2 b n dd dd Calculo de las lineas notables de un triangulo EditarA partir de los dos teoremas anteriores se deriva formulas para el calculo de las lineas notables de un triangulo A continuacion vamos a ver estos 5 teoremas con su comprobacion Teorema de Stewart calculo de la ceviana Editar Articulo principal Teorema de stewart Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triangulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyeccion del cateto opuesto mas la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyeccion del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicacion de las proyecciones de los catetos y la base Su formulacion matematica es d 2 a n c 2 m b 2 n m a displaystyle d 2 a nc 2 mb 2 nma Donde b y c son los lados laterales respecto a la ceviana d correspondiente al lado a n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana Teorema de la mediana Editar fig m1 Esquema con areas a 2 b 2 1 2 c 2 2 M 2 displaystyle scriptstyle color Red a 2 color Orange b 2 color Blue frac 1 2 c 2 color OliveGreen 2 M 2 Articulo principal Teorema de Apolonio En geometria el teorema de Apolonio tambien llamado teorema de la mediana es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triangulo con las longitudes de sus lados Teorema de Apolonio teorema de la mediana Para todo triangulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado mas el doble del cuadrado de su mediana correspondiente Apolonio de PergaPara cualquier triangulo DABC vease fig m1 si M es la mediana correspondiente al lado c donde AP PB c entonces a 2 b 2 1 2 c 2 2 M 2 displaystyle a 2 b 2 frac 1 2 c 2 2 M 2 Del teorema de Apolonio tambien llamado teorema de la mediana pueden deducirse varias formulas practicas validas para cualquier triangulo estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos a un cuarto elemento desconocido los elementos en cuestion son lados y medianas La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas con notacion acorde a la figura de la propia tabla Triangulos Medianas formulas practicas II M a 1 2 2 b 2 c 2 a 2 displaystyle M a frac 1 2 sqrt 2 left b 2 c 2 right a 2 M b 1 2 2 a 2 c 2 b 2 displaystyle M b frac 1 2 sqrt 2 left a 2 c 2 right b 2 M c 1 2 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle M c frac 1 2 sqrt 2 left a 2 b 2 right c 2 a 2 b 2 c 2 4 M a 2 displaystyle a sqrt 2 left b 2 c 2 right 4M a 2 b a 2 2 c 2 2 M a 2 displaystyle b sqrt frac a 2 2 c 2 2M a 2 c a 2 2 b 2 2 M a 2 displaystyle c sqrt frac a 2 2 b 2 2M a 2 a b 2 2 c 2 2 M b 2 displaystyle a sqrt frac b 2 2 c 2 2M b 2 b 2 a 2 c 2 4 M b 2 displaystyle b sqrt 2 left a 2 c 2 right 4M b 2 c a 2 b 2 2 2 M b 2 displaystyle c sqrt a 2 frac b 2 2 2M b 2 a b 2 c 2 2 2 M c 2 displaystyle a sqrt b 2 frac c 2 2 2M c 2 b a 2 c 2 2 2 M c 2 displaystyle b sqrt a 2 frac c 2 2 2M c 2 c 2 a 2 b 2 4 M c 2 displaystyle c sqrt 2 left a 2 b 2 right 4M c 2 Lados a b y c Medianas Ma Mb y Mc 5 Semilados ma na a mb nb b y mc nc c Caso particular Editar Articulo principal Teorema de Tales En un triangulo rectangulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta vease Corolario 1 del teorema segundo de Tales asumiremos para la ecuacion siguiente que dicha hipotenusa se denomina c M c c 2 displaystyle M c frac c 2 Donde M es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada c Simedianas de un triangulo Editar donde s a s b s c displaystyle s a s b s c son las simedianas respecto a los lados a b c displaystyle a b c de un triangulo 6 s a b c b 2 c 2 2 b 2 c 2 a 2 displaystyle s a frac bc b 2 c 2 sqrt 2 b 2 c 2 a 2 s b a c a 2 c 2 2 a 2 c 2 b 2 displaystyle s b frac ac a 2 c 2 sqrt 2 a 2 c 2 b 2 s c a b a 2 b 2 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle s c frac ab a 2 b 2 sqrt 2 a 2 b 2 c 2 Teorema de la bisectriz interior Editar Teorema de la bisectriz interior La bisectriz interior de un triangulo al cuadrado es igual al producto de los lados menos el producto de los segmentos de la base determinados por la bisectriz x 2 a c m n displaystyle x 2 a cdot c m cdot n Donde X Bisectriz interior Demostracion Editar por el teorema de semejanza en la bisectriz interiora m c n displaystyle frac a m frac c n despejandoa n c m displaystyle a cdot n c cdot m por el teorema de Stewart X 2 m n a 2 n c 2 m m n m n displaystyle X 2 m n a 2 n c 2 m m n mn reemplazando an por cnX 2 m n a c m a c n m n m n displaystyle X 2 m n acm acn m n mn despejandox 2 a c m n displaystyle x 2 a cdot c m cdot n Teorema de la bisectriz exterior Editar La bisectriz exterior de un triangulo al cuadrado es igual al producto de los segmentos deteriminados por la bisectriz menos el producto de los lados x 2 m n a c displaystyle x 2 m cdot n a cdot c Donde X Bisectriz exterior Demostracion Editar Recordando el teorema de semejanza en la bisectriz interiora m c n displaystyle frac a m frac c n despejandoa n c m displaystyle a cdot n c cdot m Luego ejecutando el teorema de Stewart a 2 m X 2 m n c 2 n m n m n displaystyle a 2 m X 2 m n c 2 n m n mn reemplazando an por cn a c m X 2 m n a c n m n m n displaystyle acm X 2 m n acn m n mn luegoa c m n X 2 m n a c m m n m n displaystyle ac m n X 2 m n acm m n mn despejando resulta que x 2 m n a c displaystyle x 2 m cdot n a cdot c Teorema de la altura Editar Tambien conocido como el teorema de Heron La altura de un triangulo es igual a H b 2 b s s a s b s c displaystyle Hb frac 2 b sqrt s s a s b s c Demostracion Editar Aplicando el primer teorema de Euclides a 2 b 2 c 2 2 b H C displaystyle a 2 b 2 c 2 2 cdot b cdot HC dd dd despejando HC H C 1 2 b b 2 c 2 a 2 displaystyle HC frac 1 2b b 2 c 2 a 2 Aplicando el teorema de Pitagoras en el triangulo BHC H b 2 c 2 H C 2 displaystyle Hb 2 c 2 HC 2 Aplicando diferencia de cuadradosH b 2 c H C c H C displaystyle Hb 2 c HC c HC transformando HCH b 2 c 1 2 b b 2 c 2 a 2 c 1 2 b b 2 c 2 a 2 displaystyle Hb 2 c frac 1 2b b 2 c 2 a 2 c frac 1 2b b 2 c 2 a 2 Sumando H b 2 1 2 b b 2 2 b c c 2 a 2 1 2 b b 2 2 b c c 2 a 2 displaystyle Hb 2 frac 1 2b b 2 2bc c 2 a 2 frac 1 2b b 2 2bc c 2 a 2 ejecutando el binomio al cuadrado H b 2 1 2 b b c 2 a 2 1 2 b b c 2 a 2 displaystyle Hb 2 frac 1 2b b c 2 a 2 frac 1 2b b c 2 a 2 ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el 2 b 2 displaystyle 2b 2 4 b 2 H b 2 b c a b c a a b c a b c displaystyle 4b 2 Hb 2 b c a b c a a b c a b c para a b c 2p4 b 2 H b 2 16 p p a p c p b displaystyle 4b 2 Hb 2 16 p p a p c p b despejando la altura expulsa queH b 2 b s s a s b s c displaystyle Hb frac 2 b sqrt s s a s b s c Teoremas auxiliares en los cuadrilateros EditarTeorema de Ptolomeo Editar En todo cuadrilatero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos del cuadrilateroD 1 D 2 a c b d displaystyle D1 cdot D2 ac bd Donde D1 D2 Diagonales del cuadrilateroa b c d Lados del cuadrilatero Teorema de Viette Editar En todo cuadrilatero inscrito la relacion de las diagonales es igual a la relacion entre la suma de los productos de las longitud de sus lados que forman a los extremos de las diagonales D 1 D 2 a d b c a b c d displaystyle frac D1 D2 frac ad bc ab cd Donde D1 D2 Diagonales del cuadrilateroa b c d Lados del cuadrilatero Teorema de Euler Editar En todo cuadrilatero convexo la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales mas el cuadruple del cuadrado del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales a 2 b 2 c 2 d 2 d 1 2 d 2 2 4 m 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 d 1 2 d 2 2 4m 2 Siendo d 1 d 2 displaystyle d 1 d 2 diagonales del cuadrilateroa b c d displaystyle a b c d lados del cuadrilaterom segmento que une los puntos medios de las diagonales Vease tambien EditarCateto Ceviana Euclides Euler Heron Hipotenusa Teorema de Apolonio teorema de la mediana Teorema de la altura Teorema de Pitagoras Teorema de Stewart calculo de la ceviana Teorema de Tales Triangulacion Triangulo Triangulo de Kepler Triangulo sagrado egipcio TrigonometriaNotas y referencias EditarNotas Milton Donaire Formas y numeros 978 612 45279 9 9 Euclides Los Elementos proposicion I 41 Si un paralelogramo tiene la misma base que un triangulo y esta contenido entre las mismas paralelas el paralelogramo es el doble del triangulo G M Bruno Geometria Superior Madrid 17ª edicion No se exige que un triangulo sea acutangulo sino se refiere al lado opuesto de un angulo agudo que siempre por lo menos uno existe Deplanche Y Diccio formulas 1996 Edunsa publ Medianas de un triangulo pag 25 1 isbn 9788477471196 M Garcia Ardura Problemas graficos y numericos de geometria Decimocuarta edicion Madrid Referencias Geometria segunda edicion proyecto ingenio Enlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una galeria multimedia sobre Relaciones metricas en el triangulo Datos Q6104929Obtenido de https es wikipedia org w index php title Relaciones metricas en el triangulo amp oldid 134888953 Teorema del cateto, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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