En geometría el Teorema de la rotación de Euler dice que, en un espacio tridimensional, cualquier movimiento de un sólido rígido que mantenga un punto constante, también debe dejar constante un eje completo. Esto también quiere decir que cualquier composición de rotaciones sobre un sólido rígido con ejes arbitrarios es equivalente a una sola rotación sobre un nuevo eje, llamado Polo de Euler. Al ser la combinación de rotaciones otra rotación, el conjunto de las operaciones de rotación tiene una estructura algebraica conocida como grupo. En concreto al grupo de rotaciones se le conoce como "grupo especial ortogonal de dimensión 3" o SO(3)
El teorema toma su nombre de Leonhard Euler, que lo demostró en 1775 con un argumento geométrico. La extensión de este concepto a la cinemática da el concepto de Eje instantáneo de rotación.
En términos de álgebra lineal, esto también quiere decir que el producto de dos matrices de rotación es también una matriz de rotación y que todas ellas tienen un único autovalor real que debe ser la unidad.
Teorema de Rotación de Euler (1776)
Construcción mostrando los puntos del teorema para una esfera cuyos ángulos de Euler son [ψ,θ,φ]. El triedro azul es solidario a la esfera fija y el rojo a la rotada. La línea de nodos N muestra el punto A del teorema. Los arcos Aa y Aα son necesariamente iguales
Euler enuncia su teorema de la siguiente forma:[1]
Theorema. Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest diameter, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.
que en traducción libre sería:
Rotando una esfera de forma arbitraria alrededor de su centro, siempre es posible encontrar un diámetro cuya posición tras la rotación es igual que la inicial.
Para probar esto Euler primero toma un círculo máximo de la esfera fija y el círculo máximo correspondiente tras la rotación en la esfera rotada. Estos dos círculos se intersecan en dos puntos opuestos. Se escoge uno cualquiera A. Este punto está en el círculo inicial luego es transportado a otro punto a del segundo círculo. Pero también, A está en el círculo transportado, y por tanto corresponde a un punto α en el círculo inicial. En este punto, nótese que el arco aA debe ser igual al arco Aα.
Ahora Euler necesita un punto O en la superficie de la esfera situado de forma simétrica respecto de a y A. Si tal punto existe debe cumplir:
las distancias OA y Oa son iguales; los arcos Oa y OA también;
los arcos OA y Oa deben estar igualmente inclinados hacia los círculos y los arcos OAa y OAα deben ser iguales.
Euler define dos planos:
el de simetría del ángulo αAa (que pasa por el centro C de la esfera), y
el de simetría del arco Aa (que también pasa por C).
Proposición. Estos dos planos se intersecan en un diámetro de la esfera, el cual permanece fijo tras el movimiento.
Dem. Los planos se intersecan en un diámetro porque ambos pasan por el centro de la esfera. Sea O cualquiera de los puntos (hay dos) de corte del diámetro con la superficie de la esfera. Como αA se mueve a Aa y los triángulos tienen los mismos ángulos, el triángulo OαA se convierte en el triángulo OAa. Por tanto O debe permanecer fijo tras el movimiento. Lo mismo para el centro de la esfera y el punto antípoda de O.
Demostración algebraica
Una demostración matricial es posible teniendo en cuenta que una rotación se representa por una matriz ortogonal, es decir, una tal que:
donde E es la identidad y T indica la traspuesta. Una matriz ortogonal tiene determinante ±1, siendo el +1 el característico de las de rotaciones.
La matriz de rotación R tiene al menos un autovector n con autovalor λ = 1.
tenemos
luego λ = 1 es raíz de la ecuación
Habrá al menos un vector n, para el que
La línea dada por el espacio de todos los autovectores del autovalor 1 es el eje de Euler. Este teorema solo es válido cuando la dimensión del espacio real considerado es mayor estrictamente que 2 (es bastante evidente que la dimensión ha de cumplir la condición anterior porque en el plano bidimensional no queda ningún eje invariante bajo rotaciones).
La prueba algebraica de que esto no puede darse en el plano bidimensional es la siguiente: si consideramos la matriz por antonomasia de SO(2), la matriz de rotación, y le aplicamos la ecuación que iguala a 0 el polinomio característico de la transformación, tenemos que:
Esta conclusión nos informa del hecho que no existe ninguna rotación (solamente la nula -que puede no considerarse rotación desde el punto de vista del movimiento-) tal que un autovalor de la matriz sea la unidad. Esto prueba que el teorema de rotación de Euler no tiene análogo en el plano, como cabía esperar.
Notas
Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, pp. 189-207 (E478)
Datos:Q681406
Multimedia:Euler's rotation theorem
Agosto 05, 2021
teorema, rotación, euler, geometría, teorema, rotación, euler, dice, espacio, tridimensional, cualquier, movimiento, sólido, rígido, mantenga, punto, constante, también, debe, dejar, constante, completo, esto, también, quiere, decir, cualquier, composición, ro. En geometria el Teorema de la rotacion de Euler dice que en un espacio tridimensional cualquier movimiento de un solido rigido que mantenga un punto constante tambien debe dejar constante un eje completo Esto tambien quiere decir que cualquier composicion de rotaciones sobre un solido rigido con ejes arbitrarios es equivalente a una sola rotacion sobre un nuevo eje llamado Polo de Euler Al ser la combinacion de rotaciones otra rotacion el conjunto de las operaciones de rotacion tiene una estructura algebraica conocida como grupo En concreto al grupo de rotaciones se le conoce como grupo especial ortogonal de dimension 3 o SO 3 El teorema toma su nombre de Leonhard Euler que lo demostro en 1775 con un argumento geometrico La extension de este concepto a la cinematica da el concepto de Eje instantaneo de rotacion En terminos de algebra lineal esto tambien quiere decir que el producto de dos matrices de rotacion es tambien una matriz de rotacion y que todas ellas tienen un unico autovalor real que debe ser la unidad Teorema de Rotacion de Euler 1776 Editar Construccion mostrando los puntos del teorema para una esfera cuyos angulos de Euler son ps 8 f El triedro azul es solidario a la esfera fija y el rojo a la rotada La linea de nodos N muestra el punto A del teorema Los arcos Aa y Aa son necesariamente iguales Euler enuncia su teorema de la siguiente forma 1 Theorema Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur semper assignari potest diameter cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali que en traduccion libre seria Rotando una esfera de forma arbitraria alrededor de su centro siempre es posible encontrar un diametro cuya posicion tras la rotacion es igual que la inicial Para probar esto Euler primero toma un circulo maximo de la esfera fija y el circulo maximo correspondiente tras la rotacion en la esfera rotada Estos dos circulos se intersecan en dos puntos opuestos Se escoge uno cualquiera A Este punto esta en el circulo inicial luego es transportado a otro punto a del segundo circulo Pero tambien A esta en el circulo transportado y por tanto corresponde a un punto a en el circulo inicial En este punto notese que el arco aA debe ser igual al arco Aa Ahora Euler necesita un punto O en la superficie de la esfera situado de forma simetrica respecto de a y A Si tal punto existe debe cumplir las distancias OA y Oa son iguales los arcos Oa y OA tambien los arcos OA y Oa deben estar igualmente inclinados hacia los circulos y los arcos OAa y OAa deben ser iguales Euler define dos planos el de simetria del angulo aAa que pasa por el centro C de la esfera y el de simetria del arco Aa que tambien pasa por C Proposicion Estos dos planos se intersecan en un diametro de la esfera el cual permanece fijo tras el movimiento Dem Los planos se intersecan en un diametro porque ambos pasan por el centro de la esfera Sea O cualquiera de los puntos hay dos de corte del diametro con la superficie de la esfera Como aA se mueve a Aa y los triangulos tienen los mismos angulos el triangulo OaA se convierte en el triangulo OAa Por tanto O debe permanecer fijo tras el movimiento Lo mismo para el centro de la esfera y el punto antipoda de O Demostracion algebraica EditarUna demostracion matricial es posible teniendo en cuenta que una rotacion se representa por una matriz ortogonal es decir una tal que R T R R R T E displaystyle mathbf R mathrm T mathbf R mathbf R mathbf R mathrm T mathbf E donde E es la identidad y T indica la traspuesta Una matriz ortogonal tiene determinante 1 siendo el 1 el caracteristico de las de rotaciones 1 det E det R T R det R T det R det R 2 det R 1 displaystyle 1 det mathbf E det mathbf R mathrm T mathbf R det mathbf R mathrm T det mathbf R det mathbf R 2 quad Longrightarrow quad det mathbf R pm 1 La matriz de rotacion R tiene al menos un autovector n con autovalor l 1 det R 1 3 det R det R and det R 1 1 displaystyle det mathbf R 1 3 det mathbf R det mathbf R quad hbox and quad det mathbf R 1 1 tenemos det R E det R E T det R T E det R 1 E det R 1 R E det R 1 det R E det R E det R E 0 displaystyle begin aligned det mathbf R mathbf E amp det big mathbf R mathbf E mathrm T big det big mathbf R mathrm T mathbf E big det big mathbf R 1 mathbf E big det big mathbf R 1 mathbf R mathbf E big amp det mathbf R 1 det mathbf R mathbf E det mathbf R mathbf E quad Longrightarrow quad det mathbf R mathbf E 0 end aligned luego l 1 es raiz de la ecuacion det R l E 0 for l 1 displaystyle det mathbf R lambda mathbf E 0 quad hbox for quad lambda 1 Habra al menos un vector n para el que R E n 0 R n n displaystyle mathbf R mathbf E mathbf n mathbf 0 quad Longleftrightarrow quad mathbf R mathbf n mathbf n La linea dada por el espacio de todos los autovectores del autovalor 1 es el eje de Euler Este teorema solo es valido cuando la dimension del espacio real considerado es mayor estrictamente que 2 es bastante evidente que la dimension ha de cumplir la condicion anterior porque en el plano bidimensional no queda ningun eje invariante bajo rotaciones La prueba algebraica de que esto no puede darse en el plano bidimensional es la siguiente si consideramos la matriz por antonomasia de SO 2 la matriz de rotacion y le aplicamos la ecuacion que iguala a 0 el polinomio caracteristico de la transformacion tenemos que det R sin 2 8 cos 2 8 2 cos 8 1 0 1 cos 8 0 8 0 displaystyle det R sin 2 theta cos 2 theta 2 cos theta 1 0 Rightarrow 1 cos theta 0 Rightarrow theta 0 Esta conclusion nos informa del hecho que no existe ninguna rotacion solamente la nula que puede no considerarse rotacion desde el punto de vista del movimiento tal que un autovalor de la matriz sea la unidad Esto prueba que el teorema de rotacion de Euler no tiene analogo en el plano como cabia esperar Notas Editar Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20 1776 pp 189 207 E478 Datos Q681406 Multimedia Euler s rotation theoremObtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de rotacion de Euler amp oldid 132912744, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
