Teorema de Hellmann-Feynman

En mecánica cuántica, el teorema de Hellmann–Feynman relaciona la derivada de la energía total de un sistema con respecto a un parámetro con el valor esperado de la derivada del hamiltoniano con respecto al mismo parámetro. Su aplicación más común es el cálculo de fuerzas en moléculas, donde los parámetros son las posiciones de los núcleos, en lo que se conoce como mecánica molecular: una vez se resuelve la ecuación de Schrödinger, todas las fuerzas se pueden calcular usando conceptos de electromagnetismo clásico.

El teorema ha sido probado independientemente por muchos autores, incluyendo a Paul Güttinger (1932),^[1]​ Wolfgang Pauli (1933),^[2]​ Hans Hellmann (1937)^[3]​ y Richard Feynman (1939).^[4]​

El teorema es el siguiente:

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial {\lambda }}}=\int {\psi ^{*}(\lambda ){\frac {\partial {{\hat {H}}_{\lambda }}}{\partial {\lambda }}}\psi (\lambda )\ d\tau },}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial {\lambda }}}={\frac {\langle \psi |{\frac {\partial {{\hat {H}}_{\lambda }}}{\partial {\lambda }}}|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}$

donde:

• ${\displaystyle {\hat {H}}_{\lambda }}$ es un operador hamiltoniano que depende de un parámetro continuo ${\displaystyle \lambda \,}$,
• ${\displaystyle \psi (\lambda )\,}$ es una función de ondas, función propia del hamiltoniano, que depende implícitamente de ${\displaystyle \lambda \,}$,
• ${\displaystyle E\,}$ es la energía del sistema, valor propio de la función de ondas,
• ${\displaystyle d\tau \,}$ implica una integración sobre todo el dominio de la función de ondas.

Referencias

1. Güttinger, P. (1932). Z. Phys. 73: 169. 
2. Pauli, W. (1933). Handbuch der Physik. Berlin: Springer. p. 162. 
3. Hellmann, H (1937). Einführung in die Quantenchemie. Leipzig: Franz Deuticke. p. 285. 
4. Feynman, R. P. (1939). «Forces in Molecules». Phys. Rev. 56 (4): 340. doi:10.1103/PhysRev.56.340. 

•   Datos: Q906809