El teorema de Cantor, de Georg Cantor, es un resultado formalizable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel, que afirma lo siguiente:
El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A.
Discusión
El teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos: si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto de partes de ese conjunto tiene 2n elementos. El hecho de que sea válido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes:
Existe una infinidad de cardinales transfinitos, lo cual significa que en realidad existen muchos tipos de infinito (de hecho una infinidad) cada uno mayor que el anterior. Este resultado a priori es muy poco intuitivo, pero tremendamente importante en la fundamentación de las matemáticas.
No existe ninguna manera de enumerar todos los subconjuntos de .
Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuación una demostración.
Demostración
Consideremos una función cualquiera , entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no es sobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un subconjunto particular B definido como:
Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de A. El argumento que construyó Cantor es por reducción al absurdo presuponiendo que existe , puesto que B es un subconjunto de A. Ahora podemos distinguir dos casos:
Si , entonces por la definición de B se tiene que , lo cual es contradictorio.
Si , entonces por la definición de B se tiene que , lo cual es contradictorio.
En ambos casos llegamos a una contradicción, por tanto no existe dicha a y entonces f (que es una función cualquiera) no es sobreyectiva, como queríamos demostrar.
Referencia
Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Datos:Q474881
Multimedia:Cantor's theorem
Agosto 05, 2021
teorema, cantor, teorema, cantor, georg, cantor, resultado, formalizable, teoría, conjuntos, zermelo, fränkel, afirma, siguiente, conjunto, potencia, cualquier, conjunto, tiene, cardinalidad, estrictamente, mayor, cardinalidad, propio, discusión, editarel, teo. El teorema de Cantor de Georg Cantor es un resultado formalizable en la teoria de conjuntos de Zermelo Frankel que afirma lo siguiente El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A Discusion EditarEl teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto de partes de ese conjunto tiene 2n elementos El hecho de que sea valido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo pero permite establecer varios resultados interesantes Existe una infinidad de cardinales transfinitos lo cual significa que en realidad existen muchos tipos de infinito de hecho una infinidad cada uno mayor que el anterior Este resultado a priori es muy poco intuitivo pero tremendamente importante en la fundamentacion de las matematicas No existe ninguna manera de enumerar todos los subconjuntos de N displaystyle mathbb N Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuacion una demostracion Demostracion EditarConsideremos una funcion cualquiera f A P A displaystyle f A to mathcal P A entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no es sobreyectiva exhaustiva Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningun elemento de A a traves de f Cantor considero un subconjunto particular B definido como B x A x f x displaystyle B left x in A x not in f x right Y probo que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningun elemento de A El argumento que construyo Cantor es por reduccion al absurdo presuponiendo que existe a A B f a displaystyle a in A B f a puesto que B es un subconjunto de A Ahora podemos distinguir dos casos Si a B displaystyle a in B entonces por la definicion de B se tiene que a B displaystyle a notin B lo cual es contradictorio Si a B displaystyle a notin B entonces por la definicion de B se tiene que a B displaystyle a in B lo cual es contradictorio En ambos casos llegamos a una contradiccion por tanto no existe dicha a y entonces f que es una funcion cualquiera no es sobreyectiva como queriamos demostrar Referencia EditarPaul Halmos Naive set theory Princeton NJ D Van Nostrand Company 1960 Reprinted by Springer Verlag New York 1974 ISBN 0 387 90092 6 Springer Verlag edition Jech Thomas 2003 Set Theory The Third Millennium Edition Revised and Expanded Springer ISBN 3 540 44085 2 Datos Q474881 Multimedia Cantor s theoremObtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Cantor amp oldid 128407343, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
