Superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

Superficie de revolución.

• Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.

• Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.

• Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

• Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Aplicaciones

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Área de una superficie de revolución

Si la curva está definida por las funciones ${\displaystyle x(t)}$  y ${\displaystyle y(t)}$ , perteneciendo ${\displaystyle t}$  a un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$  y siendo el eje de revolución el eje coordenado ${\displaystyle Y}$ , el área ${\displaystyle A}$  estará dada, entonces, por la integral

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({{\text{d}}x \over {\text{d}}t}\right)^{2}+\left({{\text{d}}y \over {\text{d}}t}\right)^{2}}}\,{\text{d}}t}$ 

siendo ${\displaystyle x(t)}$  siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

${\displaystyle \left({{\text{d}}x \over {\text{d}}t}\right)^{2}+\left({{\text{d}}y \over {\text{d}}t}\right)^{2}}$ 

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad ${\displaystyle 2\pi x(t)}$  es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función ${\displaystyle y=f(x)}$ , la integral se transforma en

${\displaystyle A=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}\,{\text{d}}x,\ {\mbox{para}}\qquad x_{1}=x(t=a),{\mbox{y }}x_{2}=x(t=b)}$ 

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y

${\displaystyle A=2\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}x{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}y}}\right)^{2}}}\,{\text{d}}y,\ {\mbox{para}}\qquad y_{1}=f(x_{1}),{\mbox{y }}y_{2}=f(x_{2})}$ 

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva ${\displaystyle x(t)=cos(t)}$  y ${\displaystyle y(t)=sen(t)}$  cuando ${\displaystyle t}$  toma valores en el intervalo ${\displaystyle [0,\pi ]}$ . Su área, por tanto, será

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,{\text{d}}t=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,{\text{d}}t=4\pi }$ 

Geometría diferencial de superficies de revolución

Artículo principal: Geometría diferencial de superficies

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(\rho (u)\cos v,\rho (u)\sin v,h(u))\quad {\mbox{con}}\ v\in [0,2\pi )}$ 

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

${\displaystyle [I_{kl}(u,v)]={\begin{pmatrix}E(u,v)&F(u,v)\\F(u,v)&G(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho _{u}^{2}(u)+h_{u}^{2}(u)&0\\0&\rho ^{2}(u)\end{pmatrix}}}$ 

Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

${\displaystyle [II_{kl}(u,v)]={\begin{pmatrix}L(u,v)&M(u,v)\\M(u,v)&N(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\rho _{u}h_{uu}-\rho _{uu}h_{u}}{\sqrt {E}}}&0\\0&{\frac {\rho h_{u}}{\sqrt {E}}}\end{pmatrix}}}$ 

Véase también

• Sólido de revolución
• Cuerno de Gabriel

Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Superficie de revolución». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q849425
•   Multimedia: Surfaces of revolution