donde la suma es sobre los elementos r de algún anillo conmutativo finito R, ψ(r) es un homomorfismo de grupos del grupo aditivoR+ sobre el círculo unitario, y χ(r) es un homomorfismo de grupo del grupo unitarioR× dentro del círculo, extendido a r no unitario, donde éste toma el valor de 0. Las sumas gaussianas son los análogos para campos finitos de la función gamma.
El caso original que fue estudiado por Carl Friedrich Gauss fue el de las suma gaussiana cuadrática, siendo R el campo de los residuos módulo un número primo p, y χ el símbolo de Legendre. En este caso Gauss probó que G(χ) = p1/2 o ip1/2 respectivamente si p es congruente con 1 o 3 módulo 4.
Una forma alternativa para esta suma gaussiana es:
Las sumas gaussianas cuadráticas están íntimamente relacionadas con la teoría de las funciones theta.
La teoría general de las sumas gaussianas fue desarrollada a principios del siglo XIX, con el uso de sumas de Jacobi y su descomposición en factores primos sobre campos ciclotómicos. Las sumas de conjuntos donde χ toma un valor particular, donde el anillo subyacente es el anillo de residuos módulo un número entero N, son descritas por la teoría de periodos gaussianos.
El valor absoluto de las sumas gaussianas es usualmente determinado como una aplicación del teorema de Plancherel sobre cuerpos finitos. En el caso donde R es un cuerpo de p elementos y χ es no trivial, el valor absoluto es p1/2. La determinación del valor exacto de las sumas de Gauss generalizadas, del cual se obtiene el resultado de Gauss para el caso cuadrático, es un problema de larga discusión. Para algunos casos se puede utilizar sumas de Kummer.
Véase también
Teorema de Stickelberger
Relación de Hasse-Davenport
Teorema de Chowla-Mordell
Referencias
Ireland and Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag. ISBN0-387-97329-X.
B. C. Berndt, R. J. Evans, K. S. Williams (1998). Gauss and Jacobi Sums. Wiley. ISBN0-471-12807-4.
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