Subespacios fundamentales de una matriz

Sea ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{m\times n}\,\,(\Bbbk =\Re \,\,o\,\,\mathbb {C} )}$ una matriz con coeficientes ${\displaystyle a_{ij}\in \Bbbk }$. Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de ${\displaystyle A\,}$, respectivamente, como:

1. ${\displaystyle Col(A)=gen{\Big \{}[a_{11}\quad \cdots \quad a_{m1}]^{T},\quad \cdots \quad ,\,\,[a_{1n}\quad \cdots \quad a_{mn}]^{T}{\Big \}},\quad Col(A)\subseteq \Bbbk ^{m}}$
2. ${\displaystyle Fil(A)=gen{\Big \{}[a_{11}\quad \cdots \quad a_{1n}]^{T},\quad \cdots \quad ,\,\,[a_{m1}\quad \cdots \quad a_{mn}]^{T}{\Big \}},\quad Fil(A)\subseteq \Bbbk ^{n}}$
3. ${\displaystyle Nul(A)={\Big \{}x\in \Bbbk ^{n}:\quad A\cdot x=0_{\Bbbk ^{m}}{\Big \}}}$

En donde ${\displaystyle 0_{\Bbbk ^{m}}}$ es el vector nulo del espacio vectorial ${\displaystyle \Bbbk ^{m}}$.

Ejemplos

1) Sea ${\displaystyle \mathbb {A} =\;{\begin{bmatrix}-1&1&0\\1&1&-2\\-2&1&1\\\end{bmatrix}}}$ . Entonces:

${\displaystyle Col(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 1\quad -2]^{T},\,\,[1\quad 1\quad 1]^{T},\,\,[0\quad -2\quad 1]^{T}{\Big \}}}$ 

${\displaystyle Fil(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 1\quad 0]^{T},\,\,[1\quad 1\quad -2]^{T},\,\,[-2\quad 1\quad 1]^{T}{\Big \}}}$ 

${\displaystyle Nul(A)=gen{\Big \{}[1\quad 1\quad 1]^{T}{\Big \}}}$ 

La matriz no tiene por qué ser cuadrada, veamos otro ejemplo:

2) Sea ${\displaystyle \mathbb {A} =\;{\begin{bmatrix}-1&2\\3&-6\\-2&4\\\end{bmatrix}}}$ . Entonces:

${\displaystyle Col(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 3\quad -2]^{T},\,\,[2\quad -6\quad 4]^{T}{\Big \}}}$ 

${\displaystyle Fil(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 2]^{T},\,\,[3\quad -6]^{T},\,\,[-2\quad 4]^{T}{\Big \}}}$ 

${\displaystyle Nul(A)=gen{\Big \{}[2\quad 1]^{T}{\Big \}}}$ 

Propiedades

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto interno canónico de ${\displaystyle \Bbbk ^{m}}$  o ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$ :

• ${\displaystyle Col(A^{T})=Fil(A)\,}$ 

• ${\displaystyle Fil(A^{T})=Col(A)\,}$ 

• ${\displaystyle Nul(A)\quad \bot \quad Fil(A)}$ 

• ${\displaystyle Col(A)\quad \bot \quad Nul(A^{T})}$ 

• ${\displaystyle dim\left(Col(A)\right)=dim\left(Col(A^{T})\right)=rango(A)=rango(A^{T})}$ 

• Si ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times n}\,}$  y además ${\displaystyle Col(A)\,}$  es un conjunto linealmente independiente, entonces ${\displaystyle det(A)\neq 0\,}$ . O sea, la matriz es invertible.

• Si ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times n}\,}$  y además ${\displaystyle dim(Nul(A))\geq 1}$ , entonces ${\displaystyle det(A)=0\,}$ . O sea, la matriz no es invertible.

• ${\displaystyle dim(Col(A))+dim(Nul(A))=n\,}$ 

• Sean ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times m}\,}$  y ${\displaystyle B\in \Bbbk ^{p\times n}\,}$ . Si ${\displaystyle x\in Col(BA)\implies \exists y:BAy=x\,}$ , si tomamos ${\displaystyle w=Ay}$  entonces, ${\displaystyle Bw=x\implies x\in Col(B)\,}$ . Por lo tanto, ${\displaystyle Col(BA)\subseteq Col(B)\,}$ . Además ${\displaystyle Col(B\cdot A)=Col(B)\,}$  si y sólo si ${\displaystyle rango(A)=n}$ .

• Sean ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times m}\,}$  y ${\displaystyle B\in \Bbbk ^{p\times n}\,}$  entonces ${\displaystyle \exists \,\,\,B\cdot A\in \Bbbk ^{p\times m}\,}$ . Entonces se ve que ${\displaystyle A\cdot x=0_{\Bbbk ^{n}}\Longleftrightarrow B\cdot A\cdot x=B\cdot 0_{\Bbbk ^{n}}=0_{\Bbbk ^{p}}}$ . Entonces ${\displaystyle Nul(A)\subseteq Nul(B\cdot A)}$  y ocurre que ${\displaystyle Nul(A)=Nul(B\cdot A)}$  si y sólo si ${\displaystyle rango(B)=n}$ .

• Veamos que ${\displaystyle Nul(A)=Nul(A^{T}A)\,}$ . Sea ${\displaystyle x\in Nul(A)}$ , entonces ${\displaystyle Ax=0_{\Bbbk ^{m}}\Longrightarrow A^{T}Ax=0_{\Bbbk ^{n}}\longrightarrow x\in Nul(A^{T}A)}$ . Por otro lado, ${\displaystyle x\in Nul(A^{T}A)\Longleftrightarrow A^{T}Ax=0_{\Bbbk ^{n}}\Longrightarrow x^{T}A^{T}Ax=0\Longleftrightarrow (Ax,Ax)=0\Longleftrightarrow ||Ax||^{2}=0\Longleftrightarrow Ax=0_{\Bbbk ^{m}}\Longleftrightarrow x\in Nul(A)}$ 

Enlaces externos

1. Matriz
2. Determinante de una matriz
3. Producto interno canónico

•   Datos: Q6134801