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Simetría especular

En geometría, la simetría especular (también conocida como simetría bilateral o de reflexión), es una transformación con respecto a un plano de simetría, en la que a cada punto de una figura se le asocia otro punto llamado imagen, que cumple las siguientes condiciones:

El nombre de simetría especular proviene de la imagen obtenida al reflejarse la luz en una superficie plana. Existen numerosos ejemplos de la simetría especular tanto en la naturaleza como en objetos artificiales.

a) La distancia de un punto y su imagen al plano de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al plano de simetría.

Una figura que permanece invariante al someterse a una reflexión se dice que posee simetría especular o de reflexión. En el caso de figuras en un plano bidimensional, el plano de simetría se convierte en un eje de simetría.

Teoría de cuerdas

La simetría especular es una relación que puede existir entre dos variedades de Calabi-Yau. Generalmente se puede dar entre dos de tales variedades hexadimensionales, cuyas formas pueden parecer muy diferentes geométricamente, pero que sin embargo son equivalentes si se emplean como dimensiones ocultas de la teoría de cuerdas. Más específicamente, la simetría especular relaciona dos variedades M y W cuyos números de Hodge

h1,1 y h1,2

se intercambian. Se puede demostrar que la teoría de cuerdas compactada en estas dos variedades conduce a fenómenos físicos idénticos.

El descubrimiento de la simetría especular está ligado con nombres tales como Brian Greene, Ronen Plesser, Philip Candelas, Monika Lynker, Rolf Schimmrigk y otros. Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, y Eric Zaslow han demostrado que la simetría especular es un ejemplo especial de la dualidad T: la variedad de Calabi-Yau se puede describir como un fibrado cuya fibra sea un toro tridimensional. La acción simultánea de la dualidad T en las tres dimensiones de este toro es equivalente a la simetría especular.

La simetría especular permite simplificar muchos cálculos, invocando la imagen especular de una situación física dada, que puede ser a menudo mucho más fácil de resolver.

Geometría analítica

  • El punto (x,y,z) y (-x,y,z) son simétricos respecto al plano Oyz
  • El punto (x,y,z) y (x,-y,z) son simétricos respecto al plano Oxz
  • El punto (x,y,z) y (x,y, -z) son simétricos respecto al plano Oxy

Geometría del espacio

  • El cubo es una figura simétrica respecto al plano que pasa por las rectas que contienen a las diagonales de dos caras opuestas.
  • El cubo es una figura simétrica respecto al plano que pasa por los puntos medios de las cuatro aristas perpendiculares a dos caras opuestas.
  • El plano que contiene a dos diagonales del cubo es una plano de simetría del cubo.

Ejemplos

 
Figuras con los ejes de simetría dibujados. La figura sin ejes es asimétrica

En dos dimensiones, la simetría se verifica respecto a una línea recta o eje de simetría, y en tres dimensiones respecto a un plano de simetría. Un objeto o figura que es indistinguible de su imagen transformada se denomina imagen especular. Resumidamente, una línea de simetría divide la forma en dos mitades exactas abatibles entre sí.

Funciones simétricas

 
Gráfica de una distribución normal. Conocida como campana de Gauss, es un ejemplo de función simétrica

En términos formales, un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación definida como reflexión, rotación o traslación, si, cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto.[1]​ El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo. Dos objetos son simétricos entre sí con respecto a un grupo de operaciones dado si uno se obtiene del otro mediante algunas de las operaciones (y viceversa).

Se dice que la gráfica bidimensional de una función es simétrica si existe al menos una línea recta o eje tal que todas sus perpendiculares que intersecan la gráfica a una cierta distancia del eje, también la intersecan en sentido opuesto a la misma distancia.

Otra forma de pensar en una función simétrica es que si la forma se doblara por la mitad respecto al eje, las dos mitades serían idénticas: las dos mitades son imagen especular una de la otra.[1]

Por lo tanto, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, porque existen cuatro formas diferentes de doblarlo y hacer que todos los bordes coincidan. Un círculo tiene infinitos ejes de simetría.

Formas geométricas simétricas

Formas 2D con simetría especular
   
Trapecio isósceles y deltoide
   
Hexágonos
   
Octógonos

Los Triángulo con simetría de reflexión son triángulo isósceles. Los cuadriláteros con simetría de reflexión son deltoides, deltoides (cóncavos), rombos,[2]​ y trapecios isósceles. Todos los polígonos regulares de lados pares tienen dos formas de reflexión simples, una con ejes de reflexión a través de vértices opuestos y otra con ejes a través del centro de lados opuestos.

Para una forma arbitraria, la axialidad de la forma mide su proximidad a ser simétrica bilateralmente. Es igual a 1 para formas con simetría de reflexión y entre 2/3 y 1 para cualquier forma convexa.

Equivalentes matemáticos

Para cada eje o plano de reflexión, el grupo de simetría es isomorfo con Cs (véase grupos de puntos en tres dimensiones), uno de los tres tipos de orden dos (involuciones), por lo tanto algebraicamente C2. El dominio fundamental es un semiplano o semiespacio.

En ciertos contextos, existe una simetría de rotación y de reflexión. Entonces, la simetría de la imagen especular es equivalente a la simetría de inversión; en tales contextos en la física moderna, el término paridad o P-simetría se usa para ambos.

Tipos avanzados de simetría de reflexión

Para tipos más generales de reflexión, en consecuencia existen tipos más generales de simetría de reflexión. Por ejemplo:

En la naturaleza

 
Muchos animales, como esta majoidea Maja crispata, son bilateralmente simétricas

Los animales simétricamente bilaterales poseen simetría de reflexión en el plano sagital, que divide el cuerpo verticalmente en mitades izquierda y derecha, con uno de cada par de órganos sensoriales y extremidades a cada lado. La mayoría de los animales son bilateralmente simétricos, probablemente porque esto apoya el movimiento hacia adelante y simplifica su estructura.[3][4][5][6]

En arquitectura

 
La simetría especular se utiliza a menudo en arquitectura, como en la fachada de la Basílica de Santa María Novella, Florencia (1470)

La simetría especular se usa a menudo en arquitectura, como en la fachada de la Basílica de Santa María Novella, Florencia.[7]​ También se encuentra en el diseño de estructuras antiguas como Stonehenge.[8]​ La simetría fue un elemento central en algunos estilos de arquitectura, como el palladianismo.[9]

Véase también

Referencias

  1. Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. p. 32. 
  2. Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton. pp. 394–395. ISBN 0-393-04002-X. (requiere registro). 
  3. Valentine, James W. «Bilateria». AccessScience. Consultado el 29 de mayo de 2013. 
  4. «Bilateral symmetry». Natural History Museum. Consultado el 14 June 2014. 
  5. Finnerty, John R. (2005). «Did internal transport, rather than directed locomotion, favor the evolution of bilateral symmetry in animals?». BioEssays 27 (11): 1174-1180. PMID 16237677. doi:10.1002/bies.20299. 
  6. «Bilateral (left/right) symmetry». Berkeley. Consultado el 14 June 2014. 
  7. Tavernor, Robert (1998). On Alberti and the Art of Building. Yale University Press. pp. 102-106. ISBN 978-0-300-07615-8. «More accurate surveys indicate that the facade lacks a precise symmetry, but there can be little doubt that Alberti intended the composition of number and geometry to be regarded as perfect. The facade fits within a square of 60 Florentine braccia». 
  8. Johnson, Anthony (2008). Solving Stonehenge: The New Key to an Ancient Enigma. Thames & Hudson.
  9. Waters, Suzanne. «Palladianism». Royal Institution of British Architects. Consultado el 29 October 2015. 

Bibliografía

  • Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. 
  • Weyl, Hermann (1982 (1ª ed. 1952)). Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3. 

Enlaces externos

  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Simetría especular.
  • Aplicación con simetría - fuente en Delphi
  • Ejemplos de simetría de reflexión de Math Is Fun
  •   Datos: Q15955882
  •   Multimedia: Reflection symmetry

simetría, especular, geometría, simetría, especular, también, conocida, como, simetría, bilateral, reflexión, transformación, respecto, plano, simetría, cada, punto, figura, asocia, otro, punto, llamado, imagen, cumple, siguientes, condiciones, nombre, simetrí. En geometria la simetria especular tambien conocida como simetria bilateral o de reflexion es una transformacion con respecto a un plano de simetria en la que a cada punto de una figura se le asocia otro punto llamado imagen que cumple las siguientes condiciones El nombre de simetria especular proviene de la imagen obtenida al reflejarse la luz en una superficie plana Existen numerosos ejemplos de la simetria especular tanto en la naturaleza como en objetos artificiales a La distancia de un punto y su imagen al plano de simetria es la misma b El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al plano de simetria Una figura que permanece invariante al someterse a una reflexion se dice que posee simetria especular o de reflexion En el caso de figuras en un plano bidimensional el plano de simetria se convierte en un eje de simetria Indice 1 Teoria de cuerdas 2 Geometria analitica 3 Geometria del espacio 4 Ejemplos 4 1 Funciones simetricas 4 2 Formas geometricas simetricas 4 3 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Shing Tung Yau y Eric Zaslow han demostrado que la simetria especular es un ejemplo especial de la dualidad T la variedad de Calabi Yau se puede describir como un fibrado cuya fibra sea un toro tridimensional La accion simultanea de la dualidad T en las tres dimensiones de este toro es equivalente a la simetria especular La simetria especular permite simplificar muchos calculos invocando la imagen especular de una situacion fisica dada que puede ser a menudo mucho mas facil de resolver Geometria analitica EditarEl punto x y z y x y z son simetricos respecto al plano Oyz El punto x y z y x y z son simetricos respecto al plano Oxz El punto x y z y x y z son simetricos respecto al plano OxyGeometria del espacio EditarEl cubo es una figura simetrica respecto al plano que pasa por las rectas que contienen a las diagonales de dos caras opuestas El cubo es una figura simetrica respecto al plano que pasa por los puntos medios de las cuatro aristas perpendiculares a dos caras opuestas El plano que contiene a dos diagonales del cubo es una plano de simetria del cubo Ejemplos Editar Figuras con los ejes de simetria dibujados La figura sin ejes es asimetrica En dos dimensiones la simetria se verifica respecto a una linea recta o eje de simetria y en tres dimensiones respecto a un plano de simetria Un objeto o figura que es indistinguible de su imagen transformada se denomina imagen especular Resumidamente una linea de simetria divide la forma en dos mitades exactas abatibles entre si Funciones simetricas Editar Grafica de una distribucion normal Conocida como campana de Gauss es un ejemplo de funcion simetrica En terminos formales un objeto matematico es simetrico con respecto a una operacion definida como reflexion rotacion o traslacion si cuando se aplica al objeto esta operacion conserva alguna propiedad del objeto 1 El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo Dos objetos son simetricos entre si con respecto a un grupo de operaciones dado si uno se obtiene del otro mediante algunas de las operaciones y viceversa Se dice que la grafica bidimensional de una funcion es simetrica si existe al menos una linea recta o eje tal que todas sus perpendiculares que intersecan la grafica a una cierta distancia del eje tambien la intersecan en sentido opuesto a la misma distancia Otra forma de pensar en una funcion simetrica es que si la forma se doblara por la mitad respecto al eje las dos mitades serian identicas las dos mitades son imagen especular una de la otra 1 Por lo tanto un cuadrado tiene cuatro ejes de simetria porque existen cuatro formas diferentes de doblarlo y hacer que todos los bordes coincidan Un circulo tiene infinitos ejes de simetria Formas geometricas simetricas Editar Formas 2D con simetria especular Trapecio isosceles y deltoide Hexagonos OctogonosLos Triangulo con simetria de reflexion son triangulo isosceles Los cuadrilateros con simetria de reflexion son deltoides deltoides concavos rombos 2 y trapecios isosceles Todos los poligonos regulares de lados pares tienen dos formas de reflexion simples una con ejes de reflexion a traves de vertices opuestos y otra con ejes a traves del centro de lados opuestos Para una forma arbitraria la axialidad de la forma mide su proximidad a ser simetrica bilateralmente Es igual a 1 para formas con simetria de reflexion y entre 2 3 y 1 para cualquier forma convexa Equivalentes matematicos Editar Para cada eje o plano de reflexion el grupo de simetria es isomorfo con Cs vease grupos de puntos en tres dimensiones uno de los tres tipos de orden dos involuciones por lo tanto algebraicamente C2 El dominio fundamental es un semiplano o semiespacio En ciertos contextos existe una simetria de rotacion y de reflexion Entonces la simetria de la imagen especular es equivalente a la simetria de inversion en tales contextos en la fisica moderna el termino paridad o P simetria se usa para ambos Tipos avanzados de simetria de reflexion Editar Para tipos mas generales de reflexion en consecuencia existen tipos mas generales de simetria de reflexion Por ejemplo Con respecto a una involucion afin no isometrica una simetria oblicua respecto a una linea plano etc Con respecto a una inversion circular En la naturaleza Editar Muchos animales como esta majoidea Maja crispata son bilateralmente simetricas Articulo principal Simetria bilateral Los animales simetricamente bilaterales poseen simetria de reflexion en el plano sagital que divide el cuerpo verticalmente en mitades izquierda y derecha con uno de cada par de organos sensoriales y extremidades a cada lado La mayoria de los animales son bilateralmente simetricos probablemente porque esto apoya el movimiento hacia adelante y simplifica su estructura 3 4 5 6 En arquitectura Editar La simetria especular se utiliza a menudo en arquitectura como en la fachada de la Basilica de Santa Maria Novella Florencia 1470 Articulo principal Matematicas y arquitectura La simetria especular se usa a menudo en arquitectura como en la fachada de la Basilica de Santa Maria Novella Florencia 7 Tambien se encuentra en el diseno de estructuras antiguas como Stonehenge 8 La simetria fue un elemento central en algunos estilos de arquitectura como el palladianismo 9 Vease tambien EditarPatrones en la naturaleza Simetria bilateral Simetria centralReferencias Editar a b Stewart Ian 2001 What Shape is a Snowflake Magical Numbers in Nature Weidenfeld amp Nicolson p 32 Gullberg Jan 1997 Mathematics From the Birth of Numbers W W Norton pp 394 395 ISBN 0 393 04002 X requiere registro Valentine James W Bilateria AccessScience Consultado el 29 de mayo de 2013 Bilateral symmetry Natural History Museum Consultado el 14 June 2014 Finnerty John R 2005 Did internal transport rather than directed locomotion favor the evolution of bilateral symmetry in animals BioEssays 27 11 1174 1180 PMID 16237677 doi 10 1002 bies 20299 Bilateral left right symmetry Berkeley Consultado el 14 June 2014 Tavernor Robert 1998 On Alberti and the Art of Building Yale University Press pp 102 106 ISBN 978 0 300 07615 8 More accurate surveys indicate that the facade lacks a precise symmetry but there can be little doubt that Alberti intended the composition of number and geometry to be regarded as perfect The facade fits within a square of 60 Florentine braccia Johnson Anthony 2008 Solving Stonehenge The New Key to an Ancient Enigma Thames amp Hudson Waters Suzanne Palladianism Royal Institution of British Architects Consultado el 29 October 2015 Bibliografia EditarStewart Ian 2001 What Shape is a Snowflake Magical Numbers in Nature Weidenfeld amp Nicolson Weyl Hermann 1982 1ª ed 1952 Symmetry Princeton Princeton University Press ISBN 0 691 02374 3 Enlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Simetria especular Aplicacion con simetria fuente en Delphi Ejemplos de simetria de reflexion de Math Is Fun Datos Q15955882 Multimedia Reflection symmetryObtenido de https es 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