Seno del topólogo

El seno del topólogo, en topología, es una curva contenida en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ utilizada frecuentemente para ilustrar determinadas propiedades de los espacios topológicos.^[1]​ Se utiliza especialmente a modo de ejemplo de espacio topológico que es conexo pero no conexo por caminos.

Definición

Una definición usual del seno del topólogo es la adherencia de la curva

${\displaystyle A=\{(x,{\mbox{sen}}({\tfrac {1}{x}})),\ x\in (0,1]\}}$ ,

denotada ${\displaystyle {\bar {A}}}$ , y que se define a su vez como la unión de ${\displaystyle A}$  con su frontera, el segmento

${\displaystyle \partial A=\{(0,y),\ y\in [-1,1]\}}$ 

A medida que x se acerca a cero, 1/x crece cada vez más rápido (de hecho, tiende a infinito), por lo que la frecuencia de la curva sinusoidal también es cada vez mayor. En el límite, la frecuencia es infinita.

Variantes

En ocasiones, se considera solamente ${\displaystyle A}$ , o la unión de ${\displaystyle A}$  con el punto ${\displaystyle (0,0)}$ . También se puede considerar la función ${\displaystyle f(x)={\mbox{sen}}({\tfrac {1}{x}})}$  definida en un intervalo distinto de (0,1],^[2]​ aunque siempre en un intervalo abierto en 0. Incluso se puede hacer distinción entre la «curva cerrada» (${\displaystyle {\bar {A}}}$ ) y la «curva abierta» (${\displaystyle A}$ ) del seno del topólogo.^[1]​

Propiedades

 

La función ${\displaystyle f(x)={\mbox{sen(1/x)}},f(0)=0}$  no es de variación acotada.

Como adherencia de un conjunto conexo, ${\displaystyle {\bar {A}}}$  es un conjunto conexo. Sin embargo, no es conexo por caminos, pues no existe un camino ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow {\bar {A}}}$  que una los puntos ${\displaystyle (1,{\mbox{sen}}(1))}$  y ${\displaystyle (0,0)}$ . Para ver que es así, considérese la sucesión formada por los puntos, tomados de derecha a izquierda en la gráfica, cuya segunda componente es alternativamente +1 ó -1. Esta sucesión no converge.

Temas relacionados

• Peine del topólogo, otro ejemplo de espacio conexo, pero no conexo por caminos.

Referencias

1. Marcelo Salgado. «Relatividad». p. 29. 
2. Gustavo Nevardo Rubiano Ortegón. Fundamentos de topología algebraica. p. 74. 

•   Datos: Q1148367