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Sección cónica

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3)

Etimología

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 340 a. C., (Menecmo) donde fueron definidas como secciones «de un cono circular recto».[1]​ Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge.

Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

Tipos

 
Perspectiva de las secciones cónicas
 
Las cuatro secciones cónicas en el plano

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

  • Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
  • Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
  • Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
  • Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Ecuación general de segundo grado

Definición

Se denomina ecuación general de segundo grado o ecuación cuadrática general en dos variables   e   a una ecuación como

 
Partiendo de una circunferencia (e = 0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
 

donde a, h, b, g, f, c son constantes reales, y al menos uno de los valores a, b, h es no nulo.

La elipse, parábola, hipérbola son curvas de segundo grado por satisfacer ecuaciones de la forma (1), pero hay curvas de segundo grado que no son secciones cónicas, para el caso: dan un punto, una recta, dos rectas, ningún punto.[2]

Casos de la ecuación general

Para la ecuación (1), en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

h² > ab: hipérbola
h² = ab: parábola
h² < ab: elipse
a = b y h = 0: circunferencia
a:C y Z:0: triangular

Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. A continuación se presentan los tres casos: parábola, elipse e hipérbola.

 
Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
 
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
 
Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.

Características

 
Secciones cónicas

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Además de los focos F y F′ con coordenadas (c;0) y (-c;0) si se encuentran sobre el eje de las abcisas respectivamente y (0;c) y (0;-c) si estos focos se encuentran sobre el eje de las coordenadas (ejes de las y) respectivamente. En una elipse se destacan los siguientes elementos:

  • Centro, O
  • Eje mayor, AA′ (conocido también como eje transverso)
  • Eje menor, BB′ (llamado eje conjugado)
  • Distancia focal, OF


La elipse posee la ecuación ordinaria (con centro en el origen de coordenadas):  , si por otra parte el centro de la elipse tiene coordenadas   tiene la siguiente expresión algebraica:  

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:

  • Centro, O
  • Vértices, A y A
  • Distancia entre los vértices
  • Distancia entre los focos

La ecuación de una hipérbola horizontal con centro  , es:  .

A su vez, la de una hipérbola vertical es:  .

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Además del foco (F) y de la directriz de una parábola, se destacan los siguientes elementos:

  • Eje, e
  • Vértice, V
  • Distancia de F a d = p

Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:  , mientras que la ecuación general de una parábola centrada en   sobre el eje de ordenadas es  .

Aplicaciones

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Véase también

Sección cónica degenerada

Curvas cónicas
Aplicaciones

Notas y referencias

  1. Oswald Veblen, John Wesley Young, Projective Geometry, vol I, Ginn & Co. Ed. (1910)
  2. Maynar Kong. Cálculo diferencial

Enlaces externos

  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre secciones cónicas.
  • Curvas cónicas en laslaminas.es (14/5/12)
  • Cónicas en wmatem.eis.uva.es
  •   Datos: Q124255
  •   Multimedia: Conic sections

sección, cónica, denomina, sección, cónica, simplemente, cónica, todas, curvas, resultantes, diferentes, intersecciones, entre, cono, plano, dicho, plano, pasa, vértice, obtienen, cónicas, propiamente, dichas, clasifican, cuatro, tipos, elipse, parábola, hipér. Se denomina seccion conica o simplemente conica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano si dicho plano no pasa por el vertice se obtienen las conicas propiamente dichas Se clasifican en cuatro tipos elipse parabola hiperbola y circunferencia Los tres ejemplos de interseccion de un plano con un cono parabola 1 elipse y circunferencia 2 e hiperbola 3 Indice 1 Etimologia 2 Tipos 3 Ecuacion general de segundo grado 3 1 Definicion 3 2 Casos de la ecuacion general 4 Caracteristicas 5 Aplicaciones 6 Vease tambien 7 Notas y referencias 8 Enlaces externosEtimologia EditarLa primera definicion conocida de seccion conica surge en la Antigua Grecia cerca del ano 340 a C Menecmo donde fueron definidas como secciones de un cono circular recto 1 Los nombres de hiperbola parabola y elipse se deben a Apolonio de Perge Actualmente las secciones conicas pueden definirse de varias maneras estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matematica como la geometria analitica la geometria proyectiva etc Tipos Editar Perspectiva de las secciones conicas Las cuatro secciones conicas en el plano En funcion de la relacion existente entre el angulo de conicidad a y la inclinacion del plano respecto del eje del cono b pueden obtenerse diferentes secciones conicas a saber b lt a Hiperbola naranja b a Parabola azul b gt a Elipse verde b 90 Circunferencia un caso particular de elipse rojo b 180 TriangularSi el plano pasa por el vertice del cono se puede comprobar que Cuando b gt a la interseccion es un unico punto el vertice Cuando b a la interseccion es una recta generatriz del cono el plano sera tangente al cono Cuando b lt a la interseccion vendra dada por dos rectas que se cortan en el vertice Cuando b 90 el angulo formado por las rectas ira aumentando a medida b disminuye cuando el plano contenga al eje del cono b 0 Ecuacion general de segundo grado EditarDefinicion Editar Se denomina ecuacion general de segundo grado o ecuacion cuadratica general en dos variables x displaystyle x e y displaystyle y a una ecuacion como Partiendo de una circunferencia e 0 al aumentar la excentricidad se obtienen elipses parabolas e hiperbolas a x 2 2 h x y b y 2 2 g x 2 f y c 0 1 displaystyle ax 2 2hxy by 2 2gx 2fy c 0 1 donde a h b g f c son constantes reales y al menos uno de los valores a b h es no nulo La elipse parabola hiperbola son curvas de segundo grado por satisfacer ecuaciones de la forma 1 pero hay curvas de segundo grado que no son secciones conicas para el caso dan un punto una recta dos rectas ningun punto 2 Casos de la ecuacion general Editar Para la ecuacion 1 en funcion de los valores de los parametros se tendra h gt ab hiperbolah ab parabolah lt ab elipsea b y h 0 circunferenciaa C y Z 0 triangularMediante un software se pueden representar las graficas de la ecuacion general de las conicas A continuacion se presentan los tres casos parabola elipse e hiperbola Esta grafica representa una parabola girada un determinado angulo Esta grafica representa una elipse girada con un cierto angulo Esta grafica representa una hiperbola girada un determinado angulo Caracteristicas Editar Secciones conicas La elipse es el lugar geometrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva Ademas de los focos F y F con coordenadas c 0 y c 0 si se encuentran sobre el eje de las abcisas respectivamente y 0 c y 0 c si estos focos se encuentran sobre el eje de las coordenadas ejes de las y respectivamente En una elipse se destacan los siguientes elementos Centro O Eje mayor AA conocido tambien como eje transverso Eje menor BB llamado eje conjugado Distancia focal OFLa elipse posee la ecuacion ordinaria con centro en el origen de coordenadas x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 si por otra parte el centro de la elipse tiene coordenadas h k displaystyle h k tiene la siguiente expresion algebraica x h 2 a 2 y k 2 b 2 1 displaystyle frac x h 2 a 2 frac y k 2 b 2 1 La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante y menor que la distancia entre los focos Tiene dos asintotas rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito Las hiperbolas cuyas asintotas son perpendiculares se llaman hiperbolas equilateras Ademas de los focos y de las asintotas en la hiperbola se destacan los siguientes elementos Centro O Vertices A y A Distancia entre los vertices Distancia entre los focosLa ecuacion de una hiperbola horizontal con centro h k displaystyle h k es x h 2 a 2 y k 2 b 2 1 displaystyle frac x h 2 a 2 frac y k 2 b 2 1 A su vez la de una hiperbola vertical es y k 2 a 2 x h 2 b 2 1 displaystyle frac y k 2 a 2 frac x h 2 b 2 1 La parabola es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz Ademas del foco F y de la directriz de una parabola se destacan los siguientes elementos Eje e Vertice V Distancia de F a d pUna parabola cuyo vertice esta en el origen y su eje coincide con el de ordenadas tiene la siguiente ecuacion y a x 2 displaystyle y a x 2 mientras que la ecuacion general de una parabola centrada en h k displaystyle h k sobre el eje de ordenadas es y k 2 2 p x h 2 displaystyle y k 2 2p x h 2 Aplicaciones EditarLas curvas conicas son importantes en astronomia dos cuerpos masivos que interactuan segun la ley de gravitacion universal sus trayectorias describen secciones conicas si su centro de masa se considera en reposo Si estan relativamente proximas describiran elipses si se alejan demasiado describiran hiperbolas o parabolas Tambien son importantes en aerodinamica y en su aplicacion industrial ya que permiten ser repetidas por medios mecanicos con gran exactitud logrando superficies formas y curvas perfectas Vease tambien EditarSeccion conica degenerada Curvas conicasCircunferencia Elipse Parabola Hiperbola Cuadrica Esferas de DandelinAplicacionesAerodinamica Astronomia Morfologia diseno Gravitacion Geometria proyectivaNotas y referencias Editar Oswald Veblen John Wesley Young Projective Geometry vol I Ginn amp Co Ed 1910 Maynar Kong Calculo diferencialEnlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre secciones conicas Curvas conicas en laslaminas es 14 5 12 Conicas en wmatem eis uva es Datos Q124255 Multimedia Conic sections Obtenido de https es wikipedia org w index php title Seccion conica amp oldid 140262492, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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