Resultante

En matemáticas, la resultante de dos polinomios mónicos ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle Q}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle k}$ se define como el producto:

${\displaystyle \mathrm {res} \,(P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,}$

de las diferencias de sus raíces, donde ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ toma valores en la clausura algebraica de ${\displaystyle k}$. Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$, respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por

${\displaystyle p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,}$

Computación

• La resultante es el determinante de la matriz de Sylvester.

• El productorio anterior puede ser reescrito como

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,}$ 

y esta expresión permanece invariante si ${\displaystyle P}$  se reduce módulo ${\displaystyle Q}$ .

• Sea ${\displaystyle P'=P\mod Q}$ . La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de ${\displaystyle P'}$  y ${\displaystyle Q}$ . Sin embargo, ${\displaystyle P'}$  tiene un conjunto de raíces diferentes de las de ${\displaystyle P}$ . Esto puede ser resuelto escribiendo ${\displaystyle \prod _{Q(y)=0}P'(y)\,}$  como un determinante otra vez, donde ${\displaystyle P'}$  tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante ${\displaystyle q}$  de ${\displaystyle Q}$  aparece.

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=q^{\deg P-\deg P'}\cdot \mathrm {res} (P',Q)}$ 

Continuando este procedimiento obtenemos una variante del algoritmo de Euclides. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.

Propiedades

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)}$ 
• ${\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)}$ 
• Si ${\displaystyle P'=P+R\cdot Q}$  y ${\displaystyle \deg P'=\deg P}$ , entonces ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)}$ 
• Si ${\displaystyle X,Y,P,Q}$  tienen el mismo grado y ${\displaystyle X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q}$ ,

entonces ${\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)}$ 

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)}$  donde ${\displaystyle P_{-}(z)=P(-z)}$ 

Aplicaciones

• Las resultantes pueden ser usadas en la geometría algebraica para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean ${\displaystyle f(x,y)=0}$  y ${\displaystyle g(x,y)=0}$  definiendo unas curva algebraica en ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ . Si ${\displaystyle f}$  y ${\displaystyle g}$  son vistos como polinomios en ${\displaystyle x}$  con coeficientes en ${\displaystyle k(y)}$ , entonces la resultante de ${\displaystyle f}$  y ${\displaystyle g}$  es un polinomio en ${\displaystyle y}$  cuyas raíces son las coordenadas ${\displaystyle y}$  de la intersección de las curvas.

• En teoría de Galois, las resultantes pueden ser usadas para calcular normas.
• En física, la resultante (ya sea velocidad, fuerza, etc) es la suma de dos o más vectores que por obvias razones son consecutivos. No se debe confundir con la distancia recorrida, ya que esta última es sólo la suma de magnitudes escalares.

Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Resultant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1168321