Sea el polinomio perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces (pertenecientes a C[1]), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :
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Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.
Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).
Demostración
Factorizamos el polinomio:
Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término , donde :
De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.
Referencias
Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del álgebra
Datos:Q570779
Agosto 25, 2021
relaciones, cardano, vieta, polinomio, displaystyle, perteneciente, grado, coeficientes, cuerpo, números, complejos, sean, raíces, displaystyle, pertenecientes, entonces, satisfacen, exactamente, siguientes, distintas, igualdades, displaystyle, over, displayst. Sea el polinomio P z a 0 a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 a k z k displaystyle P z a 0 a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 a k z k perteneciente a C z de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los numeros complejos y sean sus k raices z 1 z 2 z 3 z k displaystyle z 1 z 2 z 3 z k pertenecientes a C 1 entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades z 1 z 2 z 3 z k 1 k a 0 a k displaystyle z 1 z 2 z 3 z k 1 k a 0 over a k z 1 z 2 z 3 z k 1 z 2 z 3 z k 1 k 1 a 1 a k displaystyle z 1 z 2 z 3 z k 1 z 2 z 3 z k 1 k 1 a 1 over a k z 1 z 2 z 3 z j z k j 1 z k j 2 z k 1 j a k j a k displaystyle z 1 z 2 z 3 z j z k j 1 z k j 2 z k 1 j a k j over a k z 1 z 2 z 1 z 3 z k 1 z k 1 2 a k 2 a k a k 2 a k displaystyle z 1 z 2 z 1 z 3 z k 1 z k 1 2 a k 2 over a k a k 2 over a k z 1 z 2 z 3 z k 1 1 a k 1 a k a k 1 a k displaystyle z 1 z 2 z 3 z k 1 1 a k 1 over a k a k 1 over a k Cada ecuacion sumara todos los posibles productos que se formaran con j raices y lo igualara el cociente con su signo correspondiente entre el coeficiente j esimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raices Cabe destacar que si conocemos k raices de un polinomio de grado k podremos encontrar a partir de estas relaciones un unico polinomio de grado k que posea estas raices a menos de una constante multiplicativa Demostracion EditarFactorizamos el polinomio P z a 0 a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 a k z k a k z z 1 z z 2 z z 3 z z k displaystyle P z a 0 a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 a k z k a k z z 1 z z 2 z z 3 cdots z z k Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada termino z j displaystyle z j donde 0 j lt k displaystyle 0 leq j lt k a k 1 1 1 a k z 1 z 2 z 3 z k displaystyle a k 1 1 1 a k z 1 z 2 z 3 z k a k 2 1 2 a k z 1 z 2 z 1 z 3 z k 1 z k displaystyle a k 2 1 2 a k z 1 z 2 z 1 z 3 z k 1 z k displaystyle ldots a j 1 k j a k z 1 z 2 z 3 z j z k j 1 z k j 2 z k displaystyle a j 1 k j a k z 1 z 2 z 3 z j z k j 1 z k j 2 z k displaystyle ldots a 1 1 k 1 a k z 1 z 2 z 3 z k 1 z 2 z 3 z k displaystyle a 1 1 k 1 a k z 1 z 2 z 3 z k 1 z 2 z 3 z k a 0 1 k a k z 1 z 2 z 3 z k displaystyle a 0 1 k a k z 1 z 2 z 3 z k De aqui ya se obtienen de inmediato las formulas de Cardano Vieta Referencias Editar Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del algebra Datos Q570779Obtenido de https es wikipedia org w index php title Relaciones de Cardano Vieta amp oldid 126959298, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
