donde es un coeficiente binomial. Esto también puede ser comúnmente escrito como
Demostración combinatoria
Ilustración de demostración combinacional:
La regla de Pascal tiene un significado combinacional intuitivo, que se expresa claramente en esta prueba de conteo.[1]
Demostración: Recordemos que es igual al número de subconuntos con k elementos de un conjunto con n elementos. Supongamos que un elemento en particular es etiquetado como X en un conjunto con n elementos.
Para construir un subconjunto de k elementos que contenga X, cogemos X y k-1 elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto. Entonces habría de estos subconjuntos.
Para construir un subconjunto de k elementos que no contengan X, cogemos k elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto. Entonces habría de estos subconjuntos.
Cada subconjunto de k elementos puede contener X o no. El número total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del número de subconjuntos que contienen X y el número de subconjuntos que no contienen X,.
Por lo tanto, .
Demostración algebraica
Alternativamente, la derivación algebraica del caso binomial es la siguiente:
Generalización
La regla de Pascal puede generalizarse a coeficientes multinomiales.[2] Para cualquier entero p tal que , , y , donde es el coeficiente del término en expansión de . La derivación algebraica para este caso general es la siguiente. Sea p un entero tal que , , y . Entonces:
regla, pascal, matemáticas, regla, pascal, identidad, combinatórica, sobre, coeficientes, binomiales, regla, dice, para, cada, número, natural, tiene, para, displaystyle, choose, choose, choose, quad, text, para, donde, displaystyle, choose, coeficiente, binom. En matematicas la regla de Pascal es una identidad combinatorica sobre los coeficientes binomiales La regla dice que para cada numero natural n se tiene que n 1 k n 1 k 1 n k para 1 k n displaystyle n 1 choose k n 1 choose k 1 n choose k quad text para 1 leq k leq n donde n k displaystyle n choose k es un coeficiente binomial Esto tambien puede ser comunmente escrito como n k n k 1 n 1 k para 1 k n 1 displaystyle n choose k n choose k 1 n 1 choose k quad text para 1 leq k leq n 1 Indice 1 Demostracion combinatoria 2 Demostracion algebraica 3 Generalizacion 4 Vease tambien 5 Referencias 6 Enlaces externosDemostracion combinatoria Editar Ilustracion de demostracion combinacional 4 1 4 2 5 2 displaystyle binom 4 1 binom 4 2 binom 5 2 La regla de Pascal tiene un significado combinacional intuitivo que se expresa claramente en esta prueba de conteo 1 Demostracion Recordemos que n k displaystyle n choose k es igual al numero de subconuntos con k elementos de un conjunto con n elementos Supongamos que un elemento en particular es etiquetado como X en un conjunto con n elementos Para construir un subconjunto de k elementos que contenga X cogemos X y k 1 elementos de los n 1 elementos restantes del conjunto Entonces habria n 1 k 1 displaystyle n 1 choose k 1 de estos subconjuntos Para construir un subconjunto de k elementos que no contengan X cogemos k elementos de los n 1 elementos restantes del conjunto Entonces habria n 1 k displaystyle n 1 choose k de estos subconjuntos Cada subconjunto de k elementos puede contener X o no El numero total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del numero de subconjuntos que contienen X y el numero de subconjuntos que no contienen X n 1 k 1 n 1 k displaystyle n 1 choose k 1 n 1 choose k Por lo tanto n k n 1 k 1 n 1 k displaystyle n choose k n 1 choose k 1 n 1 choose k Demostracion algebraica EditarAlternativamente la derivacion algebraica del caso binomial es la siguiente n 1 k n 1 k 1 n 1 k n 1 k n 1 k 1 n k n 1 n k k n k k k n k n 1 n k n k n k n k n k displaystyle begin aligned n 1 choose k n 1 choose k 1 amp frac n 1 k n 1 k frac n 1 k 1 n k amp n 1 left frac n k k n k frac k k n k right amp n 1 frac n k n k amp frac n k n k amp binom n k end aligned Generalizacion EditarLa regla de Pascal puede generalizarse a coeficientes multinomiales 2 Para cualquier entero p tal que p 2 displaystyle p geq 2 k 1 k 2 k 3 k p N displaystyle k 1 k 2 k 3 dots k p in mathbb N y n k 1 k 2 k 3 k p 1 displaystyle n k 1 k 2 k 3 cdots k p geq 1 n 1 k 1 1 k 2 k 3 k p n 1 k 1 k 2 1 k 3 k p n 1 k 1 k 2 k 3 k p 1 n k 1 k 2 k 3 k p displaystyle n 1 choose k 1 1 k 2 k 3 dots k p n 1 choose k 1 k 2 1 k 3 dots k p cdots n 1 choose k 1 k 2 k 3 dots k p 1 n choose k 1 k 2 k 3 dots k p donde n k 1 k 2 k 3 k p displaystyle n choose k 1 k 2 k 3 dots k p es el coeficiente del termino x 1 k 1 x 2 k 2 x p k p displaystyle x 1 k 1 x 2 k 2 dots x p k p en expansion de x 1 x 2 x p n displaystyle x 1 x 2 dots x p n La derivacion algebraica para este caso general es la siguiente Sea p un entero tal que p 2 displaystyle p geq 2 k 1 k 2 k 3 k p N displaystyle k 1 k 2 k 3 dots k p in mathbb N y n k 1 k 2 k 3 k p 1 displaystyle n k 1 k 2 k 3 cdots k p geq 1 Entonces n 1 k 1 1 k 2 k 3 k p n 1 k 1 k 2 1 k 3 k p n 1 k 1 k 2 k 3 k p 1 n 1 k 1 1 k 2 k 3 k p n 1 k 1 k 2 1 k 3 k p n 1 k 1 k 2 k 3 k p 1 k 1 n 1 k 1 k 2 k 3 k p k 2 n 1 k 1 k 2 k 3 k p k p n 1 k 1 k 2 k 3 k p k 1 k 2 k p n 1 k 1 k 2 k 3 k p n n 1 k 1 k 2 k 3 k p n k 1 k 2 k 3 k p n k 1 k 2 k 3 k p displaystyle begin aligned amp quad n 1 choose k 1 1 k 2 k 3 dots k p n 1 choose k 1 k 2 1 k 3 dots k p cdots n 1 choose k 1 k 2 k 3 dots k p 1 amp frac n 1 k 1 1 k 2 k 3 cdots k p frac n 1 k 1 k 2 1 k 3 cdots k p cdots frac n 1 k 1 k 2 k 3 cdots k p 1 amp frac k 1 n 1 k 1 k 2 k 3 cdots k p frac k 2 n 1 k 1 k 2 k 3 cdots k p cdots frac k p n 1 k 1 k 2 k 3 cdots k p frac k 1 k 2 cdots k p n 1 k 1 k 2 k 3 cdots k p amp frac n n 1 k 1 k 2 k 3 cdots k p frac n k 1 k 2 k 3 cdots k p n choose k 1 k 2 k 3 dots k p end aligned Vease tambien EditarTriangulo de PascalReferencias Editar Brualdi Richard A 2010 Introductory Combinatorics 5th edicion Prentice Hall p 44 ISBN 978 0 13 602040 0 Brualdi Richard A 2010 Introductory Combinatorics 5th edicion Prentice Hall p 144 ISBN 978 0 13 602040 0 Merris Russell Combinatorics John Wiley amp Sons 2003 ISBN 978 0 471 26296 1Enlaces externos EditarPascal s rule en PlanetMath Central binomial coefficient en PlanetMath Binomial coefficient en PlanetMath Pascal s triangle en PlanetMath Datos Q17099544 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Regla de Pascal amp oldid 144532649, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,